장음표시 사용
341쪽
Si hujus formulae termini singuli dueantur in terminos seriei arithmetieae b--xo, b - 3n &e., manifestum est, terminos positos in superiori linea horizontali multiplicari per seriem, cujus primi termini sunt terminos p sitos in secunda linea horizontali duci in terminos seriei, cujus sunt primi termi-b an: similiter qui positi lant in linea horizontali tertia duet in seriem , cui primi termini sunt ν - an, 3n, atque ita deinceps ; sed istae lineae horizontales sunt potestas in binomij dum interminos x Bωρ 'M.; ergo facta multiplicatione omnes mo, & eonxinent m-x radices.
aequales 2 ergo tota aequatia-α. de gonti et radises aequales numera m - 1 Q. E. D.
is. His demonstratis regula Huddenti sit manifesta. Si habeas aequationem
cui insint duae, aut plures radices aequales, ejus terminos multip in per terminos cujuslibet seriei arithmeticae; aequatio, quae proveniet, eontinebit easdem radicea aequales, sed earum numerus erit unitate minutus. Pormulae datae , ct inventae divisor communis inveniatur,. qui continebit sactorem praebentem radices equales; Per huno dividatur data tot vicibus, quot sunt radices aequales , 3c rem nebie sermula alias radiem continens. Utile autem erit vel maxi a eligere seriem aristhmeticam, quae incipiat ao; nam ita aequatio provenit uno gradu deprtissior. Varum potes, adhibitas duabus seriebus arithmetieis duas aequationes invenire, quarum diviso communis dabit factorem , per quem data est dividendae. Cave tamen'. ne utraque aequatio oriatur eadem. Iuvabit vero seeundam seriem- eligere, quae desinat in o. ita enim , iacta divisiona per Μ, obtinebitur aequatio inferior gada uno. Si radices aequales essent plures, quam duae, potes multiplieationem per sesriem arithmetiram ita rare, donec habeas aequationem unam tantum ex radicab aequalibus continentem. Adverte, in hac analysi non esse omittendos terminos,
quἱ desunt, & spectandos esse, ut multiplicatos per o . . AEquationem praeditam duabus radicibus aequalibus - se κ- αυmultiplico per seriem. arithmeticam o,1 2.3, ut fiat 's γε - 16π- ma Eamdem multiplico per seriem laversam 3, 2, I ut oriatur 3 - Ioglgmaeo sive facta. per κ divisione 3 π. - F8 α s. aequationum inventarum divis communis est π -a, per quem bis divisa aequatione data fit κ -Imo. itaquσaequationis duae radices aequales erunt a, inaequalis se m I .l7. Proponatur resolvenda aequatio quarti gradus, in qga coactat adesse dura radices aequales' - 4 3x in I s ΟΜ - 1 mo. Multiplica teraunos singulos per
- 86 π - - 4 s oκ- s 7 6 m o, seu facta divisione per a
- 43κ - - xas π - a 38mo . Si multipitiarem per feriem 4, 3, 2 , P, o, proveniret aequatio tertii gradus. Hujus autem, δc superioris inveniendus esset divisor communis. Quare latius erit multiplicare per seriem 3. , , , I, ud
proveniat aequat.u q. rti gradus , sed quae resolvi possit ad modum quadraticae, homest 3 κ 43 κ'- - 14 mo. Retavamus prinum aequatioaem, δι fiet
342쪽
a . 3 a . 3 a . q. - , ex quo duo valores π α - α Ιαρ, πῆα - α . Primus 2.3 3-3 3. 3.3 ηα α 3. Itaque communis divisor erat Ν - - Per hunc bis divisa avatione proposita prodibit Νπ--οκ' ο O, quae radices inaequales praebebit ..18. Goniam in aquationibus raro existunt conditiones, per quas radices verae ex superioribus methodis deteguntur, propterea tonati sunt analystae, hasta radices per approximationem, ut 3junt, determinare, hoc est invenire radicem, quae dinerit a vera, quantitatε quantum volueris minima. Plures methodi exe .gitatae sunt : nos unam tantum scilicet neotonianam Hucis exponemus. Quam ob rem neeelle est praemittere aliqua da limitibus aequationum, quam theoriam Eras. mus Bertolinus in introductione ad geometriam Cariesii acceptam resert Floriis mundo de Mune. Limites aquationum sunt quantitates duae inaequales , intra quas radix vera posita est. Quomodo autem in limites inveniantur propofitis alia quot axemplis declaramus. s
