장음표시 사용
371쪽
ad inveaiendum summam hane sequere praxim. Confinge semulam, cujus nua merator moat termino, qui non contineat is, δέ exponens maximum n sit aequa. lis numero factorum termini generalis dempta 1 ς omnium autem terminorunia coemeientes L, Μ, Ν,&α fiat indeterminati οῦ hujus autem formulae denominator fit idem ac in termino generali dempto primo factore. Summa enim hane is mam habeat, necesse est. In hac formula pro π scribe n- r, tum reductis duabus formulis ad eamdem denominationem secundam a prima detraha . Quae resul. tat erit comparanda eum dato termino generali, & per comparationem determinandi e meientes L, Μ, N &α, quorum valores fi in sup ta sormula ponas, habes summam quaesitam. Quae dicia sunt, satis superque praxim ostendunt. 29. Supposuimus in formula summae exponentem maximum speeiei n in numeratore aequalem esse numero factorum denominatoris , sive exponenti maximo ejusdem n. Quod si aecidat, ut maximas exponens π midor fit in numeratore , quam in denominatore . sufficiet ponere coefficientes maximarum dimensionum in o, tum eosdem delere in sermula termini generalis, ut hic habeatur. In hujus autem numeratore etiam pro hoc casu exponens maximum speciei n ad minimum duabus unitatibus minoi est numero factorum, seu exponente denominatoris. Quare praxis numeri superioris hunc quoque casum felicissime absolvit. 3o. Si exponens n in numeratore summae superet numerum factorum denomiis toris, tum multiplicatis inter se iactoribus, manifestum est, fieri posse divisi nem. Haec peragatur, donec deveniamus ad ejusmodi exponens re, qui sit aequalis numero factorum. Quod ubi obtinuerimvs , ab ulteriori divisione abstin amus'. Hae operatione instituta, formula dividetur in duas alteram integram, alter an fractam. Primum inveniatur terminus generalis seriei, cujus integra summa , in quo termino generali exponens n erit minor unitate, quam in sermula fumismae, ut eo astat ex hoc eodem capite. Deinde inveniatur terininus generalis seriei, cujus fracta formula fit summa. In denominatore augebitur unitate num rus factorum, δι in numeratore exponens n fiet hoc numero 'ita aucto saltem bunario minor. 31. Quapropter si datus sit terminus generalis seriei. in euius numeratore exisponens speciei n vel sit aequalis, vel major numero iactorum, multiplicatis inter te factatibus fiat divisio, donec exponens numeratoris minor fit exponente deno. minatoris. In duas formulas. primam integram, alteram fractam distribuitur teria minus generalis . Series eriga ex parte integra, semper erit summabilis algebratuce . Quae formatur ex fractione summam algabraicam accipiet, si index . speciein in numeratore sit ad minimum binario minor numero factorum, non item si is unitate minor . . '31. Proponamus exemplum. SIt terminlis generalisia quo tres solum sunt factores divi-
seris, & maximus exponens n in numeratore m s. Factores multiplicentur, ut habeatur ο - 11 n on' n Fiat divisio, donec exmnens numeratoris sit minor expo-
nente denominatoris, invenietur mim - '----. Quantum
pertinet ad seriem, cujus terminus generalis G - n-
372쪽
summam .Quratum ad alteram, cujus t rininus generalis mi I -- . n. 3 - mea summam algebraicamaeeipiet, si emo. Si autem non sit c m o, quo pacto in summam colligatur. , non constat . Eamdem methodum applicare possumus seriebus, quarum summa generalis in denominatore habet iactores secundi, tertii,& altioris gradus. Sed quae tradita sunt, ad rem nostram videntur lassicere. Qui plura cupit cognoscere, ad Riccati commentarium se conserat. Nunc ad series accedo, quarum summa est sermula exponentialia multiplicita per integram augebraicam. 33. Formulam exponentialem illam dicimus, in qua n loeum tenet exponentis. Prima, quae sese offert, eli quantitas conflans elevata ad potestatem n . Propono itaque inquitendum terminum generalem seriei , cujus summa sit
Κ . Si fiat nα I , tam terminus generalis, quam summa evadit AK - A; quod patefacit, Meessarium fuisse ad obtine dam veram summam demere a termino exponentiali se 'quantitatem H. Quisque videt, terminum generalem inventum suppeditare quamlibet seriem geometricam , cujus propterea summa semper inveniri poterit. Si Ic st m. ior unitate series semper crescit, 3c termini continuo augentur ita, ut facta n infinita , K pariter infinita evadat . Si καr , omnes term ni seriei, ejusque summa' fit m o. Demum fi K unitatς sit minor, series continuo decrestit ita, ut lacta n infinita
κ evadat infinitesima. Uerum in hoc casu formulae tam termini generalis, qu msummae fierent negativae . Ut po sitivae fiant ita disponantur, summa m A-A. κ
M . Quum autem posita κ cli, in hypothesi
ergo ara Itaque summa erit m e . a - - - . A - I.
