장음표시 사용
401쪽
tionis ditarum ΑΕ m aa, B M me. Si e Maa. eurva instruitur talio, ut exprimit figura 16; Si cmaa, solium evanescit, & incipit cuspis, quae conis
servatur donec e m a ut in fig. IT. Si cm is, cuspis evanescit, neque amisplius apparet, ut in fig. I 8 , quum e a. Hoc omittendum non judico, quod si in aequatiane ponatur πα- invenitur χ α o. Quare videtur punctum Aad curvam pertinere, tametsi in duabus ultimis figuris per illud curvam tra fre non appareat. Quare in his casibus punctum A est punctum solitarium, conjugatum , quod licet ab instrumento non exhibeatur , tamen aequationi 1 tisfacit. x3. Haee omnia loeum habent, si angulus ABC rectus fuerit. Curva; qaae describitur angulo non recto, aequationem aliquanto habet compricatior.m. Hanc inveniamus. Ex puncto C s Fig. Io demittatur CF normalis in AB ratio BF: FC, quae constans est, vocetur ga , reliquae denominatioaes serventur ut antea. Habebimus AF α
'Fst, quae elevata ad quadratum, Si ordinatam o, quae pariter est aequatio qua ti gradus.14. Problema quartum. Invenire aequiti ouem curvae destriptae a puncto M Fig. zo) posito in circumferentia ei reuli BM rotantis supra aeqnalem circulum BA immobilem. Punctum describens M initio motus sit in A, ducatur tu CA, qui producatur prout opus fuerit. Rotetur circulus, & veniat in potitio nςN B M. Patet arcum BA B M. Iunge centra circulorum recta CN, qvnS s a tran Disilired by Corale
402쪽
transibit per eontasum B. Due radium Κ qui productus eoneurrat eum CR in D . Quoniam B A, B M sunt arcus aequales cireulorum aequalium, aeeales erant anguli BCA, BKM; ergo triangulum CDK isostales,& CD i DK,& proinde A D m M D; ergo linea A M parallela C Κ . Praeterea illacta D Bdividet bifariam omnes parallelas C Κ , adeoque etiam Α Μ in E , eidemque erit perpendicularis. Duc MN p.rpendicularem ia CD. Voca radios circulo. αν. CN α κ, AN α κ -ν, MNmst, AM α λωπ&α Δ r Propter triangula similia erit C B: AEt: CD: A D.
r Hes F. Denique quam similia sint triangula A MN, A DE, vel CDB fiet CD: CB::AM: AN; vel agalytiee
99, 3c quadrando 2αΤΙ - - , j. ω , --ννὴ quae opportune ordinata in hanc mut tur
Curvae, quae oriuntur ex rotatione atreuli supra ei culum dicuntur epicycloides. Ea autem, cujus quationem invenimus, est epi eloidum simplicimma quae coincidit cum curva num. ς, dummodo b z2 a m ar, quod cognosces, si in hac pro κ
ls. Methoda. haee elegans aptari nequit , si praediti sint. Etenim landatur in eo, quod arcu BA, d Μ , is: miles. At si ei reuius rotans habeat diversam diametrum, arcus nA, ar in sunt quidem aequales sed non similes. Ostendendam est, qua ta li3rum quoque epicycloidum inveniri possit aequatio. Iuncti a centro
runt in ratione inversa radiorum. Itaque fi radius CB R. , 'Εlus ACB: BΚM:. ν: R: si haec proportio radiorum sit ellabitu, curv ci
403쪽
semper algebraim ; sed si sit irrationalis, erit transcendens . Fiat Rrerem: nexta stantibus numeris m, n integris. Sit angulus ACB m n μ, ΒΚ M in m M. Agiatur in C Κ normalas AD, ME, sumptoque pro sinu toto AC m R, erit AD α se. ου - , CD m cc. niis; item LMEm Se .mn, Κ Em Ia auadrilatero CNME anguli in E,N recti sunt; ergo reliqui duo NC NME complent duos rectos; erso prouum NM . donec concurrat tum C Κia F. angulus AC D erit aequalis EM F, It triangulum AC D erit simila F ME; ergo CD: AC.': ME: MF; sive analytice MFra Praetorea CD: DA. ME. ER
