Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

131쪽

Lia zzzGM, conjungentem punctum contactus

μήν -- cum foco G , aequalem esse axis portioni Q. Kn quae inter focum S tangentem existit. Quum enim rectam contingat para-holam , Sc ex puncto contactust ducta se ad axem ordinatam; erunt portiones duae

AT, Adb aequales inter se . Sed A est ad AN, ut X ad X. Quare dua TX , MX

etiam aequales erunt. Hinc duo triangula in , GX habe hunt duo latera TX, GX aequalia duobus i

teribus X GX, alterum alteri sed aequales quoque sunt anguli, sub iis lateribus comprehensi quum uterque sit rectus. Quare eorundem bases GT, GM pariter aequales erunt.

V. A me hinc sequitar etiam . quod si ext datur tangens X versus , S per 2- unctum contactus M ducatur recta H p Fib. V r lioli xias, aequales sint anguli, quos Got GM, H constituunt eum tangente κα

um enini duae GT G Miuer se sine aequales , triangulum G i sceles erit; adeoque erit angulus GTM aequalis angulo GM T. Sed propter parallelas AB, H, idem angulus Tmaequalis etiam est angulo

les erunt inter se.

VI. Exinde uritur praeterea, rectam

ι- - - GM adaequare quadrantem parametri, quae r fertur ad diametrum, transeuntem per pun-Fio .s7 dium contactua M. Quum

132쪽

κα - , T A. αν Quum enim rectus sit angulus XG; erit , tam AK quadratum aequale rectangulo HG, quam X, seu MX quadratum aequale rectangulo AT; Unde AX quadratum erit ad X quadratum, ut est rectangulum TAGad rectangulum ATa; sive etiam, ut est a Gad G, seu GM. Et quoniam , ex superius ostensis, A tquadratum est in X quadratum , ut para- meter axis AB ad parametrum diametri H; erit in hac eadem quoque ratione AG ad GM: propterea,quemadmodum AG quadrantem adaequat parametri , quae refertur ad axem AB , ita M aequalis erit quartae parti par emetri, quae resertur aldiametrum H.

VII. Demittatur ex puncto contactus ': . .. ad axem AB ordinata MN . Et extade olligi- - - tur pariter , eandem rectam M aequalem esse duabus AN, AG simul sumptis. FIG.s7.

Portiones namque duae AT, AN,obriai gentem T , inter se sunt aequales . Quare, apposita communi AG , erit tota Graequalis

duabus AN AG simul sumptis . Sed G Mostensa est aequalis ipsi T.Quare iisdem AN, AG simul sumptis etiam G aequalis erit. Id quum ita sit, si extendatur axis ABFis.s8. versus verticem A usque ad punctum Fesita,

ut duae AD AG inter se sint aequales erie Ginaequalis ipsi FN . Nam ob aequales P. AG, est inaequalis summae duarum AN AG . Sed eidem summae aequalis est etiam GM . Quare duae GM, FN equalea erunt in ter se. viii.

133쪽

i; EC Tio Nu C0NICARUM μ - - describendi parabum snplani, datis axe, Extendatur axis Ad usque ad punctum F ita, ut dim AR, AG inter se intiquases; Sex puncto F perpendicularis erigatur FH. Sit deinde Huregula quaevis , ipsi FH no

maliter insistens. Et sumpto silo ejusdem eum regula longitudinis , allisentur e*trema fu punctis G, i L. Feratur postea regulam super ipsa FH , ea quidem legi, ut ei maneat semper perpendicularis, atque adeo par tela arx AB. Et ope stili , o sum resula furatur,tiam filum, sed it tamen, ut portiones ejus maneant continuo tensae Dico , curvam , quae per stilum in subjecto p ii describitur esse par

quet, eiu naturam han esse, ut si ea aliquo eius puncto M demittatur ad axem AB pem

erit parabola. Perspicuum est autem , parabolam , quae prae sata latione describitur , necessario transiiare per punktu . , erticem axis AR, Patet quieti m , eo nidorem parabolae portionem

134쪽

IX. sed ea ii , quae hod ostetis sunt, rursus liquet eritas jus quis alia rati π . . 'z Talibi ς-Ummimus, nimirum, quos para metrρεμνε meter miusvit diamqtri H superet parame ia ..trum axis AB per quadruplii abscisses AN. Quum en in G iit a quali duob in Fis.s . AG , AN simul sumptim erit AN disserentia duarum G M , AG Sc propterea quadruplum rectae et hi superabit quadruplum usto per quadruplum ipsius AN. P0mam autem Gli 'quadrans para- metri, quae refertur ad diametrum , erit quadruplum eiusdem G M parameter integra ejus dein diametri . Et similiter, quia A est

quarta pars Para metri , quae resertur ad axem

parameter.

