장음표시 사용
391쪽
4. Postea pone n parem , m imparem, ut sit impar Existenta κpositiva, erit quoquae positiva π , & 9 erit radix impar quantitatis politinae, quae positiva eli. Nascitur itaque, ut antea, ramus CP Fie. 3 ) . Existente κnegativa, κ' positiva est, quia potestas par quantitatis negativae est positiva: Lgitur valor realis 3 aequantis radicem imparem quantitatis positivae est positivus. Quare exoritur in curva ramus C Q, qui situs est in plaga abscissae negε-tivae, & ordinatae positivae. In aequatione -a Μ' Η' ' uterque ramus proogreditur ad plagas ordinatarum negativarum. s. Demum omnes m,n,m - n sint numeri pares. Accepta A vel positiva, vel negativa, semper positiva est; ergo ubique=est radix par positivae quantitatis, atque adeo duos valores reales habet unum amrmativum, alterum negativum s Fig. . Parabola igitur quatuor ramis praedita erit, qui ad quatuor plagas procedunt. χquati
ns vero a x my curva omnis imaginaria est . Verum advertendum en casum hunc ultimum non praebere curvas novas , sed solum duas parabolas sinul junctas ad calus superiores pertinentes. Nam extrahatur radix quadrata aequationis
ut fiat a m s , quae extractio, si opus est, iteretur, donee exponentes desinant esse omnes pares. Extractione peraHa ob ambiguum signum sele offerunt duae parabolae, quae spectant ad aliquem exsuperioribus casibus. o. Priusquam parabolarum familiam desero, oportet advertere, licet, posita ae infinita, infinita si & γ, tamen N, F non in eodem esse ordine i finit rum. Ut ordines distinguam gradatim procedo, & specto primum. parabolam conicam, cujus aequatio a X - =9. Quo iam est ars::y. π, quemadmodum y es, infinita respectu datae a; ita κ est infinita respectu νύ erro si considereat esse sitam in primo ordine infinitorum, κ posita erit in seeundo. Similiter ae. quὶtionem parabolae cubicae a Xms , praebet analogiam a desoL::α : κ; ergo sicuti y est infiaita respectu a, - erit infinita respectu 3,3 κ infinita
res ictu illius si sta uatur in primo ordiae infinitorum, re erit in tartim Generatim ostendam hoc progressu in parabola, cujus aequatio sit a , si sit ordine infinitorum, x erit in ordiae n-1 si '
. Quod si habeam Itaque si s pertinare specto
'tur ad primum ordinem infinitorum , κ spectabit ad ordinem , qκi ordo , si-- sit numerus fractus, medius ςst inter superiores ordines. Coatra si x spectetur esse in primo infinitorum ordine, F erit in ordine - .
392쪽
. Quod dictum est de quantitatibus infinite magnis, idem dicas velim de infinite exiguis. Nam si s minima aeeipiatur, A constituatur in primo ordiae infinitesimorum, valente aequatione aκmyy,κ erit in seeundo, quum sit te tia proportionalis post a, y, & debeat esse minima respecta F, sicuti s ast munima respectu a. In aequatione vero erit A in tertio infinitefimorum ordine, & generatim in aequatione a ras' ' posita y in primo infinitest.
morum ordini, erit m in ordine n -i ; immo in aequationi a x Ferit x in infinitesimorum ordine Contra si conciolatur κ ia primo or
hujus ordinuae abscissis illius sunt parallelae, & vice versa. 3. Ad familiam hyparbolarum gradum facio, quae coatiaentur hac aequationet
π y a , seu 3 m . Generatim, existente ν reali, si acerpiatur π
minima, y est infinita; & s sumatur x infinita, ν evadit minima. Quare hy- perbolae rami omnes reales praediti sunt duobus assimptotis, quorum unum est apsa abscissarum linea, alterum parallelum est ordinatis, Sc discedit ab ipso ab inscissarum initio. Conditio autem numerorum m , n, sui & pares, & impares esse possunt, determinat, utrum rami reales sint, an imaginarii, 3e ad quam plagam progrediantur; quam ob rem ita dispone aequationem F i ,- .
