장음표시 사용
361쪽
De serierum terminis, ac summis generalibus.
e. IzX sonis antea a nobis da sericlux attacta sunt , quisque
C. gnoscere potest, seriem nihil aliud esse, suam congeriem numerurum , ut quantit tum quarumcumque tuto quodam omine, ae proportione fibi I
. vicem suecedentium vi ItR numerorum mnyriea I, 2, 4, I, M. . sim 3, 6, δα dicuntur series, quia prima eomonitur ex numeris inaturalibus erestentibus ia continua arithmetiea proportioae, altara constat ni . meris crescentibo in continux proportione geometrica .. Quoniam serierum ii universa analysi lagens est usus, expedit vel mav me cognoscere, utrum sertar habeat, M. quam habeat lummam algebraicam, aut exponentialem L Theoriam hanc, quam semper diffieilem geom.trae iudiearunt, penitus absolvit Vincetius Riceato ια Commentario in seriebus rari emi us fummam Aeebraicam , auν evonem atem. Ex hoc, quae mag s necessaria sunt Se utida, prae .lauit decerpore; qeti 'lura euolt commentarium ipsum consulatia a. Deinceps species n dflfi ' bit nus rum termitin m seriei. Terinim
geheralis seriei est indio ipsus is, si , naturales a , s. Sic λ tineatur singuli series et semini . sie series i7, 13, 39, I, , 37 λα habet terminum generalem s. quian in hac formula collo ab successi τε numeros naturales, ineenies singulos seriei torminos. Summam generalem series appellamus nactionem ipsius re, in qua si pro re ponatur quilibet numerus integer, tot term norum, quot in hoc nam m. inlunt unitates, summa olui aeturia It seriei paullo ante positae lumina generalis m 3n -am, quia quolibet numem smegm pro ν substituto , ba-hebis summam tot terminorum . mim sunt in numero illo unitates. in re septem primorum terminoran summim ut habe is , fac n m 7, & in v nies a 33. seriei in infinitum productae est summa terminorum nain mero innat torum . quae saeue obtinetur. licet non hab atur summa generaliti uando autem generalis cognita est, si ponas o α - , summi in setiei in intantium morensa obtinxbis. Exmplum habeas in serie, - 'Ece .
, cujus terminux lsumma amem generalis--- . Ut habeas summ4m seriei in infinitum productae,
sic n v, cujus respectu a est quantitas minima; ergo summa seriei in infi
3. in serierum theoria illud mox'me praecipuum est, ut ex dato termino generati generabis summa inveniatur. Sperandum m nime est . problema hoc universaliter solutum iri. Quapropter eurandum sedula est . ut c. n.nex quid/m, quantum fieri potest, late paterues constituantur , per quos ex dato termino Maerali plurium letierum lumina generalis determinetur . Ad rem hane praesta O
362쪽
standam ingentem utilitatem habet, quod conseqaitur Theorema . In qualibet serie terminus generalis est aequalis lummae omnium termiaorum usque ad ninclusive, dempta summa omnium terminorum usque ad n - I inclusio- . Res est per se evidens . Nam si summae terminorum n. 1 addas te
minum n obtines summam terminorum n.
4. Ex hoc fimplicissimo theoremate, in quo continetur prineipium idoneum ioveniendae summae generali plurium serierum, data aliculus seriei summa gelnerali facili negotio invenies ejusdem terminum generalem. Namque si in latimula lammae generalis pro u scribas n-r, obtines summam terminorum M.
que ad terminum n-I , quam si demas ex lumma omnium terminorum vique ad terminum n , nancalceris terminum generalem. Si aliculus seriel cumma generalis fit m 3u - an, pro n scribe n - I, ut haseas 3. n - 1'-
2. . - 1 m3n -8n HI. Hanc deme ex superiora, ut . fiat On- s ς hic erit seriei terminus generalis. Voca summam omnium terminorum, usqua ad termis
num o m S, eamdem lummam usque ad terminum n 1 ms, quae duae quantitates s sunt eadem functio prima n, altera n I. Vaca termiapum generalem ν, ςrit .
s S sit seriei vera summa. Verum si r S - s, quae duae s ita sunt affe-εae, ut si in prima pro n ponatur u .r, oriatur laeunda , non proinde s quitur S esse exactam seriei summam. Fieri enim potcst , ut S differat a vera Irumma per datam aliquam, Jc constantem quantitatem indepeadentem ab n.
