장음표시 사용
331쪽
Ia A pono suppositiones; In B cribo quantitates, in quas in singulis supi si
tionibus mutatur proposita' In C harum quantitatum divisores omnes duarum literarum; in D vero diviseres tres, qui implent conditiones requisitas, ut lat. licet termini unius in duobus aliis reperiantur. Hos divisores eollige in sum mam, & accipe dimidium, Sc habebis factorem propositae aκ-Hsa 3b. Re psi peracta divisione remanebit quotiens κ*-Ha κν Exemplum alterum praebeat aequatio
In A habes suppositiones, in B sormulas, in quas mutatur proposita in istis sum position hes, in C harum formularum divisores omnes duarum liserarum . U-pr;mo ex his divisuribus mures omnia signa, tres invenies, qui requisitis eo ditionibus satisfaciunt, quos scribo in D . Dimidium summae horum trium 4α-3a- prahet divisorem prepotiae , factaque divisione potis iis il lienis Σπ --aκ -Iasb. o. In ius exemplis non ser mus in eolumna C di.isores unlu, litarae. quia isti lassicere non possent iactorem compositae ex trjbus literis constantem, sed tantum ex duabus. Hos autem paullo ante alia methodo docuimus inveni. re Verum si quis hac methodo vellet vivisores duarum literarum simul eum divisotibus trium literarum 'determinare', id facere posset , dummodo una taLtum .imentarie donati . sint, Unico exemplo rem . patefaciam in aequatione 15 -- Iob κτ- gare ε 3s a,-- 14 a b κῶα 3 rb-
In A de more scribo suppositioires, in B sermulas, in quas mutatur m sita in singulis suppositionibus, ta C harum formularum divisores . Ne autem e iarum numerus plus nimio augeretur, apposui supra numerum intra positum qui indieat divisorem illum literalem talia , multiplicari δ per eum 'mamerum. M per singulos ejusdem numeri divisores. ita tormulae mediae divisos est Μ, qui habet suprapositum, io , sui docet, nox inam N sed etiam a M. N,ου , Io Μ similiter ejusjem i mulae dbvi fores. His Affectis inquiro inter divisorhs tris, qui impleant continuaem, ut termina uatus an aliis duobus reperiantur.
332쪽
Niei modo id obtinetur, ut apparet in D. Igitur dimidium summae accipiendo . habebimus tres factores propositae 4κ- is, 4κ-3a, κ-2a-b. Reapse si dividas propositam per εκ - invenies quotientem 4 π - aκ ἐυς--a 3 a b. Hunc si dividas per ψκ - a, invenies a a- b. 3 i. Aliquot animadversiones non dissimiles illis, quas fecimus in divisortibus ua: us dimensionis, methodum aperient inveniendi factores duarum dimensi num. Sit sactor, qui quaeritur,mκ--na α--ρbκ- qa--rab -s b . Ponantur successive M, , α o, atque in his suppositionibus factor in tres is mulas convertitur nimirum quae sine .dubio divident formulam propositam dii in i successive fiant Μ, a, b - o. In his divisori diu termini, . qui continent quadrata literarum κ, a, b, bis inveniuntur in duobus, qui autem continent rectangula. ex duabus liateris semel. Sato in tribus divisoribus duarum literarum, quae a proposita elicientur, hae conditio spect*nda erit, ut quadrata semper retinperiantur in duobus, rectangula numquam repetantur . His inventis accipiat dimidium summae quadratorum, et integra summa rectangulorum. Quod prodis bit erit factor quaesitus aequationis. 3a. Exemplum primum det sermula amκ ib
In R continentur suppositiones, in B quantitates, in quas . mutatur propolit i suppositioni bur singulis. Harum divisores duarum dimensionum continentur in Qui implent conditiones requisitas habentur iα D. Ex his, si accipias dimidium summae quadratorum, et integra rectangula, invenies. duos factores x N3 a ab , κα-aa- quos si invicem multiplices restituent propositam formMiam . in primo iactorum ternario potest rectingulum ab . aifiei utroque signo' . Ambiguitas vero per actualem divisionem tollenda est. Si instituisses divitionem propositae formnlae per nae 3a, ab , divisio non compleretur; ergo hic non est factor propositae. Completur autem, si siat per κη - 3 aπ- a M. 3 433. Exemplum secundum , & ultimum habebis in laquationa an 3s