y. Si ambo exponentes m, ετ sint impares, ut contingit in hyperbola appolloniana, posita κ positiva erit x positiva; ergo s est radix impar positivae uantitatis, suae unicum tantum habet valorem realem sitivum . Itaque nascitur ramus ti P N Fig. s 4 , cujus ordinatae, M abscissae positivae sunt. Si κει negativa, κ'' erit negitiva, 3e s radix imp r quantitatis negativae, quae v num valorem realem negativum habet; ergo alter ramus prodit M A, cujus ordinatae, & abscissae sunt negativae. mio. Si n sit impar, & m par, sumpta re vel positiva, vel negativa, erit κsemper positiva; ergo s radix impar quantitatis positivae , quae uni eum habet valorem realem politivum. Duobus itaque ramis constat curva BPN, A N, Fig. ο)quorum primus habet ordinatas & abscisias positivas, alter abscissas a gativas, , ordinatas positivas. mII. Sit is par, m impar. Existente Μ positiva, κ erit positiva et igitur Fradix par quantitatis positivae, quae duobus valoribus gaudet postiro , dc n 8ctivo. Itaque duo rami progredientur ad partem abscissae positivae nempe BPN, B N Ro quorum uni conveniunt ordinatae positivae, alteri ne gativae. Si κ accipiatur negativa, n erit negativa; ergo ν radix par quanti-tλtis negativae, quae semper est imaginaria, nullus igitur minus realis ad DP Disiligod by Corale
393쪽
tem abscissarum negativarum . In omnibus hisce insibus , si aequatio fuisset
α να- a , eaedem prodirent hyperbolae, dummodo coordinatae positivis convertantur in negativas, & vice verta. Ia. Postremo par sit uterque numerus m, n; ergo vel κ positiva fit, vel negativa, κ semper est positiva, radix par quantitatis positivae, quae praebet duplicem valorem realem politivum, & negativum. Quatuor itaque ramis constat curva, qui in quatuor plagis sunt constituti Fig. 8.) Rami autem
mnes aequationis N 9 α - a sunt imaginarit. Hic quoque adverte, hy--rbolam hujus casus, nihil aliud esse, quam duas aliorum easuum hyperbolas simul junctas. Nam extrahe radicem quadratam, donec aliquis numerus impari Prodeat, & ob fignum re, duae hyperbolae sese offerent. i I3. Tametsi posita κ infinita, minima ubiquo evadat 9; tamen non semper est in eodem infinitesimorum ordine. In hyperbola appolloniana , cujus ae quatio - erit in illo ordine infinitesimorum, in quo ordine infinitorum ea n , quem vocabimus primum; nam aeda: ea:F. In hyperbola aequationis κ-α a', s erit in secundo ordine infinitesimorum ; nam κ': az: a atqui κ est in secundo ordine infinitorum; ergo in secundo infinitesimorum. , facta x infinita primi ordinis , yerit Imo in generaliori aequatione x 'io'
seneratim vero in aequatione x 3-a
isu κ'st i a ,s erit in ordine- . Si - sit numerus fractus, ordo im
te mediat inter ordines ms, qui a numeris integris exprimuntur . Quod dictum est de ordiae infinitimmorum ordinatae si, transferas velim ad ordinem ia- finitorum, quum κ aeeipitur infinita exigua. Haec autem divertitas ordinum inquantitatibus infinite tum magnis, tum parvis, paullo post maximam afferre utilitatem cognosces . 24. Addamus nonulla de curvis, quae paraboloides vocari solent. In bis ordinata I aequat iunctionem rationalem , 3c integram abscissae κ. Hujusmodi est 3 2 3 . eurva aequationis a F κ --bκ - e . Paraboloidum aequalia generalis ita sena det a F - κ --ν κ . ac κ ..... a Quo iam si semper habet valorem realem unicum, quicumque sit valor abscissae κ fi ve positivae, sivo negativae, constat, curvam nusquam interruptam esse , sed continuo
progressu ad utramque partem in infinitum protendi. Si ponas x infinitam, vel Positive aeeipias, vel negative, neglectis reliquis terminis, qui respectu κ'mia
nimi sunt, aequatio consistit in terminis S, --.