Rnius eiicias lanctiones angulorum n-,mμ ab altera, invenies epicycloidis aequationem datam per coordinatas X, . I 6. Supponamus primum Rαν & m m n mi, ut laventamus aequatio emsmplieissimae epicycloidis, de qua antea mentionem saeimus . Ex prima aequktione fiet S .se. μαγ. e. A, ex qua descendit Cc.μ es si - ν HryΗi usores substituantur in secunda aequatione, ut na
quationem paullo ante diversa methodo devenimus. 17. Si IDisi irco by Corale
404쪽
im Si pro eosinu , & finu valores substituas datos per
pro Se .m- , & bin mia actu eleves ad potestatem integram m, ut abeant imaginaria, idemque facias quoad arcum nμ, duas aequλtiones invenies, per quas poterit aequatio localis determinari. Sed haec non vacat iusius pertequi. 11'. Problema quintum. Lineae LAS s Fig. 11 3 insistenti super data BC ad angulos rectes, A trant sunt i per punctum A, alligatum sit filum S B F ae. quale datae BC, quod plicatum in B dillendatur iuxta BC a stilo F; tum seria vatis his conditionibus moveatur BC intra angulum rectum G AH, quaeritur eurua a stilo F deleripta . Ex puncto F agantur F N, F M normales lateribus arguti recti. Vocetur AN .κ, PNm 9, BC m a. Ob aequalitatem S BF, R tectae BCfiet B Sm FC; ergo quum sit C B: BA:: BA: BS: erit C B: B A B A: F ; atqui CB: BAd: FC: FNr ergo CB, BA, FC, FN sunt in continua proportione geometrica; ergo CB FNe: CB': BAA; ergo ais
habetur aequatio a ma3 3 sve a
progi ni , translatisque terminis a -κ - ρ' 3 a 3 κss3. Quae quatio, si elevetur ad potestatem cubicam, & opportune ordinetur, fiet
Si fiat x α o provenit3 - ino; ergo 9 α rea. Itaque secta AG a, curva traasbit per G. Similiter ostendam facta AH α a, curvam transire per Η. Suo loco ostendetur, curvam in puncto F tangi a linea BC, et in punctis G, H a lineis A G, AH. Ut eureta integra generetur , motus saciendus est non solum in angulo G AH. sed etiam in tribus aliis angulis , Κ ΑΗ, ΚΑΙ, I AG. 9. Problema sextum. Linea LAN transiens per punctum AFst i d angulos rectos iupra BC. quae moveatur intra angulum rectum B AC, quae' . Coo la
405쪽
quaeritur eurva a puncto N descripta. Agatur NM normalis in AM, & voceturAM α κ, M Nαν, AN m κκ 39, R BC aa. Similitudo triangulorum dat
PNmst. Quoniam angulus est rectus; erit ergo , in qua aequatione si ponas pro et ejus valorem datum per x ex natura datae curvae L M, advenies aequationem quaesitam. Si L M sit linea recta non transiens per punctum A, vidimus libro superiore sectionem conicam generaria' immo si fuerit parali ιδ AB, curva genita erit parabola, quam hae ratione dalineavimus . Sit L M
γ --, ex qua aequatione, quae curva gignMy a tur, apparet. Uerum diligentius inspieiamus eurvam AN, quae oritur, si LM. st circumferentia circuli transiens per punctum Α, cujus centrum C posuRM
a a 3 - κλα κ . Haec eadem aequatio provenit. si proponatur hoc pro b ema. Descripto super AB semicirculo, excitataque BEO normali diametro, quae mur curva, in qukucta qualibet A E, quae eurvam secet in N, circulum in M, sit semper No A D. Haec autem curva Citais Di is nuncupatur. Sed ex nostra constructione proprietatem, perquam Diocles eurvam determinavit , demonstremus. Perficiatur circulus AB M, qui seret AN in D. Ex B erigatur
normalis diametro A B, cum qua concurrat A M producta in E. Ajo E N m A D.
