장음표시 사용
381쪽
& deducta prima ex altera o D in I 6. Quare hujusmodi inveniuntur valorea
D -, C α - 16,Bm- , a m - Ιος igitur terminus generalis est hila
ss. Quod fi spectetur terminus generatra tamquam eoalescens ex pluribus terminis, quorum filij spectent ad praesentem formam, alij ad superiorem , invenietur eadem prorsus aequatio, quae prae/ita erit radicibus partim aequalibus, partim inaequalibus. Quare terminus generalis coalescet ex aggregato sermul rum, quarum aliae exhibent series geometricas, aliae algebraico. geometricas. Methodus ex superioribus satis aperta est. Attamea exemplum ad eam illustrauis dam proponamus. Sit series O, 3, 3, 23, 36, 87, M,3O3 3cc. , quae componitur multiplicando quinque terminos antecedentes , incipiendo ab ultimo, per o, 4, - 2, 3, 2. Ut inveniatur terminus generalis, necesse est radiees habeantur hujus aequationis 3 - 4 κ'--χ κ'--3 κ - x in o . Radices
quales sunt, inaequales duae. Itaque terminus generalis hanc habebit formam A--Bn Cn. x -- D. - 1 - - E. - 1 . Ad caemetentium A, B, C, D, E valores definiendos, posito suecessive nrar, 1, 3. 4. I instituantur quinque aequationes cum primis quinque seriei terminis, per quas nanciscemur A I, B A, C I, D -a, Em II igitur terminus generalis erit1 - 2n--n- ac --- 1 '. Quae dicta sunt, satis ostendunt, omisnes, qotquot sunt, series recurrentes habere terminum generalem, qui componitur a formulis exponentialibus multiplicatis aut per solas constantes , aut perfunctiones n integras, & rationales ; igitur, quum omnium serierum, quae hujus modi habent terminos generales, ex supra tradita methodo summa inveniatur, consequitur series omnes recurrentes summam exponentialem recipere. Multo plura de seriebus reeipientibus summam algebrat eam. aut exponentialem tradit Vi centius Riccatus in suo commentirio, ex quo pauea haee decerpere visum est. Quocirca ad plenam serierum theoriam consequendam auctor tibi sum, ut cor ruentarium illum attente perleg s.c
382쪽
In quo exhibetur formula generalis earum aequationum, quae radicem habent cardanicae fimilem, ejusque ope formulae aliquot in trinomia realia resolvuntur, & cotta. fianum theorema demonstratur.
r. Dostquam egimus de seriebo, rarumque temtais , M summis generatubus, nihil facilius est , quam Malis su cere sermulam Maeralem earum afluationum, quae praeditae sent radice fimili cardaauae , de quibus can. te tio loquuti samus, R earum auxilio aliquot binomia, ae trinomia in tactores reales secundi gradus reisivero, & theorema Ruggerit Cotteiii viri doctissimi demonstrare. heoriam hanc uriaversam mutuabimur ex viseentii Riccati op sculo ouarto tomi seeundi. Capite tertio tabulam iaτenies, cujus ope aequati nes habentes radieem similem cardanicae usque ad gradum decimum quartum etarmantur, & methodus patefacta est, qua tabula ad quoscumque gradus e Tintenditur. Hujus tabulae series prima verticalis . quae subest terminci mn, est series arithmetica, cujus scilieet differentiae primae constantes sunt. Ejus terminus generalis statim eognoscitur m ρ, denotante ρ gradum aequationis. a. Altera series, quae subest termino est algebraica seeundi ordinis, quae habet constantes differentias secundas. Mus terminus generaris , ut constat ex capite superiore, hac sermula continetur AH-Bρ-- Cp , quae debet m 2, Posita e m 4. debet ras, posita e m s, debet m9, posita ρ ο; igitur habebimus aeqvxtiones tres Deme primam ex secunda , secundam ex tertia, A
l hamatur item ex altera prima, & fiet
acm r. sive C α - . Quo valore ia aliis aea uationibus opportune substituto,
scitur Em TI, A mo. Igitur terminus generalis secundae seriei substantis
3- Similiter series tertia. eui superstat terminus m n , est algebraica tertuordinis, & habet tertias differentias constantes. Ejus terminus generalis hac formula incluἐitur quae debet aequare 7, io, 3o,u icta succellave ρ ο, γ, S, ς. Quatuor ergω nascuntur aequationes Η- - 9c-- D m 7 Singulae aequationes istae a sequentibus detrao σε SB--6 C--s Ia D mas bantur, & tres orientur aequationes A pBH-3I CH-729Dm 3O B
383쪽
mum opportune peractis substitutionibus em B m P, amo. Quan