Formula convertitur in eas, quae sunt in B, nsant suppositiones positae in A. Divisores duarum dimensionum sermularum B habes in C. Inquiro
333쪽
s eripti sunt in D primo Ioeo, sine dubio adimplent. Ex his formatur factor
per quem reapse formula proposita divis bilis est. Adverto tres quoque, qui scripti sunt recando loco, conditionem implere, tametsi in illos b nociingrediatur; nam quadrata iterantur non iteratis re langulis; ergo per illos i veniemus factorem duarum literarum xx- aa. Facta autem utraque divisione orietur α - a. Quare aequatio resalvetur in tres unam simplicem,& duas secundi gradus. Non vacat, dicere de divisionibus plurium dimensionem , Sc literarum quae majorem utilitatem habent, ea satis nobis explicita videntur. oriam hanc , iactorum rationalium dilucida , eleganter, atque accurate pertractavit Clatraue Vir Doctissimus, a vo accepimus. Ceterum ullis, atque elarcitatio, quae in his lae rebus plurimum valet, siciliores mei dos tibi suggeret ad inveniendos facto. res ration ira plurium aequationum.
De resblutione aequationum per factores quoscum pre .
Postquam methodum tradidimus resbi vendi auiuationes per factores rationales, ut rectnm ordinem sequamur, ea tradenda est, quae pertinet ad iactores quoscumque . Quemadmodum autem illa, ita haec quoque tentando perficitur. Primum i . methodum aperiemus in aequationibus quarti gradus, deinde in aequationibus qui ti, & sexti, unde quantum generalis sit , apparebit. . r. Sit proposita aequatio Μ'--am'--aarim aYκ- ab α o. Aecipe dura
ι quationes seeundi gradus N UN-Hu meto, Ν - σκ- 2mo, in quibus , v, μη sint quantitates determinandae in progressu analyseos; easdemque simul multiplica, ut habeas κ'--s κ)--io. Hujus termini singuli compareatur. . Si aequentur cum singulis terminis propositae. Meundi termini comparati dant
valores ut habe sequens sequatis later
insone,m- doremue,s eta dimitam termini Pb. Hujus quantitatu .viniantur divisores omnes secundi grastinc diviseres unius aut trium dimensionum aetem. non finiunt, quia aequationi, subsiliuitiae sint sicinini' socius 3. I, autem suar
ah ab. Incipiamus a primo, & pominiae qui olor: IDMe una exaequationibus subsidiaris fiet κα--. - - - a , moia
334쪽
Nequidquam tent, is per hanc dividere aequationem profistam, divisio enim non perii inur; igit ut disitor assumptus est inutilis. Tistemus alium divisorem
- ab , facta v - ab, invenietur autem λαος ergo subsidiaria aequatio fiet: ω - a b et O. Per hanc dividitur sermula proposita, & quotiens resultat κ- a'. Itaque aequatio data resolvitur in euks A κ'- a b zo , exH-a aa - o. Si sumpsi ucsaa, inventiles sormula Libsidiaria mutata sui siet in per quam divisa propolita, ortus iuni et quotiens Ax--ab. Quoὸ si sentatis divisoribus omnibus, divit o non, perficitur, inquatio saltem per hanc methodum reduci .nhn poteil. Si in hac ah lo divisiones vitare velis, ex alumpto va'ore u invenimiquas . , s, ζ. . Errum valores in trinomiis colloca, trinomia inter te multipliea Si ex figat aequatio pro fita . res phrieti. est ; sin minus alii divisorestentandi. Sed expeditius hoc cognosci , si eam aequationem respicias, quam te tit termini praebent, nempe aa ab , cuius usus factus eii nullus. Si valores et substituti reddant hanc aea tionem identicam, ia- serviunt resolutioni propositae; secus sunt prorsus in nisi 3. Quaerantur factores aequationis 'π' -- ab xl bbκκ-aybmo. Hujus temmini comparemur. cum singulis terminis, ius, quR nascitur ex duobus trinomiis auxiliaribus inter se multiplicatis , qua habetur N. i. Orientur quatuor aeq uatio
