장음표시 사용
91쪽
recta in GK Jungantur enim puncta N pera Etam MN, cui per socum G, centrum c. parallelae agantur OR, XZ, cum tangentibus convenientes Junganturnii me rectae M. H N, inveniat eum axe, tangens quidem M in puncto T, tangens vero NK in pun
Et quonἰam HM est ad G M , ut TH ad TG; erit eomponendo , ut AB ad G , ita summa duarum H, G ad ipsam G in ea piendo antecedentium dimidia erit quoque,' ut CA ad G M, ita CT ad TG. Sed C est ad TG, ut C ad Go. Quare erit ex aequali.
Eadem ratione ostendemus . A esse ad G , ut e ad GR. Unde, quia Gmest ad N in ratione composita ex GM ad A. ex A ad Gm habebit quoque G ad GN rationen compositam ex Go ad x See A CZ ad GR. z....dam diameter, quae bisecat rectam MN . iramque velut suam ordinatam agnoscit,trannire debet perpunctum K, in quo anynter μα Mς, - bi mutuo occurrunt . Qua re eadem. diameter biως it quoque rerum XZ ε propterea , quum aequales sint duae CX CZ erit G M ad N in simplici ratione, quam habet Go ad GR. Ponamus modo , rectam GK ipsi broecurrere in L . Et quoniM GO est ad GRI
92쪽
cs, ita L ad NL proindelitae angissus. MGN sectus erit bifariani per rectam GK. XII. Sed hanc aliam proprietatem nec etiam ustio praeteribimus, qtio si per focum aliquem G ducatur rectam; utrinque 'iam
ad ellipsin terminatarea sit tertia proportio ali να-
id i Mallelam. IO, It Ducantur enim ad puncti , ae N tam gentes Τ,Ns, .venientes cum axe Aa in punctis , Sc , cumque diametro KL in punctis X in n. Tum ex iisdem punctis M. N demittantur in diametitum KL ordina- Et quoniam, ut paulo ante vidimus, Α est ad Gin, ut CT ad Gu erit quoque, ut
CA:ad - , ita CX ad eandem M su ira u aequales erunt interis. Quintique eadem ratione etiam CZ ipsi in aequalis
comperiatur, erit tota XZ aequalis axi AB. Quia autem tangens MX occurrit dia metro Et in puncto X, ex puncto conta, Ausi ducta est ad eandem diametrum ordia nata MO; erit, ut CX ad K, ita C ad CO, duplicando terminos omnem, erit quoque,
rea recta MN , ducta per focum G in utri que ad ellipsim terminata, erit tertia proportionalis post axem AB., ct di metrum ipsi MN parallelam.
93쪽
so Ec Tro Nu 3 cor: IcARuM H , . si per inmi ni eum, etiam per utrumqu, zz ducantur rectae duae MN SQ , utrinque adet a: ellipsim terminatae eae sint inter se,ut quadra-Fio. i. i di/mςtrorum, quae ipsis sunt parallelae. Quum enim MN sit tertia proportionalis post axem AB, Sc diametrum KL, ipsi MN parallelam a erit L quadratum miliae m.
Etangulo ex Ban MN . Et eadem ratione , quia PQ est tertia proportionalis post axem ΑΒ , diametrum EF , ipsi PQ2quidista
tema erit EF quadratum aequale rectangulo AB in PQ. Inde autem erit , ut L quadratuni ad F quadratum , ita rectangulum ex AB in MN ad rectangulum ex AB in P Sed, ob communem altitudinem AB rectangulum ex
AB in MN est ad rectangulum ex AB in PQ, ut MN ad PQ . Quare erit ex aequali, ut MN ad PQ, iis L quadratum ad EF qua
Quum igitur , ex superius ostensis , re αεiangula, quae fiunt ex segmentis duarum secantium, sint inter se, ut quadrata ex conjugatis earum diametrorum, ad quas secantes iuiae 'elut ordinatae reseruntur xerunt nune illa eadem rectangula, ut earundem diametrorum ordinatae illae, quae transirem uti eos xiv iv. mimiique hanc quoque proprietatem - vi nolumus fiunt; committere, quod si recta XZma νυν is ellipsim contingat in M, ducta ex focorum m. altero G ad punctum contactus M recta GM, 'io.qa huic per vertiees axis parallelae agantur AX, BZ , cum tangente convenientes a quod in
94쪽
Extendatur enim tangens X, usque donec conveniat cum axe AB in pundi T. Et ut patri stipemus ostensum est , A erit
ad M, ut est CT ad G Sed ducta C ipsi GM parallela, CT est ad G , ut C ad GM. Igitur erit ox aequali, ut CA ad Gin, ita CLeandem GM: propterea CL ipsi Amitalis erit. Jam ob tangentem T, Crest ad A, ut C ad CN.Qtiare convertendo erit,ut CT ad AT , ita C , sive CL ad AN permutando, ut CT ad CL,ita AT ad AN . Sed CT - ad L, ut Arad A X. Et igitur ex aequi erit, ut AT ad AX, iis AT ad ΑN: proi
eque Axipsi AN aequalis erit Erigantur deinde ex ininctis A, SAE perpemseula Ai, ΒΚ . Et quoniam ineatim,ssa ratione , quam habet Al ad P, est etiam BK ad K perit ex a quali, ut A ad ML ita BK ad K permutando, ut Al ad ΒΚ, itam ad c Sed AI es ad BD ut AcadBZ;S MI est ad c ut ΑN ad N. Quare erit rursus ex aequali, ut AX ad Britis A ad BN , propterea quemadmodum
95쪽
rerum inimis proprietate Aperiale ostendamur
, L. Raecedenti capite ostensi lane I fucorum psi proprietate ναμπρ π βω, hoc est, eae quae obtinent in quolibet
ellipsis puncto knunc eas ostendemus , quae Decisis sunt , ad illud dumtaxat punis
clum pertinent, quod conitingitur cum altero Deorum per rectam laxi perpendicularent.