Ita tametsi - I α - lamini, tamen series, cujus terminus
gene uis α -- non habet pro summa
quae minor est vera summa quantitata - . Et autem cognς ras, utrum S fit vera lamma nee ne, habes interium patens, ac Deile. Pone n mi. In hae lappositione si terminus gen ratis t S, haee exhibet veram summam Isi terminus generalis major sit S, h rum dissirentia addenda est S. ut vera i summa habeatur; contra si terminus generalis minor fit S, ad exaliam summam obtinendam ex I di Erentia deme ea est. Ita in exemplo adducto terminus generalis ra, facto n m I, ev et a 4it m - ' at s m ad evadit rar; ergo terminus generalis excedit sper . . Haee itaque differentia addenda est S, ut exacta summa habeatur, quae pro
363쪽
restituatat. Uerum solutio hujusca problematis ita ardua est, atque diffiei iis , ut nulla spes sit eam inveniendi, tametsi termini generalis formulae maxime sim.plicra proponantar. Quapropter in hac rerum dissicultata illud consilii rapi mus, necesse est, quod in aliis casibus permultis capi istet, ut resilio inVerso problemate ad directum nos convertamus, illoque soluto plurimos, eosque late
patentra eanones statuamus, in quibus summam serierum ex dato termino eenerali cognoscamus. Nimirum nobis proponamus, oportet, plures formulas exhibentes summas generales serierum, & ex illis determinemus, quibus conditioni bus affecti esse debeant termini generales. Ita cognos demus , quam summam habeat feries, cujus terminus generalis inventa conditione praeditus est.. q. In hac methodo adhibenda, ea cautio negligenda non est, ut eas formulas seligamus, quae esse possunt exaisae summae serierum. Sed eriterium paullo ante traditum est exactas summas secernendi ab illis, quae exactae esse notia possunt. Praeterea omittenda non est alia animadversio , quae ostendit limites quibus utilitas hujus methodi continetur. Sumpta qualibet a', si in ea seribaturn a pro n, ut fiat s , erit terminus generali 1 s s. Donec terminus generalis hane formam tenet, inutilis est methodus. Namque seriesia cujus terminus genatalis est S - s, constat duabus seriebus, quarum prima habet pro termino generali S, altera, quae a prima deducenda eit, habet pro termino generali s. Si istae duae series formentur, statim apparebit, primum terminum primae ellis dere seςundum feeundae, secundum primae Wlidere 'tertium secundae, atque ita deinceps. Quare nihil remanebit, diu ultimus primae, a quo deducendus est priamus secundae. 8. Exemplo in videtur declaranda. Si aeeipiamus summam S
S -sm Non mutata .rma hujus termini generalis, sermen.
tur series , nempe A orta ex termino generali -- - , & B orta ex termina
1 3 4 s 'o' Quis non videt, harum serierum terminos omnes sese elidere ea contrarietate tagnorum, praeter ultimum A, & primum B. Summa itaque erit ---n m - λ .s ve simplicius - . Quare done terminus generalis superiorem larinam retineat, nihil methodns habet utilitatis. 9. Quamobrem ad utilitatem methodi neeesse est , ut terminus gener iis S -s per artificia analyseos in aliam omnino sermam transmutetur, qua pomis series ex termino generali orta non habeat terminos, ut antea, ieie eliden tes . Quum hos praestare Iieet, lieet autem scepissime, utilis erit methodus; s sus .autem erit negligenda. Si duae fraetiones exempli superioris ad eamdemd aominationem reducanrur, invenies S -s α - - - . Forma haec nulloo o ain n. a -- n Iab Disiliroen by COOste
364쪽
laborat incommodo. Ex hoc autem termino generali series exoritur .