H-2 bu 'tist moactst y - Quando autem ex aequalitate net: apparet v esse divisorem quantitatis a b, aeeipiamus hujus divisores omnes '--ndi gradus, qui sunt Q,' 'ab,. Ita . Si primi duo, rationales examb. De tur, psam fed, φω eae omnino inutiles, quia' secunda aequatio non aedilitur 4dehsica. taxatane, Mada; , quae fiat tu, invenietnr 9.- a Paxmb. Hi valores ponantur in secun3a aequatione, & exurget a fabri b adam: bb, quae est identica; ergo isti val es resolutione T suppeditant. Trinoimia autem erunt Eadem invenisses, supponendo n-- a Ua b. Reapse duo trinomia multiplicata aequationem propoliariam producunt . . . a ae
335쪽
ergo sunt inutiles. Examinemus secunδum valorem habebuntur, valoro x a, ,s zzaa , qui in tertia positi dant: in o , quae jdemtiea est di no valores isti satisfaciunt . P aque in iormulas. sibsidiariis dabunt duas, in quas resolvitur propo a M. - / η' Ῥm a mi κ. -ππ- . 1 a X a o; quae duae imia multiplicatae propositam restituunt. Si divisor H-aa inutilis k ' - aa. Quoi si neuter satisfaceret, ae uatio tam per hanc methodum esset irredueibista . S. Altera aequatio resolvenda sit , i
Quum v debeat die. quantitatem a b, huius divis es- secundi gradus aeeipiantur omnes qisi Singilli eximinandi nant aliis frustratefit tin minemus - ab , & ponamus u.m ab . .Equatio inter 9 u prove ita
336쪽
uramur , fiet si ab se π seri, Vmo , in aequatione tertia -jus nullus usu lactus est, & orietur
dentio. Utamur reso valore I o, ex quo valores proveniunt rma, mast, . et emis'. aequatio tertia per hos valorra mutatur in hanc se a - a - a, ἰ Heatica est; ergo valores positi satisfaciunt Itaque equationes, in quas relaruvitor proposita sunt a j-ο, quae invicem muL i liolae eamdem restitii untis . in . o. Tani risi sexti gradus aequatio reloiri aliquanta possit in tres. secundi ν divi tamen loquemur solum G resolitione, in duas. aut ambas tertii gradus, aut i in secundi, alteram quarti, quia si resolvi potest in tres secundi gradus, relabui etiam poterit in duas unam inundi, alteram quarti gradus. quae item resolvi . 6 . ς 2 4 3 3 7 φ. poterit in duas secundi. Sit sequatio κω- Iiax - 4sa α - Ta κ -πa κ- is a nes a Im ο, reseruenda in duar unam seeundi, alteram quarti gradus.
u. Valorem 2 pone in quinta,& inveniri s valores inventi iubstituantur in quarta, & nascetur
me. Quando is debet diuidere 1 , & divisores magis simplicti sunt mariae 2 aa, AEa ψὴ ,
337쪽
proposita resolvitur, erunt κω - Θa mo, quae in sese ductae eamdem restituent.' Animadverso ut omittenda non est. Si adhibuissem noa quartam aequa. tionem, sed tertiam, prodiisset aequatio cubica av)- acla M'. Ra is,la Dum antea invenerim aequationem quadrati eam, quae isellioris est resolutionis Quare electio terminorum, quibus utamur, plurimam asserre potest utilitatem. Nihilominus per aequationem cubiram rem eodem modo conficerem, quia ejus radiees soni να - 1a,9m -- 47, quarum una, nimirnm - 2' eos valores praeberet, quae quartam aequationem redderent identieam. . 3. Propono nunc aequationem sexti gradus resolvendam in duas tertii scilieet, Μ --3 a 4aao--6632κ--aa mo. In auxilium vocamdae sunt de more duae aequationes tertii gradus κ)- - νκVPPκ u mo, ς 3 AN M st, quarum productum est hujusmodi.
ultima κα In quinta isti valores substituantur, di invenientur
Ex seeunda substitutis valoribus
taque aequatione invenietur. Duo valores ρ inter se aeqdentur, opurga.
