장음표시 사용
421쪽
- mo; atque Ita de reliquis. Quapropter nascitur trinomium
- - - o, in quo f non potest esse maior sed vel aequalis, vel
11. Evolvamus hoe trinomium, in quo tres easus distinguere oportet; vel evim g 3s, vel g m 3s, vel g 3 f. Ia primo casu duae valent aequationes, nempo S m - ,3'α - , quae genera asymptotorum determinant. Ad idem itaque asymptotum rictilineum duo exurgunt assymptota hyperbolica, ni si unum imaginarium evadat. Si a m 3 L sacta F ordinis - , tertius terminus
Gest in eodem ordine, ae primi duo; nullus ergo terminus omitti potest. aequa. tio aut unam, aut tres radices realis habet, omnes gradus Ad idem N
gitur asymptotum ti ctilineum aut uuum, aut tria asymptota rectilinea exurgunt ejusdem generis. Duo aulcm coιbunt in unum, si duo valores F sat aequales. g α3s, unica aequatio valet, nempe F m - , qum genus asymptoti designat.
α3. Si Q sit divisibilis tantum per 3, non autem R, proveniet trinomium
3 -- x o, quod praebet aequationes duas, nempe s ρπ,9 τ . Ex prima nascitur asymptotum parabolicum ἰ ex secunda, in qua y est costans, rectilineum, de cujus genere ex methodo tradita inquire. Si desit, non autem S, erit trinomium9 pyπ- o, ex qua paritery ρκ,&3 o
3 -ρFΜ-- o. Ex hoc semper duae aequationes, stilieri 3 pN,
- . Prima dat asymptotum parabolicum gradus λε , altera hy-
422쪽
orietur trinomium Q -py- o, quae valet y valorem habente finitum: Quum s vel unum habeat, vel tres valores reales , unum , aut tria exurgent asymptota rectilinea οῦ duo autem in unum coire possunt, si I duos valores h beat aequales. Si deficiat S non autem T, aut unum ex membris subfrigeatubus, nastetur aequatio 3-ρS L m o, in qua duae aequationM continentur
Hee secunda dat asymptotum rectilineum, R ejus genus ρ κδ Prima si ρ sit negativa est imaginaria, nullumque dat ramum in infinitum exincurrentem; si ρ positiva fit, dat quatuor; duo enim proveniunt asymptota r as. Si non Q, sed aliquod ex membris subsequentibus contineat laciorem aequatio proveniens erit hujusmodi 9 - - - nequit eue
f-Τres easus distinguere oportet I vel enim 3fα g, vel 3fmag , mi 3 ag. In primo casa valent aequationes duae 3 - ,s Psad idem asymptotum rectam praebent duo a ymptota hyperboli ea, quorum nota sunt genera. In secando casu 3fαχg, termini omnes iunt homogenei; quMest ut anum, aut tres valores habet, omnes ejusdem gradus Λ , cui tria asymptota hyperbolica respondent; duo autem mire possunt in unum, si duo valores Fa, quales sint. Demum si amat, sola aequatio valebit si quae praebet a symptotum rectilineum gradus - .