s. Iam vero in eadem suppositione κ infinitae, si m sit numerus impar,s erit pofitiva, si x sit posithia; y erit negativa, sh κ sit negativa. Curva o autem continua, in qua ordinata F debet a positiva in negativam transire,n cessario lineam abscissarum secabit. Secabit vero aut in uno, aut in tribus, aut
394쪽
In quinque punctis ita, ut impar sit numerus intersemonum .' Etenim eurva continua non potest incipere ad plagam 1 P itivae, & desinere in plaga s a gativae, nisi lineam abscissarum secet tot ricibus, quarum numerus sit impar. 16. Si m par sit, x infinita vel positiva, vel negativa quum praebeat κ' semper politivam, praebebit item positivam 9. Quare curva continua , in qua
y te oadens π vel positivae vel negativae infinitae est positiva, aut nusquam socabit lineam abscissarum, aut secabit in duobus, aut in quatuor, aut in sexpua is ita, ut par sit numerus intersectionum. Veruntamen si in ultimo te mino ἡ negativa seret, ut mutato signo ultimus terminus sit - a , seis cile probatur, bis saltem a curva lineam abscissarum lacari. Etenim posita in aquatioae λ m o, fit scilicet negativa; ergo s primum est positiva, tum negativa, demum iterum positiva οῦ quod in curva gontinua accidere non potest, nisi saltem bis .in. lineam abscissarum incurrat.1 . Ex his maximi momenti consictaria deducuntur. Omnis aequatio gra- . dus imparis praedita est , saltem una ra/ice reali, & si plures habet, earam n merus est impar. Namque ponatur aequatio y, tum inelligatur descriptae urint ua huic aequationi respondens, euius abscissae sint Α Β s Fig. y 3. Perspieuum est radices reales aequationis determinatae esse abseissas respondentes ordinatis' ναος atqui ibi s m o, ubi curva intersecat lineam abscissarum; ergo abstitis - definentes in puncta in t rsectionum sunt aequationis radices; atqui , ut probatum est, unum semper existit punctum intersectionis si plura existant, sunt numero imparia; igitur aequatio detor nata gra/us imparis una semper ornata est radice mali, Ic si pluribus ornata sit , earum numerus impar sit necesse est. Si intersectio eaderet in abscissarum initio, una ra/ix realis mo . Hinc
colligas velim, radices imaginarias esse numero pares. Nam si ex numero imis pari omnium radicum deducas numerum imparem radicum realium, reliquus est radicum imaginariatum numerus par . 13. AEquationes gradus paris aut nullam habent radicem realem , aut hahent plures Rumero pares; quia posit aequatione os Fig. io curva aut nusquam secat lineam abicissarum, aut secat in punctis numero paribus. Uerum si uitimus aequationis terminus sit negativus, quum curva leret 'ubiciliarstm ilianeam saltem in duobus punctis, aequatio determinata praedita erit saltem duabus ra4icibus realibus. Num rus radicum imaginariarum etiam in-debet esse par. In nulla aequatione itaque im sinariis carente contingere potest, ut imaginariae radices sint numero impares.