338쪽
divisorem 2 a , oma es hujus quantitatis divisores tentemus. Pono itaque u m a . . . ' ρ χ α 3& aequatio orietnr 9 - qa S a F-a a mo, quae habet duas radices aequales nempe a, & unam inaequalem S m aa. Hac utamur , & inveniemus v lores t m a, z-aa', ρ a, s m a , qui valores positi in quarta aequatione dant a. a a' o a', hoc est. identieam. Valores itaque utiles sunt, δέ dant
quae tu sese ductae propositam restituunt. Si volor sm a a suisset inutilis, tentaruiem alium si m a. Si hie quoque inutilia deprehensus suisset, ponenda foret tu cessive n a ualis aliis divisoribus tertii gradus quantitatis et a . inod si omnealarent inutiles, per hane methodum resolvi aequatio non posset Quamquam methodus ista applicari etiam missi aequationibus graduum supersorum, tamen difficultas maxime ob terminorum multiplicitatem augetur. Si resolvenda essti aequatio gradus octari in duas quarti, in sinpulis aequationibus auxiliaribus quatuor indeterminatae haberentur; quare facto etiam unius termino ultimo aequali divisori ultimi termini propositae, se se orirreat aequationes solidae, quae difficilis sunt resolutionis. Attamen si resolvantur, voti compotes efficiemur. Methodus ista, quae tentando progreditur, ad optatum exitum saepenumero non perducit. Attamen si sormulae eae sint, quae convertibiles nominantur , sine 'dubio istae in plures secundi gradus resolventur quae quidem aliquando imaginaria possunt continere. AEquationes convertibiles iunt gradus paris, ejusque exponens
vocetur m n; In primo termino adest κ , habens pro coefficiente solam utitatem, in ultimo est quantitas constans, quam voco m a . Quilibet terminus positus ia-
ter medium, Sc ultimum divisus per eongruam radicem a debet esse praediim e dcm coenicente,& signo, quo terminus respondens postus inter medium, δε pris , mum. Ita convertibiles erunt aequationes N --bm inceππ--aabκ a mx. bκ--b α)- bx a . Methodus resolvendi has aequationes est hujusmodi. Asiumatur sermula ieeundi gradus ππ-fκ-- a amo, in qua f est qu/ntitas determinanda. Deinde formetur formula convertibilis inferior duobus gradibus, ita ut primus terminus si κ' ultimus a' ' , cujus eoeffieientes pariter fiat indeterminati. Istae duae aequationes simul multipleentur, & ejus, quae nascitur, termini singuli comparcntur cum terminis datae, usque ad terminum medium in elusive I cetercrum enim comparatio easdem, ac primi aequationes praebent. Ej
339쪽
ctis omnibus indeterminatis praeter L proveniat aequatio inter f, 3e eonstantes
Ualores omnes ex hac aequationc eliciti, positi in trinomio ππ--se a amo, exhibebunt aequationes secundi gradus, in quas proposita resolvitur. io. Propono ad exemplum primum aequationem convertibilem ω abdic' xa ab ΜΗ ' πι o. Enrmo aequationem convertibilem duobus pradibus inferiorem, scilicet Me in m quam multiplico per trinomaum κ-fκ--aa, ut nascatur convertibilis aequatio ' a' o. Comparatio terminorum duas aequationes fκ - θα - - a b κpraebet f--bet ab , Ea a D m o. Vadorem h elicitum ex prima substitue in secunda , m habeas asa abs Umo,seuss a b - 2 aa, cujus radices sunt f in briora a --bb. Hos valores pone ia trinomio, Se habebis xx--bκ- -κ, χaa--bb--a amo, AN b - π aaa H bb a a m o, in quas aequatio proposita resolvitur. ' ε ε xi. Exemplum alterum sufficiat aequatio Μ --a mo. Emmo aequationem convertibilem gradus quarti x ρκ -bm --a gκ--a mo, quam multipliam per trinomium MN HI κ-Ha amo, ut habeam is alam convertibilem gradus sexti
