장음표시 사용
121쪽
quadratum , ut G quadratum ad AG quadratum stiare erit rursJus ex aequali, ut mctangulum RO ad A X quadratum itatu quadratum ad AG quadratum M propterea, quemadrnodum qiralia sunt quadrata duo
ΑΨ, AG ita quoque erit restinguiuiti Rotaequale quadriito. ubist me GN itI. Atque itine sequitis tinis; quod siri ..t iubeatur punctum sicuri Deo sper tectanir 'di G, haec sit se her dualis rectis NM ubi Flu -- eumque sumptum merat punctum M. Iam enim rectangulum M RO ostensum est aequale quadrato, quod fit ex N. Quate, apposito commuris tuadrato ex MN ei it reis
eum MN quadrato aequale quadrato ekNR. Et quoniam angultis G NM est tectus , erunt quadrata duo Gm MN aequalia quadrato ex ipse 1 G . Flinc erit N quadratum aequato quadrato ex Gris propterea duae Moaequales eruiit inter se.
Et oporteat invenire ordi tam , quae corr Uondet abscissae AN. Erigantur ex punctis A , AE ad partes eontrarias perpendiculares An, BZ , quae
sane equales ipsis AG, AG . Tum , iuncta L, erisuiui in pilino, hi perpendicularis
122쪽
L E M E N T . Isaitera, , ei oeeurrens in M. Denique cen tro G , S intervallo ipsius, deseri ha tuearcus,eandem N secans in M. erit MN --dinata quaeiata . . in
IV. . iisdem, ut supra, inanentibus, eriga mitis inodo ex ptincto T, in quo tangens ET secat a leni As , perpendicularis ad ipsum otiis arim TV age queuiades uiri perpendicula zz I
rem istam TU hyperbola, direnneem dein- η---ceps appellabimus , sie ad eam plures fperbolae proprietate competunt. uinii tum primo demissa ad directrieem perpendicularia . erit , ut E ad G , ita A ad G . Nam ob narallelograminum FG, sui EF, Grinter se iunt aequales. u.
ad EG , ut Arad A X. Et ob aeqtiales An, AG ait est Ar ad Ax , ita est Arad AG Quare erit ex aequali , ut EF ad EG , ita Arad AG. seeundo, demissa ex alio quovis hyper. bolae puncto M ad eandem directricem per
pendiculari Ms,erit, utras ad M ita Arad AG uani,dum ad axem m dinata MN,eaque moducta ad tangentem usque In puncto Rietit, ut TN ad NR, ita AT ad Ag, sive AG. Sed N est ad N , ut M ad σι quum
snt aequales , tam duae T , s , quam duae N R,MG. Igitur erit ex aequali, ut m ad m, ita AT ad Αα Tertio, id verum erit etiam relate ad alium axis verticem B; quandoquidem erit,ut
123쪽
- SECTIO NuM CONICARUM la aequiangula BZ , TAX , ut estis ad BZ , ita est A ad Ax. Sed , ex super usostensis, aequales sunti inter se tam duae AX,
AG quam duo BZ BG Quare erit quoque ut Brad BG, ita Arad AG. Quarto, si duo in hyperbola capiantue inineta ex iis perpendiculares ad directricem demittantur My P.; erit, ut M ad PQAita Gad PG . Nam in eadem ratione , quam habet AT ad G , est, tam NS ad ad Moe, quam PQ ad PG. Igitur erie ex aequali, ut S ad G ita PQ ad PG permutando erit etiam, uti ad PQ, ita MG ad FG. Denique, si ex tisilem punctium in P ducantur ad directricem aliae duae rectae in. PL, quae inter arant parallelae , erit quoqMi ut Lad P L, ita Maad PG. Nam, ob tria i ut sequiangula SI, P ut est M ad L, Ita est S ad PQ Ses, ex ostensis, S est ad PQ ut est G ad PG. Igitur erit e aequali, unu ad PL,ita Gad Ραα ,- V. Recta igitur, quae ex quolibet hyper-
να--i. holae puncto perpendiculariter demittitur ad
statar dite uicem,est ad rectam,quoeex odem pum.