summa seriei in lannitum productae - α I. Tametsi cautiones adhibendae
utilitatem principii, ac methodi eoarctare videantur; tamen infinitum esse seri rum numerum, quarum summa generalis hac ratione determinatur, quae tradi turi sumus, clarissime patefacient. Io. Exordiamur a seriebus, quarum summa generalis exprimitur per san ctionem numeri terminorum mn, in cujus divisore eadem n locum non habet. Quoniam eriterium illud, quot exposui, aperte me docuit, formulas, quae continent terminum constantem . & independentem xb non posse ex bibere veras summas serierum , iccirco iras omittens illas dumtaxat eonsiderabo , qua rum termini omnes continent hoc est numerum terminorum. In hac autem investigatione gradatim procedens, inquiram primum, quaenam sit series, cujus summam generalem exhibet sormula exinente Aqualibet quantitate. do AEn, scripta n - I pro n, erit s m au - ὰς ' igitur S - smν fis Ex invento termino generali Α, in quem non ingreditur n, quisque videt, o riri seriem terminorum aequalium A, A, A, A &c., quorum summam Anxnemo unus per sese non cognoscit. Iris Contemplor deinde series, quarum summa generalis sit Sm an Bn Pro n colloco n - I, & fit An - A AEx hoc termino gen
riς. terminorum aequalium , altera est series terminorum crescentium secundum progressionem numerorum imparium. Tota autem series est terminorum crescentium in progressione arithmeti ea , in qua singuli termini a subsequentibus deducti exhibent eamdem differentiam via B. Terminus autem generalis seriei A' B l aBn; summa autem man Bo' . Quod haec vera sit summa, eonstat, quia, posita n I. in utraque sermula termini generalis, & summae eadem oritur quantitas. Ligapropter si terminus generalis seriei contineat solam n ad linearem potestatem elevatam, nihil est facilius, quam ejusdem summam exhibere. Nam terminum, quem non multiplicat species n, fae M AE - Β ἰ coeffi- si ςntes autem is pone ma B, & per duas aequationes determinabis valores A, B, quo si introdueas in formulam summae, summam obtinebis. Sit caussa eTempli terminus generalis is--gn. Fac A-Bmis, 2Bm 3οῦ erg A - s.sive Ara , Sc Bi -: ergo seriei summa erit .
33. Verum si series dentur, cujus differentiae primae constantes sint, ex no syra methodo determinari poterit eum ejus terminus generalis, tum ejus summa. Namque duo primi termini seriei datae aequentur cum duobus primis terminis seriei canonicae, vel termino geaerali A- B- - aBn aequalia fiat primus datae 1
365쪽
tiei terminus, licta nudit; deinde terminas alter, Raa n m a. Per duas aequiationes determinentur olores quibus habitis non minus summa, quam teraminus generuis datae seriei obtinetur. Ad exemplum ProMao sericin 3, 7, Ir,as,. I9 & , cujus differentiae primae α4.
nonicis laveniemus seriei terminum generalem I n , summam vero
cundum numeros impares; demum tertia esi eju: modi, cujus secundae disterentiae contiantes lunt mo C, quae proprietas Sc seriei univerlae conveniat necesse est. Ex praemiua ana yli aperium est, qua ratione dato seriei termino g trali sumisma inveniatur. omparentur enim singuli termini formulae datae cum singulis formulae e nonicae, & tres aequationes formentur, ex quarym ultima deum tur
qui collatus cum canonico suppeditat tres aequationes I m. A B C, - I m 2B - 3C, I m 3 C; ex ultima habes C α - , qui substitutus in reliquis dat duas ama - B---,-a aB-r. Ex hirum secunda Brao; quare prima fiet x αδ-- - , ive A in . Ualores isti substituamur in is mula summae, quae fiet m - n - n'. . . 24. Praeterea ex eadem analysi discimus rationem determinandi tum termianum generalem, tum summam seriei, cujus seeundae different .ae constantrs lunt. Nam per collationem trium terminorum determinabuntur A, B, C, qMoos cognitis terminus generalis, & summa item cognoscitur. Exemplo uni o aperi/m methonum. Sit series ρ, 33, ar , 33, 4ς, 6ν &e., cujus d ff.r,ntiae te cundae m . Si conferantur hujux seriei tres primi tirmini cum tribus te M nisseriei nostrae canonicae, vel eum termino generali positis m ipso p o u tu ciu-Vς 3, 2, 3, orientur tres aequationes, quas primi ordinis dicam. Dematur psis
366쪽
ma ex secunda, secunda ex tertia,& orientur duae, quas, dicam Deundi ordinis. Ex his prima auseratur a secunda . R unica provenit aequatio tertii ordinis, per quam determinatur C, cujus valor si introducatur in aliquam seeundi or. dinis. invenietur B. Ex una autem primi ordinis, introductis valoribus determinatur A, quibus habitis habetur seriei terminus generalis, 3c summa. En tibi calculum. Comparatio praebet hujusmodi aequationes Primi ordinis Orda in ieeundi ordinis terti Quare B-- C aB-- o C a
qui valor positas in prima ordinis seeundi dat B α o. Uterque valor introd sera in primam ordinia primi praebet m Itaque seriei termiam g
3 3 a Irs. simili modo si inquiratur series, eujus sit summa an H-Bn -- c n
Du , invenietur terminus generalis ex quo gignitur series habens tertias dis.
