장음표시 사용
415쪽
est. Deletis: itaque in Q, M terminis, in quos ingreditur sty utpote evanesce libus, fiat erit Quamobrem haec aequatio F-p mo continetur In aequatione P --Q- R&ci, si curata abeat in infinitum; atqui 1 - ρ α oest a, quatio ad lineam rectam pHallelam lineae abscissarum κ, exiliente parallelarum distantia αροῦ ergo curva in infinitum producta confunditur cum hae linea recta, quae erit ejus asymptotum , atque hoc vel x infinita positiva sit, vel negativa. Apparet itaque curvam praeditam esse ramis duobus infinitis ad oppostas plagas progredientibus, quorum linea recta parallela abscissis ad utramque
partem producti asymptotum est.
s. Hoc quidem evenit, si secundum membrum Q. neque ab aequatione absit, neque si divi libile per F. Haec duo simul conjungo, quia ad rem nostram peris inde est, quod contineat factorem si, & quod in aequatione non sit. Nam si est dii isbilis per y ἰ fiat Q Α N, erit N gradus 'ς ergo evanescet res ia
sente M gradus M , R gradus - , S gradus - 'atque ita deinceps. ariquatio autem valere non potest, nisi F fiat minima, atque evanescens. 6. Si R adsit in aequatione, neque dividi possit per deletis in stactione -- omnibus terminis, in quos F ingreditur, fist)m existente ρ quantistate finita. Si R non existat in aequatione, aut habeat factorems, fiet y α - α - .
Si praeter R etiam S ab aequatione removeatur. aut fit divisibilis per η, invenietur -; atque ita deinceps; ita ut generatim fiat 3α . Si g sit impar,
& p sit positiva, existente v positiva erit positiva, existente π negativa erit negativa; vice versa si ρ sit negativa. Si g sit par; s semper erit aut positiva, aut negativa, prout ρ fuerit aut positiva, aut negativa . Ubique autem linea abscissatum est asymptotum curvae. . Haec progressio quantitatum aequantium F, hoe est interceptam inter cumvam, & asymptotum genera diversa asymptotorum elare discriminat . inare ad distinguenda genera asymptotorum, dicemus asymptotum rectilineum esse ejus indolis , ut intercepta inter ipsum δι curvam in puncto infinite remoto sit gradus - , aut - aut generatim - . Quum autem haec sit proprietas hyperbolarum
diversi gradus, eonstat, per hane methodum determinari hyperbolam, cum qu curva nostra in infinitum producta arctissime conveniat . Quare non solum c gnoscis curvam habere pro asymptoto lineam rectam, sed etiam determinas it qu nam plaga respectu asymptoti posita sit. Quod si omnes omnino termini R ,
S 3cc. ab aequatione abessent, aequatio fieret γ M o, quae quum sit divisibili T t x per Diuit iros by Cooste
416쪽
per Η eonstat, eum m haberi compositam, quae eoalescit ex linea recta, ex linea
se ilicet absti starem, & ex curva gradus u - I.
