장음표시 사용
81쪽
INua eonico sectiones dantur puncta non- nunc, ad *m puncta ipsarum sectionum quum reseruntur plures alias , eaque non meimiendas proprietates sortiuntur aeui cta ista vocavit Apollonius puncta comparationum . Sed , ob speciale ipsorii accidens, quod conicas sectiones usibus opticis inservientes nobis ostendit, eadem puncta foci , sive umbilici a Recentioribus dicuntur iro. prietates ergo, quae conicis sectionibus competunt , relate ad focos , seu umbilicos , hoc ubio ostendendae nobis emist.
Focorum elli P proprietates generales senduntur.
s...,-- Ita illa puncta axis majoris ,: I. .. quibus ordinatae correspoπdentes fumisem pa-; z. .Prometri eis idem axis adaequast. ..αι- Itia , si AB sit axis major ellipsis , MADzzz parameter ejus , capianturque in axe illo ABFio. 36 duo puncta G, H adeo quidem, ut ordin
82쪽
is EG, FH iunctis illis correspondentes , admittent semissem ipsius AD; dicentur put Eta G, vi mei. sve umbilici ipsius ellipsis. Unde lique focoso M aequaliter distare,iam a centro cli ipsis C,quam ab axis vertieibus A in M. Nam, quemadmodum aequa lia sunt quadrata EG, FH cita quoque sequa-lla erunt rectangula AGM AH , quae ii quadratis proportione correspondent. Hinc iubducendo aequalia ista rectangula
AGB, AHB ex aequalibus quadratis A, B,
remanebit quadratum ex CG aequale quadra to ex CH: de propterea aequales erunt inter se, tam duae CG, CH, quam duce AG BH. II. Ex ipsa autem focorum definitione liquet, rectangulum sub axis portionibus, per Farorum e focorum alterum abscissis , quadrantem figurae ejusdem axis adaequare Maneant enim omnia, iit supra. Dico tam rectangulum AGB, quam
rectangulum AH aequale esse quarta parti figurae axis AB, quae constituitur per Gctangulum DAB. Nam , propter ellipsim, E quadratum est ad tectangulum AGB, ut AD ad AB sive
etiam , ut AD quadratum ad rectangulum DA . Sed G quadratum est quarta pars quadrati, quod fit ex AD; quum ex constructione EG semissem adaeque ipsius AD. Qua re etiam rectangulum A B quarta pars erit reAinguli DAB Eadem ratione, propter ellipsim, FH
quadratum est ad rectangulum AH , ut AD ad AB sive etiam ut AD quadratum ad remosulum AB . Sed FH quadratii est
83쪽
ECTIO NuM CONICARUM quarta inire quadrati, quod sit ex AD, quum ex onstructione FH semissem adaeque ipsius A D. Quare etiam rectanguium Am quarta pars erit rectanguli DAB. 1ix III. Ducantur nunc ad vertices M. B., tangentes AX,BZ, quae conveniant cum tan-
..et δ' at Deile Vis sendere , quod si ex focorunt. Fic.etet altero G ducantur rectae X angulus Z. sub ipsis comprehensus, perpetu rectus esse debeat , ubicunquessuerit punctum
Nam rectangulum ex AX iniri, velut aequale quadrato , quod sit ex dimidio axis conjugati adpequat quartam partem figura: axis AB Sed eiusdem figurae quadranti quale est quoqtie rectangulum AG . Quare erit tectangulum ex AX in Z pquale rectangulo AGB: propterea erit, ut Q ad m, ita ad 3Z. Hinc duo triangula rectangula XAG,
GBZ aequi angula erunt; adeoque erit angulus AX G aequalis angulo BGZ. Et,apposito communi AGX, erunt etiam duo anguli AXG, AG aequales duobus angulis BGM, AGX, Sed priores duo unum rectum adaequant. Quare uni recto pariter aequales erunt posteriores voci consequenter ligulus GAetlam rectus erit. iv IV. adem autem ratione uendemus, rectum esse angulum XHZ, quem continent rectae HX HZ,ductae ex foco altero lina e
84쪽
contactus M recta M, haec mrpendicularis stud tangentum XZ si enim fieri potest . sit ΚΘ perpendicularis,d xx. Et quoniamiectus est , tam angulus XGZ, quali angulus XHZ semicirculus, descriptus super XZ, velut diametro transibit per focos G in Unde orit angulus HGZ aequalis angulo HXZ. Sed angulus
HG aequalis est angulo A G . Quare duo ansuli 4 G MXZ aequale erunt inter sesae propterea, ob triangula aequiangula AGX, X, erit, ut βίη ad X, iis G ad XX. Simili ratione ostendemus, BZ esse ad oz, ut est, ad cZ. Unde quia pro
pter triangula equiangula G , ΗΖ GX est ad X, ut id Z ad ΚΖ erit ex aequali, ut A X ad on, ita BZ ad OZ in pernati. tando erit quoque , ut A ad ης, iis ΟΝ ad Z. Jam per e , quae superius ostensa sunt, in eadem ratione, qua est tangens Acad angentem MN, est eti m tangens BZ ad tangentcm Z . Quare erit ex aequali, ut X ad X, ita BZ ad Zarac permutando erit etiam, ut A X ad BZ, ita X ad Z.