Sit igitur AB axis major ellipsis , sin Fio, 3 que etiam G, H mei ipsius. Ex socorum altero G perpendicularis ad axen, erigatur GD, ellipsi occurrens in E. Tum ad punctum B ducatur tangentes T cum eodem ase
Ac primo quidem ostendemus, quod erem dis ex verticibus axis A , Sta ad tangentem .usque perpendicularibus AX, BZ, ea sine aequales portionibus Aa, BG, abscissis ex o A per focum G. . dam enim rectae Ax, BZ parallela sum ipsi EG Quare eaedem. ex ostensis, aequale, esse debent iis portioni:bus, in quas divid;tur axis per ordinatam, demissam ex puncto . Sed ordinata ista est ipsa EG . Itaque rectae AX aequales esse debent portionibus AG, BG.
96쪽
gentes duae per ea, quae superius ostensilunt, secabitur angulus AGE hilariani per re ctam GX inde, quum angulus AGE sit re .ctus erit shmi recto aequalis , tam angulus
AG , quam angulus AXGL consequenter duae AX , AG aequales erunt inter se Simili ratione . quoniam ΒΖ, ΕΖ sunt tangentes duae, secabitur angulus 'GE'inmmam per rectam Gn. vides, quum angulus BGE sit rectui erit semirecto aequalis, tam angulus BGri, quam angulus BZω, atque
adeo duae BZ, BG aequales erunt inter se. II. Hinc autem Uesdemus fecundo loco, Lquod si ex alio ellipsis punctora ducatur
axem AB ordinata MN , quae conveniat, tam νοννιν-
eum tingente, quam cum ellipsi ad partem phr attenui in punctis Si rectangulum ' μ'εῖ'MRo sit aequale quadrato, quod fit exinteriecta axis portione GN. Nam . per superius ostensa , rectangulum R est ad quadratum tangentis ER,
ut est quadratum ex arce conjugato ad qua dratum ex coniugata diametri , quae trans per punctum D sed in hac eadem ratione est etiam quadratum tangentis X ad quadratum tangentis c. Quare rit exaequali , ut rectangulum Ro ad ER qu dratum, ita Ax quadratum ad Ex quadra
Jam , permutando, rectangulum Roerit ad A quadratum , ut est E quadr4- tum ad EX quadratum . Sed propter paralle
97쪽
inatum . Quare erit rursus ex aequali , ut o Hangulum M RO ad A X quadratum, ita GNquadratum ad AG quadratum Se propterea, quemadmodum aequali suiu quadrata duo
LX, AG iis quoque erit rectangulum ΜΕ ii, qu lo quadrato, quod sit ex N. III. Ainire hincfequitur tertio, quod sint 2 'iungatur punctum M eum foco si mr re dum M Meest semper aequatiar a: Nit, ubirio AS cumque sumptum fuerit punctum M. Iam enim rectangulum RO ostensum est aequale quadrato, quod sit ex N. Quare, appotito communi quadrato ex MN erit reis Etangulum in una cum MN qua doto quale duobus quadratis N MN.
Quonis autem Mo est sem bisaium in puncto μ; erit rectanguliun in una cum MN quadrato aequale quadrato ex NR.
Et quoniam angulus GNM est rectus erunt quadrata duo Gm MN aequalia quadrato ex ipsam G . Hinc erit R quadratum aequatuquadrato e MG propterea duae R., MG aequales erunt inter se. Hugus autem proprietatis ope, datis axe.. arae, Me cuilibet aes abscisi corref -- . Sit enim axis AB, sntque G, vi socia Et oporteat invenire ordinatam , quae correspondet abscissae AN. Erigantur ex punctis A in B perpendiculares X, BZ aequales ipsis G, BG Tum iuncti Z erigatur ex puncto N perpendicularia alteo NIV, ei occurrens in M. D
98쪽
Denique centro G , Sc litervallo ipsius NR describatur arcus, iidem NR secans invi erit MN ordim ' esiis. . .