343쪽
s . si habeatur aequatio α ρκ α - κά si sit π erit quoque
, Haec exempla suffieant ad ostendenda methodum
inveniendi Iimites aequationis, quae solum industriam in analoa requirit xl. Inventis limitibus ad determinandiim radicem prope veram per aporoxi mationem haec metMdus tenend3 est, Assame quantitatem intra limites polita quam vocααρ, tum fae καρ - st, quae si sat s exigua erit. Fam substituistione invenietur aequatio continens F, in qua ob exiguitatem X, Omnes οjus p testates excepta infima deleantur; quare valor statim determinabitur, quem valoin rem adde ρ, & qui relaltat vosa', hic erit valor κ proprior vero. Si optax appropinquarq magis, fac κ m ε 3,3crepete operationem,donec valor quin iatum voluer:s parum a vero discrepet. Ut autem radicalia, & Damones diversae vitentur, utile erit; quemadmodum vulgo fit, omnia in fractionibus decimali, bns exprimere. Unum aut alterum exemplum methodum declarabit.
aa. AEquationis sae 3 amo radix per approximationem inveniend . sit. Duiliaco by Gorale
344쪽
ei Quoniam 8 situs est inter s in limites aequationis, pone n m sinat. Facta substitutione siet,' ε --x6s y, Ergo deletas propter V .
N m o. oo 778og, seu παε. cloga O7 808. Atque hac methodo progredieris, si velis ad valotam verum κ magis magisqui accedetreis ama. Simili modo investim radiem aequationis κ)--2π 'χ 3π- V m o. Limitum methodus me doeet, valorem ae non multum abesse as. Quare .sit Equxtio omissis iuperioribus potestatibus f net
Reducta itaque in o aequatione obtia
Ergo κ α c. aetao. Eodem modo licet progredi, quousque libuerit . 'M Lia reii ad methodis, quae aut tentando proceduat, aut solum valorem vero proximΠm inveniunt, videamus, quamam aequationes gradum quartum exissedentes rutam ea que relatationem accipiunt ; non erum suppe ut medius Ocrale
345쪽
areum ira, qua omnes rVolvamus. Resolvuntur statem primo, quam spoliatae s mado termino careat aliis omnibus , si ultimum exeipias; deind. quum unus ta tum terminus ex mediis adest , ia quo exponens incognitae dimidium est exponenistis termini primi, quod contingere non potest, nisi exponens maximum ut numerire par; post resolvuntur, quum ex mediis adsunt termini duo iis , ut exponentia In tribns terminis sint ouemadmodum 3, a, a, quod postulat exponens maxim' esse divisibile per 3 ; demum quum medii termini tres sunt, α expone tia iunt ut 4, 3, a, a, quod obtineri nequit, nisi exponens primi termini duvidi misit per 4. Adverte, pectet eodem modo resolutionem, tametsi aliquis exterminis desit, δε intelligatur multiplicatus per o. Haec omnia clara sunt exm, quae diximus de resolutione aequationum secundi, tertii, & quarti gradus. Nemo unus non videt, eonditiones istas angustis admodum finibus contineri in omnibus aequationibus, sed in illis praesertim , in quibus incognitae exponens m rumum est numerus primus. In his enim praeter primam conditionem nulla Minoeri potest, sub qua resolutionem aeeipiant. Verum Vincentius Riceatus op
Rulo quarto tomi primi methodum aperuit determinandi omnes aequationes cuiniuscumque gradus, quarum radix una eo modo exprimi potest, quo radix eardanica aequιrlonus' cubitarum. Ne theoriam maximi momenti praetermittamus, quae mag.s necessaria sunt, de sumemus ex eo opusculo, quod si legas, eamdem ub rius tractatam comperies.. ,- ggrediens incipiam ab aequationibus gradus altarius , M. Inde ad altiores progrediar. Pono κα m- -n, elevo ad quadratum κκ mm in amn--nu, sive κου - amo mo. Hujus radix est etiam addere possumus Μ--m - n, ut radicem extrahentipatam ner. Ad aequationes cub ear progrediens elevo κ m--n ad tertiam ρ testatem κ - m -- 3 m n 3 n quam ita dispono - m Φ 3 m n.