Mi. - ducitur ad eum G,in eadem illa ratione, --nis ais. quam habet Arad AG . sed orea proprist Fao.s . rem sam duo occurrunt, notatu digna. Primum est , quod ratio quam habet AT ad AG , sit minoris ad majus ' adeo neminye, ut perpendicularis demissa ad dilectricem sit semper minor recta, quae ducitur ad focum
Gob tangentem enim Enut est CT ad Α,
124쪽
Alterum est , quod eadem illa ratio sit inlis ei, quam habes axis AB ad distantiam , quae inter utrumque focum existit Nam, ob tangentem ET, ut est CT ad CA, ita est C ad CG . Quare , subducendo ante cedentes eae consequentibus , erit, ut AP ad
CA, ita AG ad Gi permutando erit quoqGue, ut A ad AG, ita C ad G. Jam uero C est ad CG, ut AB ad GH. Et igituro aequali Arerit ad AG , ut est AB ad GH VI. Ad directricem hyperbola asi oti*M proprietas pertinet valde singularis . Sed ad
--, spum theorema , quod si ad aliquod hyperbolae punctum M ducatur tangon a za a T. . eonveniens eum axe AB in punit Fio.ss. puncto contactus indemittatur ademide' axem ordinata Mo quod, inquam, Cast insio, ut est CS ad CT.
Quit enim recta Erconi Ingat hyperbolam S ex puncto contactus E ducta sit ad axeni ordinata EG; erit, ex superius ostensis,
ut CT ad A, ita C A ad G proindeque rectangulium ex Cria CG aequale erit quadrato, quod fit ex CA similiter, quoniam recta Myest tangeret hyperbolae, Me puncto contactus M dum est ad axen; ordinata Mo per ea,quae superius ostensa sunt, erit, ut CS ad CA Ita C ad
125쪽
m Ecetro Nu, covicii iiii is erit quadrato, quod fit ex CA.
' ad cp quadratum, ut est G ad G. tuum enim C sit ad Cin, ut est sad Crue erit eonvertendo, ut G ad Go, ita ad M. Sed . ob triangula quiangula CR , KS CS est ad T , ut C ad K. Quare erit ex aequali, ut C ad 6 cita CG ad G Sc invertendo it etiam iut 6 aam, iam ad Cc. praetem , demitti ad a te, eonsum umsu ordinata, i erit, ob tangentem R, iit C ad CP , ita CP ad C . Unde frema-gulum ex C in CG, sive Mo aequale erit quadrato , quod fit eximi propterea reis ctangulum e M in Metit ad CP qu dratum , ut est idem rectangulum ex Moisu ad rectangulum ex CR in o sani, ob communem altitudinen Miniectangulum ex o in is est ad rectangi 'lum ex xiii Mo, ut est is ad CR. oste sum est autem, cesse ad CR, ut est G ad . Quare erit ex aequali . ut rectangulum ex M in is ad rectangulum ex C in Mindis G ad Cc. Q --κ- in hac:
126쪽
hadem ratione tit etiam rectangulurn exuo in cad CP quadrattim. VIII. Unde f. quitur fecun/o, reictangu. Vmium e M in K aequale esse rectangulo
mo; atque adeo esse , ut G ad K, ita Fiu.ss. Moad Go. iiiiiii leniit resti Ercontingat hyperinibolam A 2 puncto inmactus x densissa sit affariri ordinata re, ii, e sui larius ostensis , rectangulti et GD aequale iectangulo AGB . Sed tectangulum AGB adaequat qua
tam partem figurae a,tis ΑΗ , sive .liam qua .dratum , quod fit ex CP, dimidio axis coniux H. Gre rectangulum GC eidem P quadrato pariter aequale erit. Hine erit, ut rectaniuulum ΤGo ad remnquilini GC , ita idem rectangulummo ad'quadratum ob cothhilinein altitudinent σέ inanitulum o a uirectangulum GC, ut et mo ad GC. Quare erit ex aequali utro ad GC , ita rectanguium pGo ad DF quadratum. Et quoniam ostensum est esse ad se , ut est rectangulum ex o in T ad CP quadratum Letit rursus e sequali , ut re-mneului ex Mo inust ad CP quadraturii, ita inangulum so ad deni CP quailia..tum Unde rectanstulissi est o in uisio
te erit rectangulo TGo. IX. Atque hine equisti demum , quod π.Junctis rectis GK min, rectus sit auulus isνιι, .RGM, quod sub iis dontinetur. ' 1G.ss. Quum enim ostensum sit rectangulum
127쪽
circa angulos rectos latera proportionalia , consequenter sequiangula erunt. Angulus igitur GK aequalis erit a gulo GMO. Unde apposito communi OGM, erunt duo anguli GK OGM aequales du hus angulis G Mo , OGM . Sed isti duo simul sumpti unum rectum adaequant ouare etiam in rea aequales erunt priores duo; atquo adeo angulus ΚGM ex iis compositus rariter re cluserit.