, seu ergo aequatio curvae genitae erit
406쪽
Iungo D M. Quum angulus DAM sit rectus, DAM erit semiel reumferentia . Ergo D M trantibit per centrum,& erit diameter; igitur B M tangens puncta M. B erit aequalis, & intrallela AD; ergo E N M B est parallelosraminum, M E Naequalis BM; igitur AD m E N. Q. E. D.
ar. Problema octavum. Data chorda MN F. as moveatur in circulo, ut ejus puncta extrema semper maneant in ei reumferentia, in eam ex puncto posito in ei eumferentia cadat normalis AS; quaeritur, quam curvam descriturus sit concurissus perpendicularis, Achordae. Ex A ducatur diameter , cum qua eoncurrat MN product1 in L. Ex centro C due normalem in M N, quam dividet bifariam, &ducatur S X normalis diametro . Uocetur radius C A in a, chorda data M N m 1 AX mx,XSmy, erit Co m daa-bb, & A angulum rein
quod latra reliquam eurvam eontinetur, ut figura repraehesentat. Si ut corda mutetur in tangentem , evanescit foliuae , & curva habet cuspidem in A. Si . ma, ut Orda fit aequalis diametro, generatur eirculus, cujus diam ter est A C. Quod indieat aequatio, quae fit quadratum completum, cujus radix PH-κ ax α o, quae est aequati. si Nuli. . . . . Lax. Problema nonum. Normae ABE as applicetur regula A E m bilis eirea punctum A; tum alia regula MX ita constituatur, ut dum movetur, sem. per normalis remaneat rectae A E. Fili, cujus longitudo aequat datam ΑΒ, em termitas una alligetur normae in Α, alia regulae Mx Ρ punct8 extremo X. Fiat motus ita. ut filum distendatur juxta rectas AB, MX, quaeritur curva a punis So M deseripta. Quoniam filum AXM An, ablato communi AX fiet
407쪽
α3 Ab instrumento non deseribitur nisi eurvae pars AMB simul eum aequalipolita ad alteram partem lineae A B. Sed secta B D m A B, aequatio satis demonstrat, ordinatam esse realem , donec abscissa re sit minor A D m a a; ergo ad uis tramque etem curva protendetur ultra punctum B, immo erit asymptoti ea lineae Dd, quae ducitur normalis A D. Ut deseripta parte AMB partis Ba Mconii ructionem suppleamus, sumatur filum , cujus longitudo m AD a AB, exintremitas una alligetur in P regulae PM , altera in a P regulae a P a M; filam autem transeat per punctum A. Distento filo moveatur regula a P a M versus D, & per filum trahat regulam PM versus A; hae autem regulae semper insistant norm liter rectae A D. Dum hic motus peragitur convertatur regula AM1M circa A. ut transeat per M, in quo ordinata M P secat eurvam AMB. Hoc motu punctum intersectionis rectarum AE a M a PaM describet partem curis
vae Bh M. Nam quum filum sit duplum AB, & filum ei reum volutum A P fit duplum A P, erit P a P duola P B. ergo P B i 8 1 P : Ergo EM m Ea M, sed EM m BE; ergo Ea ΜαBE, quae est proprietas curvae quaesitae.
OCTAVUM. De curvarum ramis in infinitum excurrentibus& de asymptotis.
