장음표시 사용
351쪽
stat in negativam, mutatur radix -- οῦ quum enim includata elatam iai Φρpotestatem imparem, terminus. a est positivus, si sit positiva, negativus, si a sit negativa. Quare non est necesse distinguere casus dyos, a positivae, a n gati vae ; una enim eademque formula utriusque radicem exhibet per istam mu tationem signorum. Non ita accidit aequationi pari : nam vel a sit positiva, vel negativa, elata ad potestatem parem eodem signo afficitur. Quapropter per lo. Iam mutationem signorum utriusque casus radices obtinere non possumus , Anecessarium est alterum ab altero distinguere, ac separatim radices exhibere, ut praestitum est .as. Ad alias radices eruendax , necesse. essed cognostere omnes radicea
ciunt -- a, si ρ sit impar ' vel posito p pari, si iα secundo termino insit - , vae exhibent sea, contra quae dant -- a, si in secundo termino insit - . Quibus rite perspectis uti constat, quaenam sint aequationes, cujus radix una potest exprimi ad modum radicis cubicae cardanicae. 36. Si huc referas, quae de finibu1, & cosinibus. doeuimus libro secundo cap. ia, statim cognoicus, formula. omnes, ad quas devenimus, construi posse. in.entis sinibus, aut colinibus logarithmi, aut arcus submultipli , quod facilius fiat, si dividas tormilias per a ita, ut non quaeras integram radicem sed ejus dimidium. Ut sublata omni cubitatione methodys clare exponatur tractatio o. ranis in quatuor hypotheses est distribuenda ia Prima hypothesis ponit ambas a, b, positivas; lecunda a positivam, b negativam tertia a negativam, b positivam; quarta demum utramquet negativam. Hypothesi x primae formula est hujusmodi
- , quae duos complectitur east
352쪽
His aequationibus simul additis , des de ex ptima detracta altera, obtinemus atqui Ch. '-s h.' α νν; ergo fit
ti sinu isto a'. Hujusmodi oritur constructio. Descripta hyperbola aequis latera, cujus sinus totus, seu semiaxis AC m ai, abscinde C M α - , .a δ& exeita sinum MN. Fig. a. Ex punctis A , N in assymptotum demitte no males AK, NP. Inter CK, CP inveni tot medias proportionales, quot sunt unitates in ρ-a, quarum prima sit C G. Ex G due GE perpendicu arem asis
ymptoto, tum finum EB, qui determinat tofinum CBα- . Si ρ sit nais merus impar, prima ex mediis proportionalibus inter C Κ, C P uni eum tam tum valorem hibet realem, quare una istum erit aequationis radix realis. Si vero p sit numerus par, prima ex mediis proportionalibus duos valores reales habet aequales, unum positivum, alterum negativum, nempe CG, C gἰ qu re etiam C b. - duos valores aequales habebit, nempe CB, C b primum pota ρ κtivum, secundum negativum et igitur etiam - . 38. Institue alterius easus eomparationem, & ex aequationibus
353쪽
structio' inserino circulo, cuius sinus totus, seu radius C A m I , capiatur C . ti agitur sinus M N 'o ad, erit A N arcus m M. Hic in tot para
tra dividatur, quot unitates sunt in ρ, quarum prima sit ΑΕΣα - . Dentire tur finus EB, eosinus CB α - . Non unus tantum est arcus Ap, cujus co-sous est C M, nempe vocata circumserentia circuli me. M arcu AN .mnes argus ae--- Re., imo & alii
ac , ut vides, sunt numero , niti . Hos omnes la dividas in partes ρ, invenies novos arcus Aa EAg E &c., quorum colinus C aB, C 3A 3ce. exhibent novos valores radicis . Ne tamen putes, valores reales esse numero infinitos; tot enim sunt, quot unitates hxistunt in numero ρ. Nam per divisionem areuum numero p. Inveniuntur puncta numero P. Reliquae divisiones eadem puncta praebeat; qu re tot valores habet, quot insunt in ρ unitates. 3ς. in secunda hypothesi, ubi a positiva est, , negativa, mutato sienolpecier hanc formam aequario Induet I I
. - b b ρ - 4tinii, li- qa . Comparatio praebet eosdem valores,ac hypothesis prima, cum hoc tantum discrimine, quod eosinus M provenit negativus, existente finu pomtivo. Quare in easu hujusmodi oritur eoastructio. Descripta hyperbola aequilatera, cujus sinus totus C Amat, abscinde C Mα - , quae, quan-