serentias constantes. Eamdem methodum is
Sertex autem, quae ex hoc nais
pro summa formulam, quae continet terminum n quo π absit. Haee animadversio faeillimam praxim tibi suppeditat. Data iit le-ries , cujus differentiae aliquae constantes fiat. Ad investiendum terminum gene ratem assume 0rmulam A Bn- C. Me., euius ultimus terminus habe te ponens aequale gradui eos antium disserentiarum . Tum facta succemve π - , 3, 3 dic. aequa terminum generalem eum primis seriei terminis, ut emormentur tot aequationes, quot sunt assumptae indeterminatae. A, B, C S c. hi s ue xςrmina, & quaesitum terminum generalem invenies. Si vero datus ut terminus gqneralis, ad inveniendam summam assume an Bn --Cn &α, in qua e ponens maximum n unitate superet expostens maximum termini generalis. In osormula assumpta scribe et pro n. 3e formulam quae nascitur eX Miumpe .etrahe. Formulae residuae termini Inguli aequentur datae singulis terminis , de tot aequationes orientur, quot sunt indeterminatae A, B, C M. Has determina, R quaesitae summae potieris. 17. Gem Dici i by Corale
367쪽
1 . Exemplo praxim declarabo. Data sit series R, p, 24, so, γ, 224, 33 &c., cujus differantiae tertiae constantea sunt. Mumo formulam tetist gradus Ain D nΤ. Facta is successive m 1, 3, 3, 4, institue a quationem cum primis quatuor seriei terminis, & habebis aequationes, quas primi ordinis vom; tum facta deductione superiorum ab inferioribus nascuntur aequa. tiones secundi, tertii ordinis 3ce. En caleulum. Primi ordinia
beas terminum generalem Z a x a 2 3 3. Nuae datus sit seriei terminust generalis - n n. --. . Assume t ino
F D - 4Dn--6Dn Dn' - - D nAE' B-- aB. , conserendum eum dato. Collatio autem -C - 3Cn 3 Cn- D-- on fi DP--4Dn I exhibebit aeqaationes quatuor AE B C-29 α o. aB-3C--4Dα - , 3C-6Dm I,4 D m - , ex quibus invenies Di 2-. C m - . B α - , κα- . Quare seriei sumin 3 ii 8 ia2 3 4 - φ-l-7: -- L. Omnium itaqne serierum habentium differentias Diiqu 3 constantes, quae algebraicae vocari solent, tum terminus generalis , tum a termino generali summa determinatur. 9. Progredior ad series; quarum generalis summa exprimitur per fracti nem larmatam ex speeiei n siunctionibus rationalibus. Ordior ab illis seriebus, quae in infinitum productae summam obtinent finitam. Quamobrem necesse est, ux in formula generalis summae maximum exponens speciei n idem sit tum in Rumeratore, tum in denomiatore fractionis. Hac conditione servata gradatim Pr Gam, ac primum inquiram, quaenam sit series, cujus generalis summa ---. Ia hac pro n scribe n - I, ut habeatur terminus generalis
368쪽
- .f--- --- Πα, sive redactis terminis ad eamdem denominationem a r ---.,---. Si ex hoc termino generali semetur series , ejus - a . Aes Enr L n L. summa m---: quare summa seriei in infinitum productae fiet M . 2o. In numeratore termini generalis habetur quantitas constans indep ndens ab n. In denominatore habeatur factores duo primi gradus, qui non ditarunt nisi per hoe, quod in uno B multiplicatur per m I, in altero per n. itaque si terque iactor confideretur tamquam terminus generalis, uterque exhibebit seriem eamdem, .cujus differentia m B, sed secunda incipit a seeundo termino primae; Nam series, cujus terminus generalis m AE- B . n l , est γε, A 3B 3cc.; semes autem termini generalis , --Bn est 3--B, AE-- aB, B, AEH- B 3cta, quae incipit a prioris termino altero. apropter extermino generali invento haec oritur series
ti. Ad exemplum proponatur series a- &e. Si consideres duas series, quae eo
situunt divisores, nempe a, 7, 1 . t 73 33 utramque esse seriem 7, 12, 17, s 7 . . , primi ordinis, quia utriusque dii serentia ms, & alteram incipere a secundo ter mino priniae. Igitur series proposita pertinet ad nostrum emonem,& habet summam generalem algebraicam. Ejus terminus generalis invenitur esse
ctiones continent ambae divisorem A--B.n- I. Dare ut redigantur ad eamdem denominationem, satis est, multiplicare numeratorem primae per 'H B.n a,& numeratorem secundae per Α--Bn. His operationibus ei fectis, dctractaquα secunda tractione a prima, resultabit terminus generalia.