3 . η ι ' 33s. Quod si in termino stenerali proposito suerint duae , pluresve quantitates smul multiplicatae, aut divisae diversiis exponentibus aflectae , in quos tamen sola
373쪽
. Factan infinita quantitas , evadit infinitesima,& seriei sum
o. Neque diversa est methodus, ubi exponens n multipliretur per quant,3 με Itatem constantem. Sit in exemplum terminus generalis . Hic erit di
dum iacilia sunt, m. joris explicationis nore egent. 3ν. Quod fi data sit series geoatetrica, inspice primum utrum sit erescens. -l decrescens; si crescens sit, adnibenda est prima sermula, si decrescens altera. Terminum generalem, facta n m I, aequa primo seriei termino, tum iacta n m aequa secundo; alteram aequationem ser primam divide , & invenies valorem K, qui positus in aequatione prima haebebit valorem A. Per dum holae vas res prodit non minus summa, quam terminus generalis . Ad exemplum sit series 3.s, --, a 3 - 3ce. Quoniam haec est series erascens, adhibeatur so 3 9, 1 mula prima termini generalis --. κ . Posito successive nina, a insti-
374쪽
38. Progredior ad series, qorum summa si P HBn. Κ - A. Si in hac pro u scribiatur n - I, novaque, quae oritur formula, a priori deducatur , pr
κ A, habebit terminum generalem
Κ . Formulae istae valent, si κ superet unitatem .
a Si Κ minor sit unitate, in utraque ligna mutentur. Ex hoc progressu liquido constat seriem, cujus summa exurimatur per formulam algebratem ductam in expcnenintialem, a qua dein tur terminus tonstans, habere pro termino generali formulam algebraicam eluidem gradus ductam in exponentialem eamdem. 39. inare ad ingeniendam lummam seriei, cujus terminus generalis sit BD mula algebraica ducta in exponentialem, efforma tibi sermulam coefficientium i determinatorum A -- B-cn &e. ejusdem gradus, quam multiplica perqu3ntitatem exponentialem, tum deme A. Hanc luppone lummam. Pone in ea re pro π, novamque formulam deme a priori. Hujus comparatio cum duo termino generali determinab t coefficientes. 3c quaelitam sumesam iussiciet. Ad si Wada sunt omnia signis eontrari s , si exponenti inis sit unitate minor. Prazis Mno, aut altero exemplo illustranda est. . U. Sit terminus generalis IH-n n .a . pono summam esse A. Bu - Cn'. 1 - AE. Si in bae n- a pro is scribatur, dei ade sermula ori a luperiore sublueatur, fiet
. . Facta comparatione habeo a
375쪽
A α ε'. ergo sumula erit med - an -- an . a -δ. Aliud exemplum praehrit terminus generalia Δ -μα - . monum exponentialis quaot est nati
finitum producta α - . Series hujusmodi solen: vocari algebraim - geometricae,. 3 quia fi seriei algebraicae termini omnes multiplicentur per fiagulos terminos se. riet geometricae, series hujuImodi exoriuntur. I. Si efformetur series addendo , vel detrahendo series vel geometri eas, vel alubriaeo - geometri eas , minifestum est , ejus summam esse in pote itate . Plam singularum lieri erum, quae addendae, vel sub luce adae sunt, ex termino generali summa per methodum traditam invenietur. inare sicuti genim seriei te Imnus generalis coalescit ex terterem generantium termin s generalibus sit mi aiaditis, vel detractis, ita etiam summa, quae proinde innotescet. Verum difficile Ramodum est cognitu, utram series aliqua, quae proponitur sermari possit peradditionem , aut subtractionem serierum geometricarum, aut algebraico - geo in tricarum. Gamobrem opera erit pMe facere, quaenam stat