mio κπή-0 a aio dant tres aequationes secundi gradus, in qu2s proposita resolvitur, stitieet κκ a amo, κΜΗ-aκ 3--s amo. π π - ax 3-- amo. Gabriel Manhedius Analysta doctissimus in primo Ae. Bononiensis tomo sorin Ias convertibiles in usum traduxit ad resolvenda nonulla binomia , & trino uia in factores reales seeundi gradus; quod nos deinceps adhibita miliori melliodo
aa. Non videtur hoe loeo omittenda methodus deprimendi aequationes, qu tiescumque constat, eas praesitas era duabus, aut pluribus radicibus aequIlibus, ruam tradit Ioannes Huddenius vir celeberrimus in fine Geometriae callesianaee reductioae aequationum regula ita Illa enim saepe in usum traducitur, dc utilissima est. Sed quoniam sine ulla demonstratione proponitur, danda nobis opera est, ut certa fundamenta detegamus, quibus ianititur. Demonstravimus C p. prismo, binomium κ- - a elevatum ad potestatem m ita exprimi
3ce. Si ab hac Diuitiaco by Corale
340쪽
hae sermula tollamus primum terminum ae , tum auferamus maximum factorem cujuslibet divisoris, demum dividamus per ma, proveniet sermuri
aliud, nisi biaomium κ- a elatum ad potestatem m - i, unci scilicet grada munorem . Verum facile est cognoscere, haec omnia obtineri, si singulos formulaeterminos multiplicemus per singulos terminos semel arithmeticae o, I, ,3 &c., eosque Oinaes dividamu per ma. Quapropter si luppo mus Μ - amo, constat
fore tum κ a mo, tum a 'o, atque in hae laenada sermula numerum radicam aequ1lium eisa unitate minorem quam in prima. Igitur si fingulos terminos expositae sermulae, quae supponitur mo, multiplicemus tersingulos terminos serieharithmeticae o, I, 2, 3 &c., resultabit sormula quae erit mo, & habebit numerum radicum aequalium unitate imminutum. laeta maaifestam est valere . si finguli termini multiplicentar per seriem arithmeticam o, n, an, 3n &α qui -- haec nova series hoc sobam discrimen indueta, quod singulos terminox multiplicat
per naia Idem dieas velim, si aequationia singulos terminos multiplices per fing las terminos cujuslibet seriei arithmeticae b bH- n, n &c. Nam haec operatio nihil aliud prestat, quam multiplicare primum fingulos termino per b, quod dat b. κ-a ; tum eosdem successive multiplicare per o, n, run
3n &e.; quod ut constat ex N. superiore dat uma. N a ' ergo haec ρο-
ratio praebet sermulam aequalem b. Μ--a --m N a .F-a , seu
ν κ a . quae habet πη- radices aequales, adeoque in i . Quod demonstratum en de illis aequationibus, quae lolis radicibus aequa-nh --nluat , idem non est difficile extendere ad illas quoqne , quae radice habent partim aequales, partim inaequales. Intelligantur primum, omnes termin, formulae exprimentis potestatem na binomii κ--a duet in , tum termini finguli multiplicentur per terminos singulos seriei arithmetieae eujuslibet b, ο - an, &e. manifestum est prevenire tormulam, quae aequabit
Iam vero specta quamlibet aequationem coalestentem partim ex radicibus 1 qualiis ibus, partim ex inaequalibus. Radices aequales det κ-Haα - ax - - BE &e. itaque aequatio ita disponi poterit inaequales formula