De curvis excedentibus gradum secundum, quae per
instrumenta delineantur. 'SI da instrumentis, curvisque per ea descriptis pro dignitate agere vellem,
non breve caput, sed ' longissimum volumen ut scriberem, oporteret. Quia propter specimen aliquod dumtaxat praebebo solutis nonnullis problematibus, quae majori utilitate, atque Olegadtia praedita esse mihi videntur. '
397쪽
I. Problema primum. Anguli AB ae erura ine assa litere m yera possint circa verticem B. Punctum A extremum muris AB ita in A, ut circa ipsum libere eoaverti possit; punctum C extremum cruris ratius moveri possit hi data linea A O transeunte per pun m A. Priaueatuenta donee CV m BC; quaeritur eurva, quam descripturum est pun
demum AF a α-νs; ergo resultat aequatio π a jbb - 99. Muae ablatis, ut par est, radicibus,& opportune ordinata in aequationem hanc
a. Curva hujus aequationis quem habeat progressum, & figuram ex instro. mento, er quod delineatur. determinemus. Tres casus distinguendi sunt, vel enim BC in θ est major AB M a, vel aequalis, vel minor. In primo casu, in quo BC est major AB ), distendatur ABC M in lineam rectam, ut punctum M eadat in f, C in H, B in D. Elevetur angulus B reminente Gin resti RS. In hoc motu punctum B per arcum circularem semper elevatur, donec AB fiat perpendicularis AS, & veniat in locum AGI deinde punctum B deprimitur, donee AB eadat super AE. 3c punctim M veniat in T existente ET in B M in 1b; ergo TS m et ' AT zzab - a. Ramus similis ramo SMT habetur ad alteram partem lineae ΓS . Demum converso insitumento curWa similis ad aliam partem puncti A delineatur. Hic generatim distingue tres, Casus b a a, b ma a, b Via. In primo casu curva TMS Fig. 3.) nbique concava provenit axi TS Fig. 4 3. Hoc idem accidit in casu secundo, ilia. quo tamen ob nescio quam moram, quae observa tui in instrumento, ubi punctum describens-accedit ad T , jure bono luspicar aliquid. singulare in eo punct3 i es te. ln ultimo casu curva procedit a T versus A Fig. aὶ , & concavitatem obvertit A, convexitatem S; tum post flexum contrarium ordinatim procedit, ut in casibus aliis. μ3. Si fuerit , a, demonstratum est in libro superiore puncto M F. s) de seribi ellypsim conicam, cujus centrum A, semiax s primus A S 3a, secundus A I ma. Sed dum punctum D ascendens per arcuum circularem DG per.enit ad S , punctum C remanens in linea A S invenitur in A, & S in l: ergo ubi tranc positionem nactum fuerit instrumentum, ita moveri potest , ut paa. ctum C non discedat ab A , quo in motu punctum l describet circulum radii. curva descripta quarti gradus coalescet ex duabus secundi nimirum
398쪽
- 18 asy' - Ioa mo, in quam mutatur arquatio superior, fi fiat b dira,
quae est ad et lysin . . Reliquum est, ut inspiciamus, quam figuram habeat eurva, si sibαα Fig. 6)Si lineae omnes distendantur in rectam , ut sit A D M a, D H α HS melevetur punctum D per arcum circularem D G, remanente puncto H in linea A, punctum S describet arcum S L, donec DH fiat pernendicularis As,ti veniat in locum GK, puncto S translato in L. Tum si K seratur versus Aradius A G descendet, & punctum G per eundem areum G D pereurret, donec G veniat in D , & L in T, existente TD ab & TA m ab - a. Hoc mois do describetur curva SLT, quae conjuncta cum simili TGS exhibet ovalem. Converso instrumento secunda ovalis similis produeitur. Si ab ., duae ovalesse intersecant, ut in figura. Si 2b α a, ovales duae sese eontingunt in A I si
ab Ma, ovales separatae sunt, & inter sese distant per lineam m. aa--Αb. s. Usum instrumenti per solutionem superioris problematis delibavi potius, quam expotui. Nam aecipi potest C M s Fig. I. cujustumque magnitudinis , vat positiva, vel negativa, quo in casu destribitur curva quarti gradus, eXcepto casu, in quo Μ coincidit cum B, & in quo deseribitur cireuius . Potest punctum doscribens constitui extra lineam BC. Praeterea linea Fo, in qua itin ratur punctum C, potest non transire per punctum A, circa quod convertitur in girum AB. Demum haec eadem linea FO potest esse quaecunque curva . Quapropter infinitae curvae hoc instrumento delineabuntur, quae tamen intra finitum spatium claudentur, neque ullum habebunt ramum infinitum . Harum naturam ex principiis traditis, & tradendis poterit investigare industrius ge