to. Ad ultimam hypothesim ieeedo, in qua adsunt eum termini continentes 3 , tum continentes F. Si d habeat factorem y . R iactorem 3, 3c S sit inaequatione, occurrit quadrinomium s=-py - y-ν α o, in qua y, quae fini ta esse potest, unum aut tres valores habet reales; ergo unum, vel tria alym Ptota rectilinea; duo, aut tria coibuat in unum, si duo, aut tres valores θ εο qa les sint. Si aequatio membro S privata lit, allumatur primum ex membri sequentibus, quod habetur, ut fiat y -ρs'- 9 - - α o. In hac duae aequationes continentur, nempe 93 py qmo, F - - Prima praebet asymptotum rectilineum nullsm,
423쪽
am Remoto R, S aut aliquis ex terminis sequentibus contineat sactore niant oriatur aequatio P ---Lmo, in qua f non potest essem jor g. Haec semper continet smp , quae iussieit asymptotum rectilineum. Pti terea si ν ponatur minima, manifestum est evanescere prae ps'; ergo quatio sistet in terminis 3 - α o, quae quid in singulis casibus exhia
beat, paullo ante docuimus. 23. Reliquum est, ut videamus, quid aeeidat, si Q deficiat,& solum aliquod ex membris subsequentibus ducatur in sy. Proveniet quadrimmium
tςst. Quare ' aut unum, aut tres valores reales habebit, omnes ejusdem gradus ἔςrgo aut unum aut tria alymptota hyperbolica ad idem alymptotum rectilis Si inter messicientes aequalitates superiores locum non habeant, vide est, inter quos terminos eonsistere aequalitas possit aliis evanescentibus . Meo thodum antea traditam usurpabo. Uideamus, virlim inter duos primos terminos aequalitas intercedere possit. Ad hane rem necesse est, ut s si gradus - , &yadus, . Si ae, & g 3e, aequalitas inter duos primos terminoseonsistet nullescentibus duobus ultimis. Si a e , sed tres primi terimini constituent aequalitatem, contra si ginge, fraxe, duo primi , & ultimus terminus necetiarii sunt in aequalitate. Si aut 1 α ae, aut g 3 ς, aequa litas non subsistit, quia alteruter ex ultimis terminis evadi ι infinitus prae duobus primis. Inspiciamus utrum aequalitas haberi possit factis duobus ultimis te
ultimi duo termini formabunt aequalitatem. Addendus est seeundus, si νε- aD omisso secundo addendus primus si ' x Mas, quum alteruter ex primis terminis respectu ultimorum evadat infinitus, aequalitas inter duos ultimos locum habere nequit. Eamdem operationem instituens in singulis terminorum paribus, quae aequationes valeant non difficulter determinabis. Hae autem quum aut binomiae sint, aut trinomiae, quae asymptota praebeant, di quot ramos infinitos ex s perioribus constat. V v a go. M
424쪽
so. Methodus satis indicat, quo pacto progredi oporteat, quum supremum membrum P contineat factorem Sce. . Veriam quum numeras casuum mulistiplicetur, advertendum est, ne aliquis omittatur. Nullo autem omisso , pr clive est, determinare asymptota tum parabolica, tum hyperbolica, quae curvae conveniunt. Quae dicta sunt hactenus, opportunum judico, uno saltem e emplo illustrare. a-3 63t. Sit proposita aequatio F κ.9 - κ - a m , atque d terminandum , quot ramos infiaitos habeat eurva aequationi respondens, & quae sint ejus asymptota. Inspiciamus primum, quid exhibeat factor triplusit Facta
stit prae secundo; aequatio ig tur subsistit in pristi s dunbus terminis, qnae V lere non potest, nisi F finita sit, atque propterea nullescat prae x infinita. Fiet itaque y ma . Unus est tantum valor realis s , nempe sma; quae aequatio do cet, curvam habere assymptotum rectilineum abscissis parallelum. Posito A BD c Fig. 1ὶ quadrato, cujus latus ia, sumantur abscissae in A B producta, ordinatae parallelae AC . Linea C D producta erit asymptotum eurvae. Sed cujus generis sit asymptotum nondum constat. Ut hoc per methodum traditam inveniamus , ponamus 9 amu, seu 9muina; ergo constat sacta κ infinitati fore minimam. Peracta itaque substitutione invenio
ergo evanescentibus duosus primis terminis respectu tertii, provenietu α- . A et 3κsymptotum itaque est generis- , cui conveniunt rami duo E,F; primus jacet ad partes u negativarum, alter politivarum . Idem uellius hac methodo
quam ordinata, F tamquam abscissa. Facta divisio2ς ςsit -- Disilired by Corale
425쪽
α o. Postin y infinita ultimus terminus nul Iestit prae secundo, & κ minima sit necesse est I Ergo x α- , quae dat asym-ν Α ptotum generis - . Duo rami nascentur G, Η uterque ad partes κ positivae.
33. Ut postremo cognoscamus, quos ramos praebeat factor duplex η - ω , dueenda est linea AD atque aequatio invenienda sumptis in hae abscissis. A blatta sumptae in AD fiat mr, ordinatae eidem normales m M. His positis ap
plicatis sormulis angulo semirecto B A D, erit ι α ' : Ergo Ira is , Σ α x. Igitur factis substitutionibus erit
buntur ad partes ν positivae, qui medium tenebunt asymptotum rectilineum a Curva habet sex ramos in infinitum protensos & tria asymptota generis , -- , - . Quomodo rami in spatio finito conjungantur , non speta t-Τ eo αδ ad praesentem theoriam.
