Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

101쪽

SECTIONUM CONICARUM tam rectangulii ex C in G, quama

Etangulum ex CS in Co . Quare erit recta gulum ex CT in CG aequaleremngulo ex an propterea erit , ut C ad m, hamad . vii VII. Minc autem se uisa primo, quod si

,. - 'eade in tangens Myconveniat cum directrice moliarium V in punctori , Sc cum axe conjugato PQ

in i ii puncto Ru rectangulum ex M in Κ sie ad CP quadratum, ut est G ad G. Quum enim C sit ad Cin ut est CS ad Cr; erit convertendo , ut G ad Gin iis CS ad S . Sed , ob triangula uianguiams, 6s, est ad , Mi ad TR.

Quare erit ex aequali, ut CR ad 6 ita CG ad Go in invertendo erit etiam, ut T ad CR, ita Go a CG. Praeterea , demissa ad axem coniugatum PQ ordinatam cerit ob tangentem R, ut CKad CP , ita Rad CD. Unde rectangulum ex C in C. sve, aequale erit quadrato , quod fit ex CP in propterea Gctangulum uexio in cerit ad CP qua dratiun , ut est idem rectangulum ex Moino ad rectangulum ex C in O. Jam , ob communem altitudinem Mo. rectangulum ex Moein Κ est ad rectangulum ex C in Mo, ut est K ad CR. Ostensum est autem, Messe ad CR, ut est G ad CG. Quare erit ex aequali , ut re ungulum

ex o in Mad rectari suliam ex in inuo, ita GD ad G in consequente in hac

eadem ratione erit etiam rectangulum

102쪽

ulium enim recta T contingat ellipsim , ex puncto contactus E demissa sit ad axem ordinata EG erit, ex superius ostensis , rectangulum GC aequale re ungulo AGR. Sed re unguiuii AGH ad rquat qua tam partem figurae axis Adi, sive etiam quadratum, quod si CP, dimidio axis coniugati. Quo rectinguium GC eidem CP

quadrato pariter aequale erit. Hinc erit , ut rectangulum Go ad rectangulum GC , ita idem rectangulum TG ad CP quadratum. Sed, ob com naunem altitudinem G . rectangulum G est

rectangulum GC, ut ut G ad GC. Qu reerite aequali , ut G ad GC , ita rectans tum G ad CP quadratum. Et quoniam ostensum est Go est ad CC, ut est rectangulum Moein T ad

CP quadratum perit rursus ex aequali ut re

ctangulum ex o in K ad CP quadratum, ita rectangulum G ad idem C quadratum. Unde rectangulum ex M in D. -- le erit rectangulo GO. IX. Atque hinc sequitur mam quod X

Junctis rectis K,GM, rectus sit angulus: et z' 'ΚGM, quod sub iis continetur. Fio. s. Quum enim ostensum sit rectangulum e M in K aequale rectangulo GO; erit, ut G ad T . ita Molad GO . Unde trianis gula duo ae ianguli TS . MOG habebunt is ci

103쪽

consequentere de quiangula erunt.

Angulus igitur GK aequalis erit alissulo Mo. Unde apposito communi OGM, erunt duo anguli GK OGM aequales duobus angulis G MO, OGM . Sed isti duo simul sumpti unum rectum adaequant . Quare etiam uni recto aequales erunt priores duos atquc adeo angulus ΚGM pariter rectus erit His praeniissis facili modo erit ostes.

ν,-M A. Prietas haec est , quod li per focorum alterum G ducatur tecta MN, utrinque ad ellipsi min*' i terminata, rectae S , NX optingant eruiipsim in punctis M. M a ransentes istae super directrice Vibi mutuo occurrant . Si enim seri potest , secent tangentes illae directricem Tu in punctis diversis nimirum tangens quidem S in puncto M. Ransens vero NX in puncto L. Tum junsantur rectae GK, GI Et quoniam recta Κ est tangens ellIps , eaque occurrit directrici in puncto Maerit angulus G rectus adeoque remis pariter angulus ΚGN, qui Od partum alteram existit. Eadem rationes, quia rem NX est tangens ellipsis, eademque secat directricem in puncto I erit anguliis IGNI militer rectus. Unde duo anguli GN IGN aeuuales erunt inter se. Quod fieri non potest. Ad hi H ΤΠ Vero alio etiam proprlata maia

is uom minimirum , quod si per foc di

104쪽

Lx M a et A. io itum alterum G ducatur rectaram, utrinque ad ellipsim terminata; actis tangentibus: ἰγοῦ