is .isa an dere proprietatem suam singularem,quae perti,
,αια directricem hyperbolae . Illiusmodi prois ε': prietas haec est quod si per socorum alterum Σ dueatur recta,m, utrinque ad hyperboqHo.ss. um terminata, S rectae S , NX contingant hyperbolam in punctis , N;tangentes super directrice V sibi mutu occurrant. si enim fieri potest , secent tangentes illite directricem T in punctis diversis nimirum tangen quidem, in puncto K tangens vero Nx in puncto L. Tum jungans tur rectae GK, GI. Et quoniam rem Mnest tangens hyperinibolae , eaque occurrit directrici in puncto Κ erit angulus RGM rectus adeoque ectu' pariter angulus RG ; qui ad partem alteram
existit . . . . . ' gailei, ratione , quia recta NX est tan- gens hyperboli, eademque secat directricentia punctos,erit angulus IGNI militer tectus.
128쪽
ri elegam fiat: nimirum , quod si per coin tarum alterum G ducatur recta MN , utrinque ad hyperbolam terminata os actis tangenti rta bus Κ, NK, si hi mutuo occurre utibus in Κ rm. -- jungatur re eri GKa haec perpendicularis esse νιψ FU debeat ad ipsam MN. Reserat namque recta TV directricem hyperbola. Et per ostensam proprietatem, mea locabitur punctum Κ, in quo tangentes duae sibi mutuo occurrunt . Unde ρον , quin paulo ante ostensa sint, omnino necesse est, ut rectus sit uterque angulorum GM4ΚGN; atque adeo ut ipsa G perpendicula,
ris sit ad rectam MN. Hoc idem erui quoque potest e prOprietate illa generali, suporius ostensa , quod recta GK bifariam dividat angulum, contentum sub rediis GM GN. Inde enim stiluitur, eandem rectam GK aequales semper angulos constituere eum rectis GM GN atque adeo rectos esse angulos illos, ubi ipsa GM . iacent in dire tum XII. Caeterum ex iis , quae modo ostensa It
sunt, datis focis, O directrice, nullo negotio λιι, ι,.
Mam. Referat enim red TU directricam hy- βαιι ossis
perbolae sintque soci eiusdem puncta G, Hoportet ad punctum N tangentem ducere. Ad Morum alterum G ducatur ex puit, τις s rectam; Tum ei es eodem soco G perpendicularis erigatur c conveniens cum directrice in puncto M. dungantur deni,
129쪽
Gl. Et ex ostensis, rectus erat angulua IGN. Sed e constructione rectus etiam est anguin
ηρα- . tiri eiusdem axis adaqua Ita , si AB sit axis parabolae AM AD parameter ejusu capiaturque in axe illo AB punctum G adeo quidem , ut ordinata et cor respondens EG adaeque semissem ipsius AD;
seu umbilici. In parabola tamen nonnisi unicus reperiatur. Id namque pendet ex eo, quod alter axis vertex inparabola est in in- filii-
130쪽
iiiiit a priore distaiatia .lI. Ex ipsa auteni foci definitione lauet,
axis , equo in . Mai eant, νη-ιρ- enim omnia, ut inpr . Diς', portionem, ch ηqualem esse q-rt: parti ipsius AP. ι'.s7Nψm, propter parabolam , quadra- um cst aequale rectangulo DAG. Quare erit ut AG ad EG, ita EG ad AD . Sed ex coe structione EG semissis est ipsius Ain. Itaque sitiam AG semissis erit ipsius L G . Ex quo fit, ut eadem A adaeque qua ira i sit 'tius p - ametri A . , - ΦIL e tu nune ad verticem in m. sen Aa , quae pnviviis eum ali quavis
pentem M s. Extendatur etenim tangens X , usque donec conveniat cum AB in puncto e puta 'o contactus μή si illa ur ad axem ordinata MN. Jamque ςrii, tNT fu AT , it
upla ipsius AT . Quare etiam dupla erie ipsius o . propterea MN Quadrat una 'Radruplum erit quadrati, quod ni ex AX. Quoniam vero A quadrans est ipsi ut AD . erit rectangulum A quadruplum quoque Octanguli GAT. Unde erit, ut MN quadratum ad A quadratu ni , t recta gu-- DA ad recta igulum GAT.Sed propter par mani MN quadratum est aequale rectat