8 Nilotiescumque Q. aut sit divisibilis per 3, aut in aequatione non adsit, nihil est facilius quam genus asymptoti determinare. Quum autem Q. adest, inveniatur aequalis quantitati finitaem ροῦ quod determinat lineam rectam asymptoti- eam curvae, non autem genus asymptoti . Tradenda nune est methodus determia nandi genus asymptoti, quotiescumque 3 invenitur aequalis ρ quantitati scilicet constanti, quod saepius ex/enire deinceps apparebit. In hoc casu alymptotum non est linea abicissarum, sed linea huic parallela. Quare mutare oportet coordinatas curvae ita, ut absciitae in asymptoto jaceant. Hae obtineb s si ponis&ν ρ m v, & arceas y ab aequatione. Hoc peracto lacta κ infinita u resultabit minima, 3c
ex ejus valore genus asynptoti cognoscetur. Methodum docui, quae casibus mmn bas applicari potest. Ceterum saepe adhibitis opportanis artificjis multo e peditius haec determinatio perficietur. ς. itaque proposita aequatione quacumque fac determines, quot in supremo membro P ad sint factores limpliees reales non habendis aequales. Quot sunt uisct ires isti in aequatione, tot erunt in curea paria ramorum in infit itum excur rentium, quibus est atymptotum rectilineum. Cujus autem generis sit asympto tum rectilineum, Sc quaenam fit hyperbola, eam qua curva in infinitum producta maxime congruat, ex praemissa methodo patefacies. Io. Transeo nunc ad aequationem, quae in supremo inembro P habeat duos
s.ctores aequales, hoe est 3', ut sit P m y M, existente M lanctione gradusn a. AEquatio igitur fiet y M- --R--S &e. mo. Si Q neque absit ab aequatione, neque sit divisibilis per F, evanescentibus piae et terminis R,S &c., aequatio subsistet in terminis 3'M m - Q. Hae eaequatio vera esse potest, si S sit gradus - , quemadmodum est x, &9 gradus , hoc est infinita quidem respectu finiti , sed respectu κ infinite exigua ; ergo disposita aequatione hoc modo
respectu κ. Igitur quum Q. st gradus n-r , M gradus n- a facta divisione
fiet -κ, existente ρ quantitate constante; Ergo F αρκ. Haee aequatio, ut notum est, pertinet ad parabolam appollonianam. Nostra itaque eurva in infinitum priaucta congruit non eum linea recta, sed cum parabola vulgari, quam habet tamquam asymptotum. Si ρ sit positiva, rami excurrunt ad plagam abscise sarum positivarum, fi ρ veto sit negativa, ad plagam abscis arum negativarum . Quare curva habet duos ramos in infinitum progredientes ad eamdem plagam , inter quos media est linea abscisiarum. I i. Quod si velis parabolam, cum qua curva nostra in infinitum producta congruat arctius, ne omittas terminum sequentem scilicet R, atque aequationem
institue s --α o. Quoniam R, M sunt functiones ejusdem gradus u a, ΜΜeliminatis terminis nullestentibus, peractaque divi fione fiet quantitat scilicet constanti; ergo aequatio proveniet y' α ρκ- - , quae pariter est par la praedita eadem parametro, sed ejus vertex distat ab initio abscissarum pq r
417쪽
xx. Nunc supponamus secundum membrum Q. esse divisibile per . , ut sit m Q, existente N lanctione gradus m - 3. Quum Μ functio sit gradasn a, manifestum est s N evanescere prae 3 M . Idem itaque est, quod membrum d absit ab aematione, & quod sit pers divis bile. Quod dieendum est pariter de membris R, S &e. In hac hypothesi si R adsit, neque si di .isibile
per 3 , aequatio subsistet in terminis S - - - α o. Quoniam R, M sunt ejusisdem gradus n- a, fractio - - , deletia terminis nullescentibus, evadet aequalia quantitati constanti sciliret ρ; Ergo ' πρ. si ' sit negativa, F est imaginatia, adeoque nullum ramum habet curva in infinitum exstentum. Si ρ sit positi. fiet ν α , p; quae aequatio indicat, curvam duo hibere asymptota rectiis
linea, quae aeque distant a linea abscissarum, eamque mediam tenent. Ad genus asymptoti cognoscendum, ut aatea docuimus, inveni aequationem, cujos abscisissae capient ae sunt in asymptoto ponendo F is, atque hoc peracto ex reis gulis traditis, vel tradendis cognostra ustius alymptoti genus. Similiter iactλ s , ρ u , alterius genus determinabis