o. Problema secundum. Dato extra datam VT s Fig. puncto A , ex quo ducatur AB datae normalis ,& produeatur in D. Moveatur ita linea ABD ita ut transeat semper per punctum A,& punctum B remaneat in V T, qua ritur, quam curvam descripturum sit punctum D. Ponamus A D pervenisse in locum AR N exiliente RN α BD, ex puncto N, quod est is eurva, demi,ctatur MN normalis in BD. Vocetur AB a, BD ra braRN, AM x, M N m 3ν, erit A N α κκ--sy,&MBακ-a; atqui AN: A M::RN. M B;
- as ΜΗ' -aa κ' o. Haec autem aequatio non solum ineludit curvam DN
descriptam a puncto D, sed etiam secta BE BD europa descriptam a pun-Ho di. Curva haec a Nieomede instrumenti inventore numen aecepit, & so chois nicomedea apellatur. Parum D N deseriptam a puncto D , cunc idem ulteriorem vocabo, quae autem describitur a puncto E posito ad partes pnactio, citeriorem vocabo. 7. Ult
399쪽
m Uterior in omni hypothesi eamdem figuram habete nempe ad utramdus partem lineae AD, discedens a puncto D accedit ad UI', eui primum obiavit conravum, tum facto contrario flexu eidem obvertit eoavexum eique ultra quemcumque limitem appropinquat, quin ad contactum veniat. Quare U Tad utramque partem est assymptotum curvae. Citerior habet pro assymptoto eamdem UT. Sed si E jaceat inter A, B, eodem sermo pago. quo ulterior obvertit concavum in eonvexum. Si vero b m a,&puncta A E s Fm g coineidunt, rami tangunt AB in A, & semper obvertentes convexum ac incunt ad assymptotum. Demum si punctum E eadat post puncta B A
quo in hac hypothesi praedita est conchois ei terior. Ρ3. Si in usiam tradueamus figuras rectilineas ordinatas, solium hoe concholiscis citerioris Uormat flores non inelegantes pluribus foliis instructos. Sit primo trianguum aequilaterum ABC s Fig. Io 3, cujas punctum medium si I. Iu patur 1 A quae ita moveatur ut A semper sit in A B. A tranteat per mil-αum 1. Dum fit motus ab A in B, unum solium describetur: deseribetur alterum aequale, si punctum A moveatur in BCp tertium, si in C A . Otietur itaque flos trium soliorum aequalium. Sit ABCD s Fig. D quadratum Si linea I B eodem modo moveatur per quatuor latera , exurget flos quatuor' s liorum; in pentagono inveniemus florem quinque, in exagoao sex loliorium .etata deinceps. Sed haec breviter attigissio sufficiat. ς. Quisque videt, instrumentum ad usum traduei posse, tametsi linea UT Fig. linqua itineratur punctum B non fuerit recta, sed curva. Casum maxime simplicem evolvamus, quum V T est circumierentia circuli, in qua stum est punis Sum A, quod polum vorabimus. Linea A BD Fig. la ) ita moveatur ut semper transeat per punctum A, & unctum B non recedat a circuli pertieria BRA. Quaeritur descripta a puncto D. Linea describens, quae in prima pometreuli, veniat is situm A RN. Normales A D snt N M, UL, prima ducta a puncto N, altera a puncto B. Vocetur AM α'
400쪽
ro. Curva hujus aequationis, quae per instrumentum describitur, variam sortitur figuram pro diversa datarum a a, b proportione. Si sit , Ia, curvam exprimit figura la. Nimiruin curva DN secat circulum in A , in quem l Ireditur, δέ facto solio egreditur a circulo, & redit per aliam partem in D. i , aa, folium evanescit, & incipit cuspis, quae semper existit, donec fit b a, ut apparet in fig. I 3. Si b m a, cuspis desinit, neque habetur amplius posito b AE, & naicitur curva continuata, quae habetur. in fig. I ..ir. Problema tertium. Si circa datam A C s Fig. t s ) eolvatur norma ABC, ita ut latera normae transeant per data puncta A, C, quaeritur curva , quam deseripturum est punctum M acceptum in normae latere A B vel producto, vel secus.. Ex puncto M in AC ducatur normalis MN, divisaque bifariam AC ia S, vocetur S N m x, MN F, B M me, As α SC a, erit Adima Ν,
3 o. Si fieret e m o, sormula esset quadratum comple-
tum , euius radix proveniret, κω - a a m o, quae est aequatio ad circulu Si M suum erit inter puncta A, B, e aeeipienda esset negativa, quae hypotbosis nihil aequationem mutat.1 . Ut curva omnis delineetur , debent successive rotari quatuor anguli ABC, AB F, FBT, T BC. Curvae figura diverIa est pro varietate propor