seri ex, quae hae r tione tormati possint. Aio itaque series omnes, quae reeurrentem dicuntur, esse hujus generis. Series recurrentes vocantur illae, in quibus terminus quilibet dete m. natur per aliquot ex antecedentibus multiplicatis per datas conflantes. Si dato termino uno antecedente definitur sub aequens, dieitur series recurrens primi ordinis,'si rhquiruntur duo, tres, aut q tuor termini antecedentes ad inveniendus sequentem dicitur secundi, tertii. aut quarti ordinis . atque ita deinceps. Ita seis rivs L, 1, 3, 7, 17, 4t, yy. 230 λα est recurrens secundi ordinix, quia sumispi s duobus primis terminis. ad arbitrium, quilibet aequalis est dψobus antecede libus ductis ordinatim in I, A. Series vero
O, ο, 9, 1, a' , , - , - , δ,&e est' reeurrens tam iii ordinis, quia quilibet tenninus e tarmatur a tribas antecedentibuε multipne tis ordinatim per datas - m. s. Primi autem tres termini Lainuatur ad tibi-
376쪽
subtractionem serierum geometricarum, aut cubraico-geo tricarum, gradatim. procedo , & considero pri mum terminum generalem maxime simplicem nempe AK , in quo nascitur series Ag, Aκ , ΑΚΤ, Ac&e., quae nihil aliud est, quam series geometrica . Nemo unus non videt seriem hanc elle recurrentem priami ordinis; nam quilibet terminas multiplicatus per Κ sequentem suppeditat . apropter si quantitas haee, quae in singulos terminos ducta dat terminos se nenistra, vocetur αν, erit L m r, atque adeo Κ nihil erit aliud, quam radix nujus aequationes x - ν o. itaque data 3 propositae seriei invenietur terminus gen ratis, si Ag, sive AK aequetur primo seriei termino, & per hane aequationem deis terminetur a. Exemplum praebeat series recurrens primi ordini 6, 4, 1 - ,1 - , - , ' &c., quae, poῆto primo termino 6 efformatur , si singuli te
min, multiplicentur per - Igitur termitius generalis series habet hane formam A. ', & enim ν mxm- . Ad inveniendam pone n mi institue 3 . 3 a aequationem eum primo termino seriei, k habebis -- mo, seu A α ρ ergoae 3 seriei terminus generalis m p. m
Ajo, hane ella seriem recurrentem secundi ordinis, cujus terminus quilibet ex duobus antecedentibus determinatur. Multiplieandi autem sunt secuqdus, idest qui propior est termino quaesito, per Κ H, primur pG - Κ. H. Ut de hac veritate certus fias, satis erit multiplicare ΑΚ -- gw' per Κ H, at AK' - --BH per - ΚΗ: Meepta enim summa oritur AK -- B H , qui est terminus subsequens. Quae quantitas in sormatione seriei multiplieat secunsum ex duobus terminis requisitis vocetur mi, quae multiplicat primum :ας, erit
-- Η. Valores Κ, Η nihil aliud sunt, quam
radices hujus aequationis N π - δκ -s m o, ut resolutio patefaciet. Sed ne otus est quidem resolutione. Nam ex natura aequationis secundi gradus constat, illas esse radices, quae simul sumptae aequant coetii elans seeundi termini signo mutato.& simul multiplicatae praebent tertium terminum: hae proprἰetates vero inlunt in 'quantitatibus Κ, H; nam debet esse Κ--H α ι, ΚΗ -s; ergo Κ, s sunt ra- cices aequationis x π - rx - s m o. interminatis Κ, Ηἰ ad determinandas A, Miatis est ponere ΑΚ - ΒΗ aequalem primo seriei termino,& ΑΚ --Bri aequa lem Di itiZOI
377쪽
Iem seeundo ; atque aequationes duae valores dureum A. B suppeditabunt. : 4 . Ad exemplum sits m - i. να 3, A primi seriei termini sint 3, a, ct nascariit seri ex recurrenu secundi ordinia 3, 2, 3, 7, 18, 47, 33 3 c. Exiniat a tradita. Invenies. Κα Τ - , Η rationis κω - 3κ Imo. Ad inveniendas B fiat