13. In aequatione M - --R--S &e. mo si praeter Q desit etiam R, aut sit per Η' divisibilis, aequatio fiet 1'm- Si S quoque deis
esse potest,& impar. Sit g impar. Si ρ positiva est, ad partes κ positivae rduos valores habet positivum, & negativum. Quare asymptotum hyperbolicum. adeoque curva duos ramos habet, qui medium tenent astymptotum rea: lineum ad partes is positivae. Ad partes vero negativae, F imaginaria est, adeoque is nullus ramus infinitus. Coatra accidit, si ρ sit negativa: nam ad partes x positivae s imaginaria est , ad partes m negativae 3 reales valores habet duo positivum, k negativum. Sit g par. Si ρ sit positiva, ν habet duos valores reales ad plagam π tam positivae, quam negativae οῦ ergo hyperbolicum asymptotum, & curva praedita est quatuor ramis infinitis. Si ρ sit negativa, 9 semper est imaginaria; ergo curva expers est ramorum infinitorum. as. D mcilior est casus, quum Q, aut membra subsequintia sunt divisibilia tantum per F. Existat Q in aequatione,& sit divisibilis per 3. dii R Sc fit in aequatione, neque per 3 dividi possit, fiat .m3Nexistente N iunctione gradus n-a, quemadmodum M, R; Ergo aequatio subiistit in tribus terminiss 'M-3 NH-Rαao, quae facta γε infinita locum habere potest, si s Mira sit. Erit Disilired by Corale
418쪽
eonstantes, quas de more voco . Si aequatio 3 -py - o , nullam habeat radicem realem, Sc sit imaginaria, nullus convenit curvae ramus in infinitum excurrens. Si duos valores realas habeat duplex est asymptotum rectilineuntia parallelum lineae abscissarum ; duo autem asymptota in unum conveniunt, fi duo valores si sint aequales. Ad cognostendum autem genus assymptoti utere meth do, quam antea exposui.
io. Si R abut , aut sit divisibilis pers, aequatio subsistit in terminis si M - yN--S m o, quae redueitur ad formam
s 'py z o. Si absit S , invenies 2 q3 -' atque ita deinceps. Si Q in aequatione non fit, aut eontineat autem per Η dividi possit, ut sit Rras N, existente N gradus n - 3, si S adiit, neque dividi possit pers, aequatio fiet py qFη - - α Remoto S non autem T erit
noa existat. S autem hineat factorem si, invenies successive aequationes '.' M L mo, atque ita deinceps. Itaque in his easibus omnibuε res redu
nor f, sed vel aequalis, vel major. t . Ut determines, quaenam eliciantur, nil λ κm M , ex trinomio aequationes, hac utere methodo. Compara duos terminos, Sc determina gradum y, ut duo termini sint homogenei. Si tertius terminus infinite exiguus reperiatur, aequatio inter duos terminos assumptos Ioeum habet. Si tertius terminus in eodem sit gradu ae assumpti, omitti non potest, sed ipse quoque in aequationem ingredioebet. Si tertius terminus infinitus sit respectu alium piorum, a quatio inter alia sumptos intercedere nullo modo potest. Idem presta in singulis terminorum paribus. Methodus etiam aequationibus multinomiis applicatur. I 8. In trinomio invento, ut primi duo termini sint homogenei oportet, ut ssit gradus ergo isti primi duo termini sunt gradus - tertius vero te i mminus est gradus - . Si g af, tertius terminus est ejusdem fradus, ae primi
duo; aequatio igitur in paucioribus quam tribus terminis consistere non potest Ieritioque S - m o. Si hujus aequatioais radices sunt imaginariae, nullus in
419쪽
ectva ramus infinitus; si ambae reales, existimi duo asymptota hyperbolica gradus
ad idem asymptotum rectilineum, quae duo in unum eoalescunt, si radires aequales fiat. Si g 1 f. ultimus terminus infinitus est respectu primorum . ergo inter primos aequatio valere non potest. Videamus utrum valere possit inter primum, ia
imum. Ut isti termini sint homogenei, debet s-gradus