369쪽
terminus generalis seriei primi ordinis, dummodo e Teiens speciei n non evan scat; hoc enim evanescente series est quantitatum aequalium. Singuli divisoris sis Mores praebent Ierim primi ordinis. imo eamdem sed ita , ut secunda incipiat alecundo termino primae, tertia a tertio. Itaque perspicuum est, q-nam coad, trones requiruntur, ut series stactionum recipiant summam praesentis formae.13. Accipe exemplum in serie Is - - . '
habet termistum generalem Primi factores in divisore minituunt seriem eamuem, quam reliqui; sed secundus, & tertiua terminus primae est primus secu cae, M tertIae. Ierilae autem terminus generalis ma--n. Facta collatione cum formula canonica invenies inae 3,Bαi. Praeterea 3 L- 3Μαι, HL RH- Μ 3, ex quibus nascitur Mi ,Lα - . Propositae igitur seriei silinina eva- . - 3 2 . 3 -- - ---- , & Meeptis terminis numero infinitis α I. ia
a . Si in termino generali numerator esset divisibilis per unum ex las rribus extremis, peracta divisione. pertineret ad canonem superiorem. Si in d nominatore deficiat tactor medius, oportet multiplicare tam numeratorem, quas denominatorem termini generalis per factorem, qui deest, ut iormula pertineat ad canonem praetentem. as, Progressior ad series, quarum sumina sit L n--Μn-Nn Ut inveniauir terminus generalis
tur ad eamdem denominationem , satis est multiplicare primam per
- 3 m - 3 B Bn , & secundum per A Bn. Facta hujusmodi multiplicatione , 3c deductione alterius a prima, oritur terminus generaliSι 'Disitired by Coos e
370쪽
tur ex numeratore hujus termini generalis ess series secundi ordinis, vel primi, si id habeat messiciens mo, vel quantitatum aequalium, si etiam n multiplic tur per coemeiens mo. Quatuor iactores componunt divisorem, quorum singuli sunt termini generales ejusdem seriei primi ordinis; sed secunda ex his isti has incipit a secundo termino primae, tertia a tertio, quarta a quarto. ao. Exemplum praebeat series
4 3is . 7- 3n . a. ε 3ν sis. . v. Si in termino generali numerator esset divisibilis per unum ex fictoriis hus extremis, casus pertineret ad canonem superiorem ' summae enim divisor a duobus tantum factoribus componeretur. Si uterque factor medius desit, dirisbe praebebit duas series, quarum altera incipit a quarto termino aIterius. Si primus tantum ex factoribus mediis desideretur, tres prodibunt series, quarum secunda incipit a tertio, tertia a quarto termino primae. Demum fi defit fruandus ex factoribus mediis, secunda series incipit a secundo, tertia a quarto termino prismae. Quum haec contingunt, sufficiet, multiplicare numeratorem. & denomiis natorem termini reneralis per illos factores, qui desiderantur, efficiendo ut indivisore quatuor sint factores, qui constituant qua uor series ita, ut secunda a secundo, tertia a tertio, quarta a quarto termino primae sumat initium. Ad canonem praetentem hoc modo formula reducetur. 18. Progressus, quem adhuc sequuti- sumus, aperte docet, quaenam condiationes sint, oportet, in termino generali. ut series summam recipiat aIgebraucam, & in infinitum producta summam habeat finitam . Nimirum denominator debet constare pluribus iactoribus, quorum singuli praebeant series arithmeticas, quarum sedunda incipiat a secundo termino primae, tertia a secundo termino secundae, atque ita deinceps; deinde in numeratore potestas maxima speciei n non debet exeedere numerum factorum dempto a. Si in denominatore aliqui ex factoribus mediis desint, per hos multiplicetur & numerator, & denominator, ut requisitae conditiones impleantur. Quoties habes terminum generalem hujus forma ad Disilired by Corale