aequationem unica haec eonditio requiritur, ut seeundus terminus d sit, quos semper obtinere possumus. Ut aequationes gradus quarti expediam , esioso adq -artam potestatem κ*m- - , & invenio κ'- 'm' nV 4 mn l . quae hoc modo est distribuendi; κ' in se m n. m n Pro m n pono
ui X una π m n -- n. Ia ora aequatione haee eonditio Meessaria est , ut defi-s ne secundo termino dent etiam quartus, adeoque nulla potestas impar incognuaen reperiatur. M. Elevetur ad quintam potestatem ae m m -- v, & prodibit a n IOmΤn - - ios mn: - Ηaee autem ita dis onend a
346쪽
transfer terminos. - Conditiones in aequatio-
ut insunt duae. Prima petit, ne termini omnes non absint, in quibus incogni-- parem tenet dimensionem. Altera exigit, ut coefficiens N elatum ad quais dratum sit qoptuplum coeficientis m. Sextα potestas aequationis N m nr--n rit m n H- is is n=--6 m -- n. Hane ita di Imae . --ε om n. m--nt e. Si transferas terminos, & substituas κ
praeter conditionem requirentem, ur omnis terminus absit, in quo π ad imparem potestatem ascendit, necesse est, ut eoessiciens termini κ sit aequale quadrato eoessicientis diviso per ψ. - . 27. Quam. agitur de aequatione gradux septimi, potestas septima aequationis x m--n ita erit distribuenda E m m in mn .m n -n , quae facta.
in quibus N ad parem potestatem aliendit. Praeterea si coefficientis terminix' divisi per ν quadratum sumas, & multiplices per i , habebis messisiens termini κ'. si sumas eubum, & multipliem per et, habebis coefficiens termini
κ. AEquatio hix eonditionibus praedita obtinet radicem πm relevaveris N -n ad octavam potestatem, aequationein ita distribue κ'rum in. 8 m n. m- -- , cujus terminos si transferas, & pro m sen
347쪽
termini omnes potestatis Imparis, & coefficientia determinata sunt uno deteris minato. Ad aequationem gradus noni inveniendam, eadem methodo utere, atques 7 223 333 44 shanc obtinebis x-ymnxn κ 3O m n π --9m n m - ms s
eujus radix una est κmm n. 18. Mirabuntur sonasse nonnulli, me usque ad aequationem gradus noni me. thodum produxisse, quae eaeteroquia non videtur dissicilis intellectu. Verrem hoc maxime necessarium visum est, ut eas, quibus aequationes nostrae praeditae sunt, conditiones determinarem. Quisque videt aequationes viduatas secundo termino carere similiter quarto, sexto, aliisque tenentibus sedes pares . Quare aequatio gradus imparis nullum habet terminum, in quo N obtineat potestatem parem; contra in aequationibus gradus paris nullus erit terminus, in quo ri teneat imparem dimensionem. Ultimus terminus communis omnibus est -πZ- 'r pestexponens maximum incognitae n. Praeterea in aequationibus paribus adest termi-
Termini, qui exinnus a m n ἰ qui tensendus est e meiens quantitatis κ' piunt in aequatione, si exeipias m , n , quibus semper praefigitur signum si-
gna habent alternantia. Quapropter in aequationibus paribus termino a praefigendum est fignum --, si ρ sit numerus pariter par, hoc est ex serie hae , 5, 12, 16 &c.; contra scribendum est- , si ρ sit numerus impariter par, idest ex serie a, o, Io, t4 &e. In coeficientibus habetur gradatim mn, Sce. Verum numeri his praefigendi non ita uelle inveniuntur, si excipias illum, qui multiplicat mn, quem constat esse semper πρ. Ut caeteros inveniam, ex octo illis casibus, quos supra tractavi, etarmo tabulam hoc modo.