De contactibus, atque osculis.
Uemadmodum indolem, atque naturam ramorum in infinitum extens rum deteximus, lineam rectam, vcl l curvam simpliciorem assignantes,)ue cum curva in infinitum producta confundatur: ita in praesentia curvam in patio finito spectantes ad illius naturam cognoscendam, rectam, vel curvat smpliciorem inquiremus, quae cum illius portione per minimum saltem spatium oneruat. Ac primo quidem lineam rectam investigabimus, quae cum curvae tractu minimo congruat, sive quae habeat cum curva commuaia saltem puncta duo
426쪽
duo infinite proxima; quae linea appellari solet tangens. Deinde de lineis est
vis verba faciemus, quae cum datae curvae portione accuratius , atque arctius, congruant, quaeque osculatrices solent nominari. Ac primum de rectis tangentibus.1. Sit curva quaelibet M CE Fi x , euius aequatio relate ad coordinatas AB, BC data sit. Assumpto quolibet alio puncto D agatur ordinata DE, & expuncto C ducatur CF parallela AB. Vocetur ΑΒ αρ, BC m , quae duae,
ad inveniendam tangentem puncti C, tamquam constantes accipieno aesant. V cetur CF m κ, FEmst, erit AD α ρ--κ, DE m q--y. Ex aequ rione versante inter ρ-κ, 3c dematur aequatio inter ρ. q, remanevit aequa. tio simplicissima inter x, 3, in qua nullus terminus ex lolis constantibu stabit . Quare hanc formam induet A N--Bs-- Cκ -- Dκν- Ey --Fκ --Bκ ρ. Hus -- Ι ' &α Gessicientes A, B, C, &e. sunt quantitates coalescentes ex ρ, ε, & ex constantibus, quas includit aequatio curvae. Haec nova aequatio, quae refertur ad lineam
abscissae CF, & ia qua initium abscissarum est ipsum punctum C, nullo negotio tangentem puncti C determinat. 3. Illud est profecto certissimum, facta κ m o, esse quoque m o. Quum autem minimae, seu evanescentis portionis eurvae indoles fit investiganda, sumenda est minima, & evanescens adicissa CF α κ ; quo in casu evanescit quoque ordinata FEms. Sed si x, s sint minimae , & evanestentes, ipsis infinities minores erunt Μ', κν,9'; multo adhuc minores κ) atque mutito magis omaei, quae sequunturi ergo quum istae omnes prae primis, quae in. finities ipsis majores sunt, omitti possint, aequatio subsistet in duobus terminis Ax--B9 o. Haec aulcm aequatio, cum sit ad lineam rectam C E transeuntem per punctum C, aperte demonstrat hanc rectam, si punctum E proxime. accedat ad C, eum curva congruere. Itaque erit linea recta CE tangens curvae in puncto C, quae proinde facili negotio determinatur . Produlatur CE , donec cum AB eoncurrat in G. Erit ea; similitudine triangulorum FE : CF seu : κ :: C B : B G I sed ex aequatione inventa s : κ : I A: B; ergo Az-Be: CB: BGm CB. Haee autem linea voeari solet subtangens. AQuae quum ita sint, ad inveniendam subtangentem hae.regula utere . In data
aequatione curvae pro κ, 9 scribe ρ, εἰ eum in eadem pro κ,r substitue ρ--κ, primam aequationem de me ex hac secunda. Quae resultat aequatio, ita ordinetur, ut potestates lineares constituant veluti primum terminum, tum quadraticae, postea eubicae, atque ita deinceps. omissis omnibus superioribus aequatio statuatur in linearibus, atque ex hoc inveniatur proportio inter F, Ν, quaesit A: B; erit subtangens BG
Panea aliquot exempla propono. Sit parabola aeqnationis a καyF. In hac aequatione scribo primum p pro φ pro ut sit αρ α ρε ἰ tum ρεπpro Ν, & q--9 pro ue, ut sit aρ- a m ρ ρ --aq 9- =F. Demo ex hac primam, & provenit a x m a F--99 , sive ax - χρὴ --99 mo; omisso Friquae quantitas nullescit evanescentibus ordinatis , fit a x - 2 ρ S m o; ergo
429쪽
atqui p; Ergo .BG m ali. Est itaque subtangens BG dupla abstita AB,
seuti alias probavimus. s. In aequatione hyperbolae inter asymptota a amκ9. prose Fig. a substitue , ut sit a a m ρες deinde substitue ρ--π, ut fiat
Ergo subtangens α - ρ. Quum proveniat negativa, sumenda est non ad Dr'tem, ubi initium abscissarum positum est, sed ad partes oppositas. Subtangens igitur BG α AB, ut alias demonstratum est.