1 axis em AB , perpendieularis ad ipsum o MMn. axem V . Et queinadmodum perpendicula δ. - νὰ.ι- rem istam TU ellipsis directricem deinceps appellabimiis, sic relate ad eam plurei elii Fiz.ήή psi proprietate competant. . 'Nimirum primo , demissa ad directrIdem perpendiculari ED, erit , ut EF ad G it
A ad G . Nam, ob parallesogramnium FG EF, GVi ter se sint aequalas. Quaerit, ut EF ad m, iis Grada; Sed, obtriangula aequiangula GD TAX G est ad EG , ut Arad A X. Et, ob aeqtiales An, AG . ut est T ad Ac, ita est Arad AG Quare eritin qu lx, ut EF ad EG, ita AT
Sectindo , demissa ex alio quovis ellipsis Uinin Q d, ndem directricem perpendis
lari s erit, utras ad MG, ita Arad AG.
Nam, dum ad axem ordinata MN, eaque producta ad tangentem usque in puncto R; erit, ut N ad N R, ita Arad AX, sive AG. Sed N est ad N , ut M ad G vitium sint aequales , tam duae N My quam duae
NM, G. Igitur erit e aequali utis ad M iis AT ad AG. Totii, id verum erit etiam relate ad alium M verticem B; quandoquidem erit,ut Brad BG, ita Arad AG. Nam ob triniaguin
99쪽
ostensis, aequales sunt inter se clani duae AMAG, quam duae BZ , BG uaretri quoquo ma ad BG , ita Arad AG. Quarto , si duo in ellipsi capiantur pun. 'am, iis perpendiculares ad directricem demittantur S, PQ, erit,
m ad P ita Gadia Nam in eadem ratione, quam habet AT ad AG , est, rarum ad ad G , quam PQ ad PG. Igitur etrix ex aequali, ut Myad G, ita PQ ad PG, stpermutando erit eti m , uti ad PQ, it MG ad BG. Denique , si ex iisdem punctis, , iducantur ad directricem aliae duae rectae I, PD, quae inter se sint parallelae erit quoques
est ad PQ ut est G ad PG Igitur erit exaequali, ut Lad PL, ita Gad PG. I, .. Recta igit tir, quae ex quolibet ellipsi puncto Perpendiculariter demittitur ad dire- jure ctricem, est ad rectani, quae ex eodem puncto. M ducitur ad focum G, in eadem illa ratibne ,--,. nais quam habet Arad AG . Sed Arca propinet 'Fio.M. ramisam M. ν- t,n tu digam. Primum est , quos ratio , quam habet
AT ad AG , sit majoris ad minui adeo nempe , ut perpendicularis demissa ad directricem. sit semper major recta , quae ducitur ad fiscumG.Ο tangentem enim ET,ut est CT ad CA,
i ta est C, ad C. . inpre convertendo erit
liuoque , ut CT ad T iis se ad AG Sed.
100쪽
CT major est, quam A. Et situr Aretiam in or erit , quam AG Alterum est , quod eadem illa ratio sit aequalis ei sum habe axis AB ad distat
tiam , quae inter utrumque ocum existit. Nam . ob tangentem Er, ut est CT ad A. ita est CA ad G . Quare , dividendo erit , ut Arad x, ita AG ad G R permutando erit quoque , ut A ad G , ita C ad .
CG. Jam vero A est ad CG, ut AB ad c H. Et igitur ex quali Arerit ad AG,ut est AB ad GH. VI. Ad directilem ellipsis alia et mir
prietas pertitie valde singularis. Sed ad eam Z- ostendendam, fleνnendum est prius, velut Lmma, sequens theorema, quod si ad aliquod elli. Usi
veniens cum axe AB in puncto S in ex puncto contactus Hemittatur ad eundem axem
ordinata in quod, inquam, CG sit ad m, ut est ad Crumimeniam remET contingat ellipsim, ex puncto contactus Eductast ad axem
ordinata Εως erit ex superius ostensis , ut CT ad x, ita A ad Gri proindeque rectangulum ex CT CG aequale erit quadra . to quod fit ex CA. Similiter, quoniam rectam S est tangens
ellipsis, e puncto contactus M ducta est ad axem ordinata σέ per ea, quae superius ostensa sunt , erit , ut CS ad C A, ita C ad . Quare rectangulium ex sanc mu le erit quadrato , quod fit ex A. Edem igitur CA quadrato aequale est, , m. v. G tam