I. TN superiore libro plura verba seei de proprietatibus linearum feeundi o
I dinis , nunc methodos aperiam, quibus linearum superiorum ordinum proinprietates deteguntur. Primum de ramis in infinitum excurrentibus, & de e rum asymptotis agam, quia ex eorum numero, & proprietate diversa genera curvarum potitiimum distinguuntur . Si linea curva quaecumque ramum habeat in infinitum excurrentem, ducta ex puncto infinite dissito ordinata normali, notissimum est, aut abscii sam, aut ordinatam, aut ambas infinitas esse. Quapropter si curva habeat ramum infinitum , vel abscissae finitae respondebit ordinata an finita realis, vel abscissae infinite magnae ordinata realis vel finita, vel infinita. Ex hac animadve3sic ne ramorum in infinitum excurrentium plenissima descendit investigatio. AEquationem propositam in plura membra distribuo nempe P, Q, R, S &e. Primum membrum P terminos omnes continet, in quibus summR-- exponentium coordinatarum N, est omnium maxima, quam voco m n. S cundum a continet terminos, in quibus eadem summa - I. Qui ver habent exponentium summam ra n 1, n - 3 &c. componunt membra R, s
a. Spectandum est praeeipue primum membrum P. Si hoc nullum habeat factorem simplicem realem, sed omnes imaginarios, quod solum evenire potest existente n numero pari, curva earet ramis infinitis, atque omnis intra spatium finitum continetur. Etenim advertendum est, in supremo membro P terminos
x ,9 deesse non posse, quia secus P esset divisibile per Η, aut per Ν, atqηα adeo factores imara non essent imaginarii, quod est contra hypothesim . V T t rum
408쪽
rum si eurva haberet ramum infinitum, aut utraque, aut alterutra ex eoordiis natis infinita esset; ergo P aequaret infinitum elatum ad potinatem n, hoc est I atqui sequentia membra Q, R &e. ad summum aequant eo ' &c., atque adeo respectu . primi evanescunt ; ergo aequatio fit Prao; atqui quum in P nullus sit factor realis, nulla est hujus aequationis radix realis; igiatur nulla est ordinata infinita realis, neque ulli abseissae reali infinitae res det ordinata realis aut infinita, aut finita; ergo eurva nequit excarrere in innatistum. Hinc vidimus in libro secundo earum aequationis -- a κν--bx'. . eae in dr e o nullo praeditam esse ramo infinito, si - α in quo casu supremum membrum γν-aκν bae' in iactores reales non reis solvitur
3. Si in supremo membro P sit factor realis ay - b κ, mutatis coordin iis aequatio ejusmodi comparari potest, in qua supremi membri factor realis sit ipsa ordinata. Curva aequationi satisfaeiens sit H CK. Fig. i existentibus abscissis A Brax, ordinatis BC My. Ex initio ableissarum A agatur linea AD faciens eum A B angulum A, cujus tangens ra es: speetes r indieat sinum totum;
debeat. b. apparet instituta aequatione later novas eoordinatas x, N, s re u supremi membri P factorem realem. Ex superioribus aequationibus dete minantur olores N,' hoc modo F α - --, π - . Hi substi-Va a -- b , a a b btuantur, & orietur aequatio, eujus supremum membrum habebit factorem v - L
dem dieas velim si supremi membri P factor esset, bΝ , ΠΗ-bΝ 3cc. . Namque eadem adhibita methodo aequationem nanet stemur, in qua supremim mbri factor erit ordinatae quadratum, cubus &c. Quare satis erit speelare κ quationes, in quibus ordinata, vel ejus quaelibet potes as multiplicet supremum membrum; ad has enim aliae omnes reducuntur. Neque obstat casus , in quo non F, sed κ esset factor primi membri, quia in hoc y spectandae sunt tamquam ablcillae, re tamquam ordinatae.
4. His praemissis pono primum si esse supremi membri P factorem, eui nullus alius aequalis sit. Itaque fit PrasM existente M gradus n- I . Exurgeto Ritaque sermula a M--d R S &c. mo; ergo E - st, quum Dissilired by Cooste