quam cur ae tangens determinatur. Si in ea fit A m o, fiet ymo; ergo ran geos coincidet eum linea CF parallela AB. Contra si B m o, fiet x - Οἰ er go tangens coincidet cum linea BC, eritque parallela ordinatis. Quotie cumque ordinata BC sit omnium, quae ad utramque partem ducantur, vel mi xi ina, vel minima, necesse eit, ut tangens pungi C sit aut parallela abicillas, aut saltem parallela ordinat s p ergo erit aut rimo, aut B α o. Licet propo sitio haee sit verissima, tamen cave, ne eamdem eonvertas,& pronunties , quo tiescumque Aio, & tangens est parallela abicissis, aut B α o, & tangens est parallela ordinatis, ordinata est omnium maxima vel minima; fieri enim potest, ut in illis punctis curva aliquid singulare habeat, quod maximam, mini mamque ordinatam, ut deinceps patebit, rejciat. Veruntamen sit aliunde constet, maximam minimamve ordinatam existere, eam deteges supponendo aut ut B o. Unico exemplo rem aperiam. Notum est, curvam culus aequδ'
430쪽
Detracta prima ex arillation altera, nascetura a F - ίρ'-2ap - a'. AH-ορ--a.d--λκ'. Quare a m 6 --x ama'. N B α xa, quae quum sit constans, non potest α o. Pone ergo a m o, seu ρ ορ--aap a, quae resoluta dabit Valores duos ρ, nempe ρ Harum abscissarum ordinatae erunt duae maximae, quae quaeruntur. ρ. Quod si utraque ex constantibus A, B sit mo, tum inaequatione eoo dinatarum CF, F E egligi non possunt termini, in quibus variabiles ad seiscundam dimentionem . cendunt, quia hi non nullescunt respectu Aκ-- .Quapropter consideranda erit aequatio C -D 9-Ey m s . Si in hae DDM CE , radices omnes eruat imaginariae, excepto casu π, & 9 α o. Diaque punctum C pertinet quidem ad curvam, sed est sejunctum a reliqua eu va & punctum conjugatam exurget; in quod desinit ovalis conjugata in pu ctum evaneleens. Relate ad hoc punctum ne idea quidem tangeniis locum habere potest, quia tangens est linea recta transiens per duo puncta proxima curia vae . Ex hoe autem habes criterium cognoscendi, utrum curva praedita sit pun
ια Si DD 4CE, aequatio est divisibilis in duas huius bormae a κ --θν α 'quarum utraque aeque eompetit curvae. Igitur, quum ab utraque positio tangentis determinatur, necesse est, ut in eo puncto duplex conveniat tangens; quod evenire non potest, nisi duplex ejusdem curvae ramus in eo puncto se intersecet. Quare sumpta CF m x, pone F E, F E M. 3 ) aestales dupliei
valori y, quem duplex aequatio suppeditat; tum jungantur CE, C aE, hae Iineae rectae duos ramos curvae contingent in puncto C. 11. Si vero fuerit D D m 4cE, tum ambae istae tangentes CE,C1 Eeoincident, & angulus EC 2E nullus fiet. Quod indicat, ramos curvae duos non tantum concurrere, sed etiam eamdem ut rectionem habere, adeoque sese invicem tangere. In his omnibus casibus punctum C censendum est duplex, quia dicta per hoc punctum ducta, in duobus punctis curvam secare judieandum est. Igitur quum in aequatione coordinatarum CF, FE, aequales nihilo sunt ambo coemeientes A, B, statuendum est, curvam in C habere punctum duplex. Puactorum porro duplicium tres sunt species. Vel enim punctum duplex est punctum conjugatum, sive ovalis in punctum desinens; vel duorum ramorum inisteriectio mutue, seu nodus; vel duorum ramorum contactus. Halce diversas puncti duplicis species triplex aequationis CXκ- D SH Est mo constitutio deis
iri si praeter coefficientes a , B, tres etiam sequentes C, D, E omnes nutu