omittendus est terminus ille, in quo ρ ineipit esse minor eo numero, qui a ducendus est , di termini omnes consequentes. I. Ut per banc aequationem binomia, ac trinomia aliquot resolvam in ructores reales secundi gradus, memento, demonstratum esse cap. tertio, radicem κqu tionis, posita a positiva , semper ita exprimi π m a. C. , ex stente μ εα d, vel logarithmo, eujus sinus totus S colinus α ----, A sinu p
'sitivus est. Si a aeeipiendi sunt eosinus hyperbolici; quo in casu, existeatet
in quo casu ec. - tot habet valores, quot e continet unitates. Qui valsrς , posito
384쪽
nos dedueit ad eosiniis hyperbolicos, specto dumtaxat alterum, in quo quum adeosnus circulares ducamur, aequatio radices omnes reales continet. Assumo triis nomium Θης-- amo. dii in inventa generali aequatione substituam proni eius valorem a trinomio exhibitum nempe 2, manifestum est, novam riri formulam, quae liberata a divisoribus erit resolubilis in tot trinomia fietulis formae , quot sunt valores M. Facta substitutione nastitur formulay a . - . . V , ' ν b, νz st, 'rive trinomtum n mo. Quoniam ex inente - α a ,κ habet omnes valores reales, quos antea invenimus, constat, trinomium, e . jus gradus est a p, resolvi in fictores secundi gradus reales numero ρ hoc modo
o. Sed hy otheses aliquot accuratius evolvamus. Fiat primo b m o , ut ha-2ρ ρh atur binomium x -a mo. In hac hypothesi, quando cosnus arcus μ α λ.& finus sit oportet positivus, arcus erit quadrans circuli . Quare stocata ut .antea circumserentia mc, adeoque ejus quadrante α - , trinomia realia, ia
. --aCδ.e: f.VHa, Deseribe circulum, cujus radius - ,&ncto initio a puncto x, rima, α divide totam cireumferentiam in Urtra ρ, ut semicircumserentia in partes p divisa reperiatur. In singulis divisionis Dulcti. ordiaatim appone numeros, ut figura manilassat. Liquet panetis, quae sign3 Disilired by COOste
385쪽
8. si recte animum advertas , .cognosces, bis semper eumdem eosinum mperiri; nam cuilibet, areui minori, quam semicircumferentia , respondat arcus eadem major, qui prae situs est eodem . sina. Excipiendus est tamen arcus m N. cujus .eosinus. Sc ubi p sit- numerus: par, arcipiendux est arent se E- hoc est semicireumferentia, cujus eosinus. - horum enim. arcuum:eosinus reis. periuntur semelia Uerum arcus. hujusmodi praebend. trinomiλ. - 1x , et ''a' a --a, quae quadrata sunt, & quorum radices exirhai possunt. Quris. propter satis erit. dividere semicircumierentiam in pariss ρ, facto initio a pua-cto I ,& accipere eosinus omnium arcuum desinentium, in puncta signata n meris .imparibus, A ex his enormari trinomia, quae erunt hujulmodic 20. -- Σ Cc a Sc Nostrum itaque trinomlumi P, P resolubile est . in . haee trinomiae elata ad potestatem. quadraticam ', addito semper trinomio & si ρ sit par, etiam trinomio . Habemus sergo aequationema
s. Demum ponamus cc.μ, hoe est τ - a scilicet sines toti M. gative sumpto, .& trinom7um hoe nascetur δ' - 1a' et: Da 'mo. Evidens est.. arcum μ aequare circumserentiae. dimidium, hoc est - . Quare habes trinomia, .
in quae fit resolutio, nempe a Cc .n a, a V 2Ce. - . et seas,
1 Cc. - - 2Cc. V - . z - a. Initio iacto a pun-cto I integram cireumferentiam divide in partes 2ρ , k numeris naturalibus ordinatim signa puncta divisionis, ut factum est antea. Couam accipiendi sunt
386쪽
eorum arenum . quorum termini a numeris paribus definiustiar. Nam lareus in Δ, I4 m V, atque ita de reliquis., 'Hie nucue evenit, ut bis eosinus singuli fini rapiendi, existunt enim timo: d o arcus, alter minor, alter major semicircumieronila, qui eumdem sinum habeat. Excipe tamea dimidium circumserentiae, cujus costam non in greditur in trinomia, nisi p suerit impar; quo in easu quum cosianus m-a resultabit trinomium in quod quadratum est praeditum radice . uare satis est dividere semieircumsereatiam in partes , 1.acedere cosinus areuum desinentium in numeros pares, & ex his serru in uino I elevare ad quadratum , quibus addendum est trinomam. fi p sit impar. Hoe modo obtinemus aequHicnem ac
y' h, si ili mi, atque expeditissima fluit demonstratio eeleberrimithcor mais cottaliani, quod statim cognosces, ubi probatum fuerat laqueas lem. ei res ν
tur. Paullo state orobatum esta Cc. I s. ' a&ta, donec exhausta fuerit omnis
387쪽
a - ace. Io. η a &e., donec exhausta fuerit integra circumserentia; igitur
κῆρ ia z' I ra Ba'. BZBo'&e., extractaque radice a ' in B a, B4. Bo &e. Fqrmula haec simul cum formula numeri superiotis exhibet the rema Ruggerit Cottesii.