co negativa inventa est sumitur ad partes eosinuum negati votum. Huic excitetur normalia MN F.. 3. ), quae mitur ad partes sinuum positivorum, quia sinus inventus est positivus. Ex N in .astymptotum Cc demittatur normalis N P. Inter CK, CP inveniantur tot mediae proportionales, quot sunt ustitates
an numero P I, quarum prima sit C G. Normalis aisymptoto sit GE, A normalis axi EB; cufinus CB, qui negativus est, erit m . Quoniam C G
354쪽
pridia est in mediis proportioralibus inter CK positivam, Si negatIrim. non semper realis est, sed aliquando imaginaria . Si ρ sit numerus impar, iatre C , C P laveniendae erunt mediae proportionales numero pares ; atqui inter quantitatem positivam, & negativam numero pares mediae proportiouatra possibiles sunt, & reales, quarum prima semper negativa est; ergo si e sit numeros impar, CG erit realis, & negativa Iergo etiam CB α- est realis L & n gativa. Ueruntamen si ρ fit numerus par, numero impares mediae preportion
tes erunt inveniendae; atqui inter quantitatam positivam, & negativam, numKro impares mediae proportionales non omnes reales sunt, sed prima , tertia ,
quinta &α sunt imaginariae: ergo quum CG prima esse debeat, erit imagirunaria, adeoque etiam CB α - . Itaque in primo casa see dae hypothesis, sip sit impar, adest una solum radix realis negativa; si ρ sit par, radices omnes. sunt imaginariae. δε ν o. In secvado rasu ejusdem hypothesis, quum scili eat - α a , h Αhatur constructio, quae dorat, omnes prorsus radiere essa reales. Descripto ei culo , cujus sinus totus . seu radius m , absciadatur negativus. cosinus C Μ tr , & excitetur positi una sinus Μ N. Vocato arcu A N m , a ripiantur arcus e- --, Re -- Sce. tot, quot sunt unitates in ρ, & iacta horum artuum divisione in partes aequales numero ρ, determinentur puncta E, aE, 3E - Ab his definiuntur radices aequationis C B, C a B, C a B 3te Sa- perfluum est, plures arcus accipere, quia eadem prorsua puncta ia divisiongreditenta41. In tertia hypothesi, ubi b postiva est a negatio, plures casus necesse est distingsere. Primus casus statuet numerum ρ imparem . in hoc, matA .sgno speciei a. aequatio hane induet sormam
di ' qua, quum nihil imaginarii
vontineat, ad hyster lam est reserenda. Nonnemo primoribus oeuIis sermulam intuens sertasse iudieabit, eam comparandam esse cum expressione lorarithmi submultipli. sed si comparationem instituat, cognoscet statim, sinum totum im gia rium oriri. Quod non indicat, constri tionem esse impossibilem, ted tormu- iam non per eosinum . sed per sinum hyperbolieum esse construendam. Hoc ex eo poteras quoque colligere , quia , si iecus fieret , sinus major esset eosina , quod in hyperbola omnim impossibile est. Itaque ut formulam reseramus ad
355쪽
quae comparanda est eum sequenti
tiones duas C b. μ -- sh . - - Ch. - - S bar
ex quibus propter ambiguitatem signorum provenit
C x, CP inveni CG primam ex tot mediis proportionalibus, quot sunt unitates in numero ρ- l. In casu autem ρ imparis, haec iam aer realis est . &unica. Ex G sit GE perpendicularis adymptoto, Sc ex E ducatur iiaas EB, qui erit m nempe radici quaesitae. 43. Quum p est numerus par, admonuimus, mutari formulam aliquantu
lum, & hanc valere. - - - ------ -- -- , quam a I
tinebit imaginarij, atque hie erit tertiae hypothesis casus altet; vel - ,&i inaginaria radix sormulam afficiet. In secvado easa comparanda est cum sorinula
snui logarithmi submultipli . Comparatio autem dabit - s&a αν. Quare constructio parum dissuri a superiore ,
356쪽
Nam in eadem hyperbola abscinde C Μα --, ' duc saum MN.Aex