348쪽
In primo ordine horizontali colloco mn, m , m n 3te. . quibus numeri, qui
quaeruntur, lunt praefigendi. in prima colvmaa verticali , quae est ad sinistram, numeris romanis e .primo gradum aequationi , Cui numeri, qm sequuntur, conveniunt. Scribo numeros, qui id octo casidua consteteratis inventi sunt, noa oinisso a ia
aequatiost bus paribus, qui dueendus est in is Q3o. Si perpendo coἱumam lubject φ mn, vIdeo, eam esse seriem arith. mrtica n creicentem per unitatem , cicique ternianos L mper aequales esse num ris gradum aequationis indicantibus: qu4re Produci poterat nullo negotio, adis dendo euilibet numera unitatem. Qui tib t numerus columnae, quae iubesteit lumina cum aualari, qui lupta ιν tu in potaus est in eadem columna , tum ejus. qui in columna proxima ad sinistr m sita per duas sedes tum rior eit. Ita in grMu qui cito mamerm quaelitus est a D 3, in texto I - , in teptimo Misti atque it 4 dei aceps. Hac aut ς' ratione in altioribus graaibus hane columnam sum per I equutus. Similis lex valet in omnibus aliis corumnis . Quilibet enim numerus est aequalisa umem superiori eiusdem columnae, di numero antecedentis columnae, qui respondet Madua per duas uniterea mimari. Ex hae methodo emo mavi etiam in gradibus luperioribus ravulam, quam e ibat, quae nutio negotio produei potest, quousque libuerit. ET nac autem tabula aequationem cujusis eumque gradus reperies, cuius ravix una est u- -n, quam aequationem de inceps canonicam appellabo. t. Formularum eanonicarum usus modo declarandus est. AEquatio quaelibet cujuscumque gradus, quae careat terminis omnibus in sedibus paribus, exincepto ultimo, & quae terminorum existentauin coemi eates proportionales h brat quantitatibus mπ, m n , m &c. multiplieatis per numeros nostrae tabulae gradui aequationis convenientes, vaec inquam aequatio recipiet radicem similem radici aequationis cubicae. Radix autem naec Inveaitur per collationem aequa tionis datae cum aequatione canonica. in aequationibus secundi, & tertii gradus methodus declarata est, ubi de hisce aequationibus egimus. Incipiamus ab aequatione gradua quarti, quam generatim ita expono κ---aaa 4 4 comparatione cum canonica Invenio α- n in b. Eliminata
specten fiet m H-sio m - , quae resoluta dabit
349쪽
his valoribus m, n, qui simul multiplicati exbibent - a radices me ivunt aequationis propositae, quum valet signum superius. Qui vero fimul mutatiplicati danr -a, praebent radices aequationisi, quum valet fignum inseri . D. Itaque aequationis - an a aa-bet o radiera erunt I x i l a
350쪽
re quinque eum m , tum n valores invenientur , ex quibus illi radicem propostae aequationis expriment, qui simul multiplieati praebent in a. Ex hoc crit rio radices determinabis, quas, ut brevioribus sermulis complectar , pono m, naequales radicibus illis. quae respondent unitatis radici quintae --I . Hoc supinposito en tibi aequationis radices π α m--n-d 3 - 1
s 3 - Ι - - ι - io - 1 134. Ex hisee exemplis, quae diligenter persequutus sum , perspicuum est, qua methodo altiores aequationes sint pertramndae. In aequationibus gradus imparis x &e. - , m o, invenies semper hanc radicem x- - se a In qua radicalia signa easi a i 4 . 1 a i exprimunt radices, quae respondent unitatis radici i. aequationibus paribus quae secundum terminum affectum habent signo se, ut σπ
dites a signis radicalibus designantur, quae res dent unitatis radici Censeo, non esse praetermittendum discrimen, quod intercedit inter aequationes gradus imparis, ac gradus paris. Nam in aequatione gradus imparis si a tran Di tirco by Gobste