MK mx, sibi mutuo occurreutibus in M,3 --.Jungatur recta Gς haec perpendicularis esse Fi' se debeat ad ipsam MN. Reserat namque recta TV directricem ellipsis. Et per ostensam proprietatem, in ea locabitur punctum Κ, in quo tangentes duae sibi mutuo occurrunt . Unde per ea, quae paulo ante ostensa sunt, omnino necesse est, ut rectus sit uterque angulorum KGM. RGN; atque adeo, ut ipsa GK perpendicula, ris sit ad rectam MN. Hoc idem erui quoque potest ex toprietate illa generali , superius ostensa , quod tecta GK bifariam dividat angulum, contentum sub rectis GM GN. Inde enim sequitur,

eandem rectam G aequales semper angui constituere eum rectis; GM. GN atque adeo rectosisse angulos illos, ubi ipsae GM, GNiacent in direAum

XII. Caeterum ex iis , quae modo ostensa siti sunt, dati,iscis, diremice, num negotio ivnt, ducetur tangens as quodlibet ellipsis pun- ονυ ,

auis. Reserat enim recta V directileem ei et: ', π, lipsis, sintque soci eiusdem puncta G, H oportet ad punctum N tangentem ducere. Σ Ad socorum alterum G ducatur e ciuis Flo.

perpendicularis erigatur in conveniens cum directrice in puncto c. Jungantur denique punctavi , vi per rectam NK. Et erit recta istam tangens quaesita. Si nim fieri potes , contingat elli

105쪽

quae conveniat cum directrice iri iuncto LTum ex eo Gad punctum Idueatur recta GI. Et ex ostensis, rectus erit angulus I GN. Sed e constructione rectus etiam est angulus RG .Qu3re duo anguli iGN AEGNaequales inter se erunt. Quod fieri non potest.

I. 4 imiliter in hyperbola soci, ave ummis . . rametri ejusdem axis ad arant. s A sit axis hyperbolae . AD

' eum parameter erus , capianturuue in axe illo AB

OAE in punct. 4 VH aueo quidem, ut ordinainina G, FH iunctis illis correspondentes adaequent semissem ipsius AD; dicenturium

Et c M H fisci , sive inibilici ipsius hyper- Unde liquet, os G, M aequaliter dianar tam a centio hype imis C quam ab axis

verticibus A,&B.Nam,quemadmodum aequalia sunt quadrata EG, FH cita quoque aequalia erunt rectiangula AGM AH x, quae iis vi tatis proportione correspondent. Hinc , addendo aequalia ista rectangula

106쪽

quadratum ex C aequale etiam quadrato ex CH propterea aequales erunt inter se, tam dua CG, CH, quam duae AG BH. II. Ex ipsa autem meorum definitione L

ficorum osterum abfri quadrantem figurae ν - ε α em axis a qui re Maneant enim omnia, T. ut supra. Dico, tam rectangulum Asis, quam Fio. 6. tectangulum AH aequale esse quarta parti gurae axis AB, quae constituitur perci ctangulum D AB. Nam, propter hyperbolam,Ε quadratum est ad rectangulum AGB, ut AD ad AB sive viam , ut AD quadratum ad rectangulum DA . Sed a quadratum est quarta pars quadrati, quod fit ex AD quum ex constructione EG semissem adaeque ipsius AD. . x etiam rectangulum ACB quarta pars erit rectanguli DAB

Eadem ratione, propter hyperbolam,FH quadratum est ad red tangulum AHB, ut AD ad AB I sive etiam ut AD quadratum ad rectangulum DA . Sed F quadratum est Prota pars quadrati, quod fit ex AD; quum ex constructione FH semissem adaeque ipsius AD. Quare etiam rectangulum AHB quarta pars erit rectanguli DAB. III. Dueantur nune advertiees A &B tangentes AX,BZ, quae conveniant eum tam gente quavis tertia MXZ in punctis , Sc Z. Et Dei eνis sexdere , quod si ex socorum I . . altero G ducantur rectae M GT, angulu Fio v mn sub ipsis comprehensus, perpetuo re

otiis esse debeat, uinuitque merit punctum contactus M. Nam

107쪽

aequale quadrato, quod sit ex dimidio amis conjugati, adaequat quartam partem figurae axis AB Sed eiusdem figurae quadranti oris quale est quoque rectangulum AGB . Quare erit rectangillum ex X in B aequale re,ctangulo AG Se propterea erit, ut Aval Hinc duo triangula re ungula XAG, BZ quiangula erunt; adeoque erit angulus

AX G aequalis angulo BGZat,apposito com . inuni AGX, erunt etiam duo anguli AXG. AG aequales duobus angulis BGn, AG , Sed priores duo unum rectunt adaequant. Qu3re uni recto pariter aequalea erunt postri riores duo 3 consequenter angulus G ex iis compositus, rectus erit.