minus est gradus a I seeundus autem invenitur; atqui fi g ς secundus terminus respectu reliquorum evanescit. quatio igitur πίεt s quae genus asymptoti determinat. Comparatio secundi,& tς tii termini nihil dat in hae hypothesi, quia primus respectu reliquorum est inmnitus. Sig af, aequatio inter primos valet, quia ultimus millescit; ergo Mits m A, ex qua cognoscitur genus asymptoti . Sed praeter hane aliae valere pos
sunt aequationes. Si primus. & ultimus terminus fiant homogenei, seeundus ipsis infinities est major, nulla igitur inter hos aequatio. Secundus & ultimus erunt homogenei, si s sit gradus - - , quo in ea se primus est gradus
ac propterea respectu reliquorum evanescens, est enim ag af g;Mgo aequa tio valebit 3 m , quae genus asymptoti satis designat 19. Contineat supremum membrum P factorems , ut sit P M M , exi, stente M gradus n - 3. Si d neque absit ab aequatione , neque sit divisibilis per si, aequatio subsistet in primis terminis duobus,& set sm est gravi 3 1dus n - I, M est n- ς ergo 3 debet esse gradus - , posita παzoo; ergoes erit quidem respectu εniti major quae eumque data, at respectu κ infinitae est quacumque data minor. Ejectis porro terminis evanescentibus, peractaque divisione fiet s'-ρω . Curva itaque in infinitum producta eonvenit cum parabo. la secunda. cubi ea, cujus parameter αρ, ac proinde habet ducs ramos infiniistos, unum ad plagam N positivae, alterum ad plagam x negativae. Si ρ sit po- stiva, rami jacent ad paries ordinatarum positivarum; ad partes vero negat, varum , si ρ sit negativa .ao. Si d divis bilis sit pery manifestum est membrum hoc evanescere prae primo P, ouod de subsequentibus membris dicendum est. Perinde est itaque, quod membra absint omnino ab aequatione, & quod sint divisibilia pers . Si d dividi possit per aut in aequatione non sit, aequatio fiet s3 triquae stactio in hypothe fi Oo fit m p κ; Ergo y mρx, quae est aequatio ad parabolam primam cubicam. Asymptotum itaque non est linea rediti, sed cur
420쪽
va o dinis parabolici, quae praedita est duabus ramis, quorum unus est Ia reis gioner ordinatarum positivarum, alter in regio e negativarum . in hoc easu Fest infinita, si comparetur cum finito, sed evanescens, si comparetur cum κ. Si R quoque habeat factorem aut non sit in aequatione, & sequentia membra
dividi nequeant per F , aequatio proveniet 3 m - . inum M , S sint ejusdem
gradus, facta κ infinita, fractio evadit quantitas finita; Ergo F ρ. Haec mquatio hab: ns unam radicem realem. & duas imaginar.as docet , unum tantu- modo baberi asymptotum rectilineum, cujus gradum per methodum traditam determinabis. Si pariter S divisibilis fit per γ', aut in aequatic ne locum nodhabaat, erit ν me α; Defieiente etiam T exurget atque ita in reliquis; ut generatim Vλle t aeqv xio asymptoti hyperbolici genus elare determinat . 1 2χα A telum mimo um aequationis Q sit divisbile pers , ut fit a st Rex sente N gradus n-3. AEquatio sistet in terminis N Rmo, sive 3 -3 - - o. Quum aequatio nullo modo subsistere possit , nisi Fnu' escat prae x tu finita, quia R est gradus n - a, fit 3Τ-ps' - εκ o. Si ejusdem ordinis statuatur ae x, terminus medius py' evanescet prae reliquis; ergo erit F)α κ . Haec aequatio dat asymptotum parabolicum gradus o. , cum
quo coeunt duo rami curvae infiniti ad oppositas plagas progredientes, unum in rcg one Oron tarum positivarum, alius in regione negativarum. Praeter hanc nulla alia aequatio valere potest. Si R non sit in aequatione, aut dividi possit per aequatio invenietur 9 ρη - m o, quae subsistit posita 3 finita. O cinata S aut unum valorem realem habet, aut tres; in primo calu unus erit asymptotum rectilineum parallelum abscissis, in secundo tria, nisi tamen propter duorum valorum aequalitatem duo coalescant in unum . Quomodo genus asymptoti cognoscatur, ex superioribus constat. Si praeter R etiam S absit, aut
st divisibilis per sy, fiat9 PF-οῦ -o, abscente T orietur s)-ρy' Lmo; atque ita deinceps. Quare nascitur
aeeumenicum trinomium 3'-ps' Lino; Ex hac duae resultant aequationes