3ψs . Igitur ex ambiguitate signorum am- 3ν , B Quare terminus generalis series erit
s. Methodus hare semper valet unico easu ereepto, quum ti, quo in Muu aequales sunt Κ, Η, & aequatio κκ - 3κ-s m o praedita est duabus radicibus aequalibus. Nam numquam poteris determinare valores A, B, ted me- tbodum sequens incides in aequationem aut idemtieam4 aut abiurdam .. Cauda exempli sit tm 3,sα υ, & primi termini seriei I, 1, ut nastatur serica
ries reciperet terminum generalem hujus sermae , hie esset AE. - B. - 'α A B . - , quem facta n m I, aequalem pon
primo termino setiei, & facta n a, .aequalem pone secando, ut sit - ω AEVE , -- A B I. ex quibus provenit in , seu 2 m- - 4 3 9 quod est absurdum. t aquae quum, invenitur Κ - Η , vel quum aequMim xκ sma habet duas radices aequales, seriei terminus generalis nondium inventus est. Sed casum: hune paullo in ista evolvam diligenter . . 46. Si terminus generalis esset , Κ --B CI', ais enasei seriem, quora serma,tur , si tres termini anteeedentes multi reentur. mT K- - Η - Ι' ΚΗ - Κι-HI, ΚΗΙ, facto initio ab ultimo ,. qui propior est termino x quisito. Hoc clare apa bit, si multiplie .
378쪽
A per ΚΗI, proveniet enim ΒΗ CI'. similiter si termino generali addatur quartus terminus DL , series p ueetur multiplieando ordinatim quatuor terminos antecedentes, iacto initio ab ultimo, per
nies, ae demonstrabis, si terminus generalis constet quinque, sex , aut plurishm terminis ejusdem formae simul additis. Hinc canon Cecumenicus e flarmatur. Quaelibet series, cujus Ierminus generalis constat pluribus terminis simul sum. hiis hujus formae Ac, producitur, suum tot seriei termini antecedentes, quoistus est numerus terminorum in termino generali, multiplicantur ordinatim facto initio ab ultimo per summam omnium K producta earumdem ex binis negative sumpta
producta ex quaternis accepta negative, atque ita deincem Ia reliquis. Qui canon aperte docet, omnes series, quibus est terminus generalis praetentis is
s. Reliquum est, ut videamus, quomodo data lege feriet recurrentis, quas otiiut multiplicando aliquot terminos antecedentes, facto initio ab ultimo ere. .. a s &α inveniendus sit ejus terminus generalis. Manifestum est fore Κ- &α - ΚΗ - M. π s, ΚΗΙ - - &αm K -X HI L-3ce. ΚHIL Μ. - &α πιρ, atqde ita deinceps. His positis adverto aequationem -3ce Sce. -- &e. &c. habete pro radictbus Κ 3te. Itaque substitutis valoribus fiet aequatio, C' --, ω eujuν radices praehebunt quantitates Κ, Η &c., qu.s requiro. In supra posita aequat lone exponens m aequalis si oportet numero terminorum ntecedentiam, qui ad la mandam seriem necessarii sunt, sive numero quantitatum ν, s ,r &c. . Inventis reduationis radicibus terminas generalis hane formam habebit AK --BH &e. Ad determinandos valores A, B &ς. ,- primis seriei terminis numero an lac metualem terminum generalem, posita in ipso successue nra I, ne a die. z a oue ex formatis aequationibus quaesitos valores dennies. 8. Methodus haec, tametsi maxime seneralis, nos deserit, quotiescumque in aequatione κ' i κ' '&e. m o, inveniantor duae aut quia valores A, B S c. determinari non possint. Verum ueno pacto in noe e tu inveniendus sit terminus generali , paullo infra declarabo. i. h se Uto iis theoria exemplo fiat clarior, quaeratur terminus generalis seriet