Unde , quum quadruplum rectae M superet quadruplum rectae per u drtι-plum abscissae AN; omnino neces e est, uti rameter diametri H superet parametrum

X. sit nunc tecta, at qua tangens ProprisD parabolae, conveniens cum axe AB in puncto

T. Eristatur super ea perpendicularisio, ei perpenaicu dem axi Occurrens in V. Et circa perpeusi cu ., oria.

Iarem istam duo licebit ostendere. I '

Primum est , quod si per punctum con tauoo. e n.

tactus M ducatur rela H, parallela a DAB Fio s7- ea bifariam dividat angulum MH, contentum sub rectis GM , H. Nam rectae GH MH constituunt cum tangente M angulos aequatos . sed aequales quoque sunt anguli, quos

135쪽

rax SECTIONUM CONICARUM quos cum eadem tangente sicit perpendiis

cularis O Quare erit angulus Guel aequa. Alterum est, quod duae axis portiones , OG inter se sint aequales . Nam per ea, quae superius ostensa sunt, portio No semisi se adaequat ipsius AD; adeoque dupla est

portionis AG Sed , propter tangentem Τ, etiam portio NT dupla est ipsius AT . Quare erit tota T dupla totius G in propterea, quum T secta sit bifariam in G, portiones duae G ΟG aequales erunt inter se. XI. meretur autem, ut Deciatim ostes

1 An siturβ-m proprietat nimirum, quod si exta et puncto o demittatur aper rectam GM per paria. . pendicularis O , abscissa portIO M sit G

ι - - qualis dimidio parametri A. , quae resertur FaG-s7 ad axem AB. Nec sane dissicile erit, eam ostendere Quum enim duae G OG imter se sint aequales , sitque m aequalis ipsi GM; erunt duae , OG pariter aequales inter se:proindeque anguli GMO, GOM etiam aequales erunt. Hinc triangula duo rectangula OMR: ONM aequiangula erunt: dc propterea, quum sit , ut O adix, tam ad Noe erunt duae M N aequales inter se . Sed No si missis est ipsius A D. Quar etiam M semissis erit ejusdcm A D. XII. Praeterea pertilis ad focum parabolo -tia hac alia propri- , quod si duae tangen Iair cs Κ m convenion in Κ, S ex soco FaGI9. ducantur. ad pundii contactus rectae GM,

136쪽

ELEMENTA ID Jungantur enim princta per rerictam MN , cui per focum G parallela agaturo , conveniens cum utraque tangente in punctito, ' Sit porro EF diameter, quae hiserat relium MN, eamque velut suam ordia natam agnoscit. Et per verticem eius E eidem MN parallela ducatur X , quae similiter tangentibus occurrat in punctis X, a. Quia igitur diameter EF transire debet per punctum ς, in quo tangentes duae Κ, NK sibi mutuo occurrunt; erit XZ bifariam secta in puncto Et proindeque erit, ut m ad

EX, iis ΕΚ ad G . Sed, productis tangentihus , usque done axi occurrant in punctis T. S. est ad Ex , ut G ad Go, item que Ecest ad ΕΖ utSG ad GR. Quare erit

ex aequali, ut G ad Go , ita SG ad GR Permutando erit etiam, ut G ad SG, ira ad GR. Jam , ob tangentes MΤ, Ny aequales sunt iliter se . tam duae G GM , quam duae EG, GN. Unde quum sit, ut G ad Soe, ita GM ad GN; erit rursus ei aequali, ut G ad

GR ita GM ad GN . sed produm GK, unque donee ipsi MN occultat in V, Go est ad

GR , ut L ad N L. Quare erit denuo ex eis quali, ut G M ad N iram ad N L proin 'deque angulus GN sectus erit bifariam perrectam GK. XIII. Sed hoc aliam propriatatem πω etiam silentio praeterrbimus quod ii per in is, uincum G ducatur recta PQ, utrinque ad par

holam terminata, ea sit aequalis parametro ii , - --ι

137쪽

ε SECTIO Nu CONICA Ru Mordinatam agnoscit. Sit enim F diameter , ad qualia PQ yelut ordinata refertiles, sitqtie etiam ΕΗ pa . iameter istius diametri. Ostendendum est, duas PQ, ΕΗ aequales esse inter se. super axe AB demittatur perpendicularis Eu damque per ea, quae superius ostensa sunt, parameter diametri EH aequalis erit parametro axis AD una cum quadruplo ipsius A L. Sed parameter AD quadrupla est ipsius A . Quare eadem ΕΗ duabus AG, AL quater sumptis aequalis erit Ducatur deinde per verticem axis A alia ad diametriini ordinata AO . Et quemadmodum aequales sunt duae AG. 4 ita etiam, ex ostensis, aequales erunt duae R L, EO Unde quum duabus AG in aequalis sit tota ER, eriti id aequalis' tradruplo ipsius E R. Quoniam autem, Propter parabolari,

EH est ad PM, ut Mad EM; erit quoque , ut ΕΗ quadratum ad PMquadratum ita ΕΗ ad ER. Unde, quemadmodum Eld quadrupla est ipsus R. ita etiam erita quadratum quadruplum quadrati, quod si ex PR,proi deque Eu mi P aequalis erit F.Aν.ja XIV. Denique hanc quoque propristatem ζα nolumus suntis committere, quod si recta Tarii maiis . parabolam contingat in ducta e foco Fao 6 I. ad puncturi contactus M tecta GM . huic per verticem axis A parallela agatur is, cum tangente conveniens; quod , inquam, demissa,

ad axe, o dinata MN. duae Ax, Ar inter

se sint aequales.