I . Similis eonstructio aeeom. dari potest etiam trinomio 2 -ba a ., quoties Ma . Etenim stea areum Α D F.s)cujuscosinus arcusa. erit minor quadrante, si b sit positiva, major, si , sit negativa . Hune areum divide in partes p. quarum prima sit A I. Ex puncto incipe dividere ei reumis ferentiam in punctis 1, 3 &e.. Cosinus arcuum Aa, A a, A 3 &e. positi in trinomia 2 2-ax Ha exhibent trinomia realia, in quae fit resolutio. Igitur sala CB m et, actisque Br, Ba, Ba &e., nanciscemur ba a 'αBi . B, Ba 3ce. . Q. E. Inu.is. Si in eodem trinomio - , a', qui casus complectitur etiam trinomium, in quo ultimus terminus a affectus est signo - , resolvitur in duo binomia...
ante dicta sunt, tacita resolvuntur in trinomia realia secundi gradus. is. Suspicantur jure hono Analystae, quamlibet formulam rationalem resolvi posse in trinomia realia secundi gradus. Tametsi hac de re ingeniose scri serint P. te Mur, & Leonardus Euterus viri doctissimi; tamen plenam completamque hujusce veritatis demonstrationem desideramus. Si sermula omnis mistionalis in trinomia realia resolvi potest , perspicuum est, omnia imaginaria, quae ab operationibus algebrateis prodeunt, ad hane solam formam reduci posse A in B V- I, in qua A, B sunt quantitates reales. Etenim quodlibet imagia narium fiat tum opportune eliminatis radicalibus ad aequationem deumnies , in qua κ altiorem obtinet potestatem. Haec resolvatur in trinomia hujus
dix sit imaginaria, Ita disponatur ; atqui α aequalis est im ginario proposita; ergo imaginarium ad praedictam formam semper reducitur. Sed saee paucis attigisse iussiciat. Reca Disiligod by Corale
388쪽
c A T ν T SEXTUM. De Parabolarum Hyperbolarum familia, & de illis,
v. T E curvis altioribus acturus illud praemoneo, me, si Quando aut antea nomio n vi, aut in posterum nominabo quantitates innnitas, vel minimas, &Iafinitesimas, hi hil latelligare aliud quam quantitates majores, vel minores quacumque data. Omnis familia parabolarum hae aequatione continetur a '. Similitudo autem, quam haec aeq.atio habet cum aequatione parabolae appolI
nianae, quae tanta est, ut si m m n m I, curva ut parabola appolloniana, effecit, ut curvae omnes parabolae appellarentur, quarum gradus determinatur ab exponente m n. Hoc omnibus commune est, 1 ut si sumatur. κ o, sit quoque Contra si κ vel positiva, vel negativa sit infinita, F certe vel positiva, vel negativa sit quoque i afinita, dummodo imaginaria non fit. Curisua vero ab A mo ad , lita continuata est, ut cuilibet abscissae κ sita ordinata 3 respondeat. His sm tim maeaotatis, quae obvia sthi, ad ramos curuae reales determinando moriet talpicere; quandonam orasnatae prove niant imaginariae, quando realas, & si reales quando politivae sint, qu4ndo nergativae. Diversitas exponentium m,n fuit, ut parabolae rami males modo ilia has, modo in illas plagas excurrant. od ut facilius cognoscamus , extraham an umus radieem m--n, in formula oriatur H a κ my. si amim exponentesm,n fiat numari impares, fiet m--n par. Iam vero si accipiatur κ positiva,
erit m positiva; ergo aequabit radicem parem quantitatis positivae; sed radix par quantitatis positivae est & p tiva', & negativa; ergo duplex est valor uenegativus, & positivus, & ad plagam abscissarum CB irimi )positivarum du--plex ramus parabolae CP, CQ excurrit, primus in regi Oie ordinatarum posutivarum, secundus negativarum. Si vero π negativa sumatur, x erit megati- va; ergo S aequat radicem parem quantitatis negativae, quae semper est imaginaria; ergo ad plagam abscissae negativae, mullus est ramus parabolae. Si aequa
. tio fuisset a N , eodem ratiocinio probabis, utrumque ramum N i tendi ad partem abscisi negativae.. iis .
3. Sit deinde n impar, & m par, ut impar sit m n. Si κ accipiatur po- stiva, e rit κ' pofitiva I ergo si aequabit radscem tmparem postivae quantitatis , qaae unum dumtaxat valorem h bet resem, atque hunc positivum; ergo unus - exurgit Tam . curvae: Ce, Fima in cujus ordinatae, & abscitiae sunt positivae. Si iverσ κ nenuiva st, negativa item erit κ'; igitur 9 aequalis est radi ei impari neq tivae quantitatis, quae uno solum praedita est valore reali, atque hoc negativo. H bet itaque curva alium ramum C Q, cujus tam abscitiae, quam ordinatae sunt negativae. In aequatione a ' π m abscissis positivis respondent ordia tae negativae, & positivae abscissis negativis. 4. P a