ultimo, multiplicentur pta I, e , Quare aequatio praebens rLdices Κ, H, I
379쪽
A, B, C, posito successive n m I, 2, 3, instituantur aequationes eum primis B C B C B C
, ' a R a 3.2so. Consideravi hactenus series geometricas, & definivi, quaenam series r currentes sormentur ex earum collectione. Transeo modo ad semes algebraic geometricas, Sc Primum contemplor terminum generalem A--Bn. x' ex quo hujusmodi formatur series AH-B. Κ, , A- 3 B .κ A- RH&α Ajo seriem hanc produci, fi mulitiplicentur duo termini anteeedenter. uitiamus per a K, praecedeus per-e. Hoc demonstrabis multiplicando AsB.n .. Κ' per a K, tum A B. n-Σ Κ' 'per -κ οῦ productum enim fiet. HBn . κ' . Si vocemus χκ ν,-κκ α s, manifestum est, lore 4s m - rt, & aeqv tionem πα-νκ-smo habera duas radices aequales. Hoc est casas ille, quj, ut paullo ante diximus, non recipit terminum generalem hujus formae A κ' B H'. Verum in praesentia constat, quam sorm m habere debeat. Erit autem , sive radix aequatioaia κω - 1κ - sm o praeditae duabus radicibus aequalibus. Caetera peragantur ut supra .s I. Ad exemplum profero in medium seriom o, I, 4, 12, 33, Izo, 43 &c., quae sumptis primis terminis o, I, larinatur, si duo termini anteeedentes multiplicentur, ultimus per 4, primus per se . Quoniam ν 4 , A, invenietur s m -ιν, seu stquatio κω - νκ s o praedita erit duχbus radiacibus aequalibus. Invenietur autem καχ. Quare terminus generalis hane se
mam habet ' B n. a. Facta successive n m I , a, instituantur aequati . nes eum primis seriei terminis, & fiet 2A--χB mo, A -8 Bra r. Ex his prima multiplicata primum per a , deinde per Α, dematur ex secunda, &fiunt 4B I, - Ainet, ergo B α - , A - - -ς igitur terminus geste. talis fit
380쪽
s x. Si terminus generalis fuerit, series, quae ex ipso nascitur, erit recurrens ordinis terti j , quae producetur, si tres termini anteeedentes multiplicentur, incipiendo ab ultimo, per--χΚ ,κ . Similiter . series, eui convenit terminus generalis C n --Dns .R , est reeuriarens quarti ordinis, A tormatur, si quatuor termini. antecedentes, facto initio ab ultimo, multiplicentur per Κ, - Ο Κ , ΚΤ, - κ . Hinc canon cecumeis nicus lancitur. Si terminus generalis exprimatur a formala Bn Cn - En &α. κ', in qua termini, ex quibus . eoalescit quantutas algebraica multiplicans E, sint numerom,&maximum exponens n m m in I :ajo, ieciem recurrentem , quae ex eo nascitur, obtineri, si . multiplicentur tet.
perspicuum est, in ea tot esse radices aequales Κ , quot. unitates insunt in e ponente res. Iam vero quantitates, quae debent multiplicare terminos anteco. dentes, incipiendo ab ultimo, sint x, s , r, P δcc. Fiet οἰκ-ν,
δce. Qui valores in statuta aequatione praebent νί '- ε .' 3ce. io, quae eadem est eum illa, quam supra etiam invenimus. Itaque quotiescumque aequatio haec praedita erit radicibus aequalibus, terminus generalis praesentem formam habebit, dc quantis rates A, B Scia eadem methodo detegentur.5 . Exemplum desumamus a serie o, o, O, I, 2, 2 , squae sumptis ad arbitrium quatuor primis terminis, nascitur, si quatuor tram, ni antecedentes multiplicentur, incipiendo ab ultimo, per Efformetur aequatio κ'-1κ H Lx-Lκ- - α o. Haec habet quatuor radices omnes m ergo seriei terminus. generalis hanc formam accipit A l-Bn -Cn D n. - . Ut determinentur valores B iaci, ponatur intermino generali laecessive'n m I, a, g, 4, & eonstituantur aequationes cum