1 v. v. Elae autem ratione ostendemus, zzi esse angulum XHZ, quem continenr: -- rectae HX HZ,ductaei soco altero H ad ea..ci, diem puncta X in Z Isiade sequitur quoque, Fio. quod si ex puncto ς, in quo rectae duae Z,

HX se mutuo secant, ducatur ad punctum contactus M rem ΚM, haec perpendicularis sit ad tangentem Z.

Si enim fieri potest, sit ierpendiis laris ad Z . Et quoi ni rectus est , tam an gulus XGZ, quam angulus XHZ Leirculus,

descriptus super X.t,velut diametro,transibit per focos G H . Unde erit angulus HGZaequalis angulo HXZ, sive ΚXΟ.Sed angulus HG aequalis est angulo AXω. Quare duo anguli AXω,ΚX aequales erunt inter sti

108쪽

Simili ratione ostendemus, BZesse adon, ut est, ad Z . Unde , quia propter triangula quiangula ΚGX AEHZ GX est ad X, ut HZ ad Z erit ex aequali, ut AX ad Ox, ita BZ ad Z permutando erit quoque, ut AX ad BZ, ita X ad Z. Praeterea,demissa ad axem ordinata merit, ob tangentem T iit CN ad A. ita in ad T . Unde,convertendo prunum, erit, ut CN ad Am, ita A ad AT in addendo

deinde antecedentes consequentibus , erit quoque, ut CN ad m, ita C ad Te proindeque per ordinatam rationem, erit, ut

Mn erit rursus ex aequali, ut X ad Z. ita X ad Z . Unde , subducendo antecedentes ex consequenti huc erit, ut X ad

On, ita Z ad Z in propterea duae OZ , NZ aequales erunt inter se. Quod fieri non potest.

V. Atque itines iam etiam rectas G. v. NH, quae e e puncto eontactus M ad beos inclinantur, aequales cum tangente Zanguis φρον --los constituere , hoc est angulum GMX ae zzz. qualem esse angulo HMZ. Fio. 7. Quum enim rectus se , tam anguliis

109쪽

Eadem ratione, quia rectus est uterque angulorum ΚΗΣ, ΚMZ semicirculum, d scriptus stipet Κν, velut diametro . transibie per punctam Sc M . Quare erit angulusHMZ aequalis angulo HKZ sive G . Eidem igitur anguli X aequalis tam angulus G- , quam angulus H- Quare erit angulus GMX aequalis angulo HMZ: propterea rectae duae G, H eum

tangente Z aequales angulos constituent. m. VI. Inde vero deducitur praeterea,eMem rara rectas G, incontinere rediangulum,quod prieta quartam partem adaequa figura diametri, ziz transeuntis per punctum contactus M Fio. Nam, ex superius ostensis, si ex centro

hyperbolae C adiunm X, et intellimitiis dum tectae in , π, eae exhibebunt nobi et

duas hyperbolae diametros conjugatas . Quare rectangulum M aequale erit quadrato , quod fit ex dimidio coniugatae illius diametri , quae pertinet ad punctum M Jam quadratum istud adaequat quartam partem figurati eiusdem diametri . Unde eo

stabit, retaingulum GMH aequale essem drantiis tametri, mi eunti, per pu ctum, utique ostendi possit , recta gulum GMH aequale esse tectangulo XMZ.

Id vero ostendemus in hunc modum. Quoniam rectus est uterque angui rum G X. KMX; erunt alii duo anguli

110쪽

militer quia rectus est, tam an 'lus ΚΗΣ. quam angulus ΚMπ; erunt alii duo anguli AEM , HZ duobus rectis pariter aequalas. Hinc duo anguli GEM GY aequales

erunt duobus angulis GΚM, HE proindeque ablato commun GKM, remanebit anguinius X aequalis angulo HE . Unde triangula duo MX , HM aequiangula erunt, propterea suum sit, ut X ad MG, ita H ad Σ; erit rectangulum GMHaequale revingulo XMZ VII. Exinde coli risu pariter differen vii. tiam rectarum G M H aequalent esse axi: zz et

AB . Ducantur enim uni earum , veluti G,

parallelae CR,HS. Tum iungantur rectae AR,I: Ist HR, BR. Et quoniam eidem angulo GMxaequalis est, tam angulus HMS quam angulus HSM, erunt duo anguli a Ms, HSM aeuuales inter se, propterea triangulum HS is . sceler erit sed hasis ejus in bisecta est perrectam H ς quum sit, ut RM ad RS ita CG ad CH . Quare erit HR perpendicularis ad ipsam S. Hine , ob Irculum, transeuntem perquatuor puncta in X , erit angulus ARX aequalis angulo AHx . Et similiter, ob ineuium, transeuntem per uinminuatuor B M , T M, erit at lus BRX aequalis a gulo BHΣ . Unde angulus ARB aequalis erit

angulo XHZ atque adeo rectus erit. Id quum ita sit, semicirculus descriptus super ΑΒ , velut diametro transibit per pun