N perpendicularem assymptoto NΡ. Inter CL, CP determina CG primam ex tot mediis proportionalibus, quot unitates continet ρ- οῦ tum oraina ac symptoto rectam GE, & axi sinum EB, hic aequabit - aequationis radicem Quoniam ρ - i ponitur numerus impar, duae erunt primae mediae proportionales iniet CK, CP aequales quidem, sed altera positiva, altera neg/tiva, nempe GG, C g, quare duae etiam radicta πι - , nempe EB positiva, & eb n
43. Quum -αo , 3c imaginariae radlaes apparent, formula elegantiae
Si d-1 elevetur ad potestatem p parem, potest exhibere δε --I , & - r . Dabit --, si s sit ex hac serie 4, 8, Ia, io, a &c., hoc est
Praebebit -I , si ρ sit ex serie 2, o, io, 34 , 18 &c. idest impariter par . Ponatur ρ pariter par, atque hic lit tertiae hypothesis casus tertius. In hoe casu, - ι elevata ad potestatem ρ, opportune multiplicata nihil mutat tetminos. Fiat collatio cum exores ne sinus arcus submultipli, & lavenietur - Iα ---, &a' me. Constructio fimilis est superiori. a i-ρ' i 4 ε - θν l ν a b Nam in circulo, cujus sinus totus m P, sume sinum C Μαοῦ - ,&d snum MN Fig. x. . Ateum AN divide in partes aequales numero ρ , qua rum una sit AE . sinus BE - . Radix haec non est unica, sed tot habens atur, quot unitates sunt in numero ρ. Inveniuntur autem per divisionem arenum , c PM, 2 c μ, 3 c--μ 3 e., ut ex superioribus manifestum est, posito arcu A Nm m.
. Tertiae hypothesis casus quartus, & ultimus ponit, numerum p esse impariter parem, quo in casu quum 1 elata ad potestatem praebeat in g, Diqilirco by COOste
357쪽
Si haec conseratur eum expressione suus arcus submultipli, eaedem determisatis. nes provenient, quae in casa superiori, cum hoc istum discrimine , quod tam cc.μ, quam se. μ negativus exurget. Q ra haec oritur constrnctio. In atreulo, I bcujus radius m P ad partea cosinum negativorum abscinde C Mm ---- , R. a ' .& duc M N Fig. ad partem negativorum sinuum. Areum Aa a N du
Vide in partes aequales ρ, quarum prima sit A E, cujus sinus E B α - . R Ii quos valores invenies per divisionem arcuum c - ω, 1e--μ, 3 c- μ&positu arcu A a a N m μ.. . . in 4s. Quartam, & ultimam hypothesim. In qua non minus a, quam 5 ne Lativa est, quia umilis priori, breviter expedio. In primo cata suppo nil enumerum imparem, haec habetur formula
ne sinus inirithmi submultipli easdem determinationas praebet, ae in hypothusi superiore, cum hoc tantum discrimine, quod Sh. . evadit negativus. Quam in eadem hyperbola ad partes finuum neotivorum applicetur M. N - ,3e ducta in assymptotum normali N P Rig. s. , inveniatur CG prima ex me diis proportionalibus. numero ρ - a, quae, exstente ρ im ari, unica est. Asa tur assymptoto normalis GE,& sinus EB, qui aequabit quaesitam - . . b b M . I. secundo casu , quum p est δι - a , haec sermula valet
358쪽
Fig. ad partes negati vornm, & ducenda normalis assymptoto a Ni P. I ter Cic positivam, & Ca P negativam, invenienda esset prima ex med in proin portionalibusρ- a. Verum quum P est numerus par, haec est imaginar. . Quare in hoc casu radices omnes - imaginariae sunt.
s. In tertio casu, ubi - α a , & ρ est numerus pariter par, larmula qest hujusmodi
qua facta comparatione prodit Ce.,. negativus, & positivus. Quille iaeodem circulo radii α sume negativum eosinum C M m
tivum linum MN Fig. . . Divide arcum AN in partes numero ρ, qu rum una sit A E. Hujus sinus EB aequabit radicem - similis divisio areuum&e. reliquas radices praebebit. η. in quArto calu, in quo ij dcm suppositis p est numerus impariter par, formula haec obtinetur
G. si fiet collatio eum expressione sinus arcus submultipli, invenietur Ce. M postivus, at Sc. s. negativus. Quare ad partes positivorum cosnuum sumpto CMmagatur sinus negativus MaN Fig. a.). Areus Aa a Nαμ dividatur in partes
aequale p, quarum prima sit A E. Ejus sinus EB exhibet radicem - . Reliquas radices somnes enim sunt reales invenies per divisionem arcuum e-- ω, c - μ, 3ς - - , &α Quamquam haec methodus resolutionis paucas aequationes compi .litur, tamen nulla alia hactenus latius patet.