Quum enim triansula duo TUM TAX

138쪽

terea, quemadmodum A aequalis est ipsi AN, iis quoque Ax eidem Amaequalis erit.

id quum ita sit, liquet, differentium duatum G M in X esse eandem ubique t nimirum aequalem ipsi AG Quum enim G duabus A6, AN simul sumptis sit aequalis erit AG diserentia duarunt GM , AN . Quare , ob ae-qιales AN AX, eadem AG erit quoque dis. orentia duarum GM, AM

sstenduntur proprietate se elalet , adparabolaefocum

pertinentes. i. cristens proprietati rae ierolibat

ad parabola laeum pertinentis --hus reliquum modo est, ut eas ostendemus , 2'i: et t. quae speciales sunt, ad illud dumtaxatiun Fio.6a ctum pertinent, quod per rectam axi perpe dicularem cum soco coniungitur. sit igitur AB axis parabolae , sitque punctum G ejus focus, seu umbilicus Erigatur ex eo perpendicularis ad axem GD, par holioeeurrens in P. Tum ad punctum Dd dicatur tangens ET, cum eodem axe conveqniens in T.

139쪽

iis 4ECTIONUM CONICARUM 'Ac primo quidem ostendemus, quod ere Et ex vertices ad tangentem usque perpendiculari Ax ea sit aequalis portioni AG, ab seissae ex axe AB per lacum G. i Jam eniti A parallela est ipsi EG Qua re eadem , ex ostensii, aequalis esse debet ei axis p tioni, quam abscindit ordinata, e. missa ex puncto L. Sed, ex constructione or. dinata ista est ipsa G. Itaque recta X . qualis erit portioni AG Hoc idem ostendi quoque potest hunc modum. Quoniam AX i sunt tal- gentes duae per ea, quae superius osteni sunt, secabitur angulus AGE biseriam per re, Ham Unde , quum angulus AGE sit re Eius erit semirecto aequalis, tam angului AGX, quam angulus A X; Sc consequente: duae AX AG aequales erunt inter se.

quod si ex alio parabolae undio. M ducatar

ιιι tam cum tangente quam cum parabola id

FaG.6a partem alieram in punctis R, S in restantulum R sit aequale quadrato, quod sit ex

interiecta axis portione GN. Nani, per superius ostensa, rectangulum RO est ad quadratum tangentis ER, ut est Parameter axis AB ad parametrum diametri, quae transit per punctum L. Sed in hac e dem ratione est etiam quadratum tangenti,

AX ud quadratum tangentis Ex Quare erit ex aequali, ut rectangulum Ro in m

quadratum , ita X quadratum ad acqu-

140쪽

Jam , permutandi, rectangulum Ro erit ad A X quadratum , ut est E quadra. tum ad EX quadratum . Sed propter parallelas NR, EG AX ER quadratum est ad Ex quadratum, ut G quadratum ad A qua-

dratum . Quare erit rursiis ex aequali ut rectangulum RΟ ad A quadratum, ita GN quadratum ad A quadratum et Sc propterea, quemadmodum aequalia sunt quadrata duo

AX, AG ita quoque erit rectangulum Ro sequale quadrato, quod sit ex GN. III. Atque hinc se ,tur uois , quod si migatur punctum M cum meo G per rectam . a-GM , haec sit semper aequalis rectae NM ubi p. Jam enim rectangulum Ro ostensum

est aequale quadrato, quod fit ex GN. Quare, apposito communi quadrato ex MN , erit reiactangulum MR una cum MN quadrato R-

quale duobus quadratis GN MN. Quoniani autem, est secta bifariam in puncto N; evit e bingulum MRo una cum MN quadrato aequale quadratoi R. Et quoniam angulus GNM est rectus , erunt

quadrata duo Gm MN aequalia quadrato ex ipsa in Hinc erit N quadratum aequale quadrato ex GM: Sc propterea duae NR GMaequales erunt inter se

Huius autem proprietatis ope,datis axe, ODra,facile erit insenire longitudinem --ἀinatis, q- eri et axis abscisae cineno det sit enim aris AB , sitque Glacu . Et

oporteat,invenire ordinatam, quae correspondet abscissa: AN.