Quum igitur in eadem ratiothe rediarum
ΑX insit, tam OK ad Z , quam calM: erit rursus ex aequali , ut X ad Z, ita X ad Z . Unde componendo erit , ut
XZ ad OZ,ita XZ ad Z propterea duaeon, Mnaequales erunt inter e Guyd fieri
85쪽
M sECTIONUM CONICARUM .mU - NH, quae ex puncto contactus M ad foeos in T. ... clinantur , aequales cum tangente XZ angu-- M iri constituere , hoc est angulum MXq-lem esse angulo HMZ. Quum enim rectus sit , tam angulus K , quam angulo KMG semicireulusin scriptus super in , velut diametro, transbi per puncta G, i proindeque erit angulus GMX aequalis angulo GKX.
Eadem ratione, quia rectus est uterque
angulorum ΚHZ ΚMx semicirculus , dein scriptus super ΚΖ , velut diametro tonsibit
per puncta , m. Quare erit anguius HMZ aequalis angulo HG. Quemadmodum igitur Mitulo GKx qualis est angulus GMx. ita angulo HKZaequalis est angulus HM Z . Sed duo anguli GΚς HK inter se sunt aequalem. Quare etiam inter se arquale aerunt m anguli CMX, HM Z. vi. VI. Inde vero deducita praeterea,easdem M. um .i recto G. Id continere reditulum,quod: et , quartam partem adaequa figurae bunetri,
I T transeuntis per punctum contactus M . . -- Nam , ex superius ostenss, si ex centro ellipsis ad puncta X, Z intelligantur duinctae tecta CX,CZ, eae exhibebunt nobis duas ellipsis diametros conjugatas.Quare rectanguis lum XM Z aequale erit quadrato , quod fit ex dimidio conjugatae illius diamςtri, qu p
tinet ad punctum M. ym quadratim istud adaequat quartam partem figura ejusdem diametri. Unde coi sistit, rectangulum H aequale esse qua-
86쪽
Olim si utique ostendi possit , rectan. gulvin M aequale esse rectangui XMn in isti ostendemus in hunc modum. Quoniam rectus est uterque angulo tum ΚGx ΚMx, erunt alii a liguli
M, GX duobus rectis aequale et proin, deque , quum duobus rectis sint etiam aequales anguli duo GKM, MKri ablato comiti uis iii GKM , remanebit Migulus G Μ qu lis angulo M ΚΖ.Jam ob circulum transeuntem per qua
erunt L propterea , quum sit , ut x ad MG ita H ad Z erit rectangulum LMH aequale rectangulo XM Z. VII. Exinde coli guu pariter , 3sdem vis.
ax AB . Ducantur enim uni earum , veluti risia sex.MG . parallela: CR, Hs . Tum jungantur rς ς λ',
ctae AR, HR, BR. Et quoniam eidein angulo G MX aequalis est , tum angulus M . quam angulus HS M, erunt duo anguli HMS, HS M aequales inter se: propterea triangulum Hs i sceles erit. Sed basis ejus S bisecta est per
re tam HR; quum sit, ut RMU'S. ita CG ad CH Quare erit is perpendicularis ad ipsim s.
Hine , ob Irculum, transeuntem perquatuor pulicta A, H . R . . erit angulua
87쪽
ARX aequalis angulo AHv. Et similiter, ob circulo, trans tantem per puncta quatuor B M R et , erit anauius BRZ qualiu angulo si Z . Unde angulus ARB aequalis eris
ansulo XHZ atque adeo rectus erit. Id quum ita sit, semicirculus descriptus super A , velut diametro transibit per Punctum': propterea recta CR ipsi A , vel CB aequalis erit. Sed, ob rectam GH bisectam
in C , est G dupla ipsius CL st H dupla ipsus I, suci R. ltaque summa duarum Na, H dupla erit totius Riaxque adeo
lentialis axi AB. viii. IlI Hinc ero alia nobis suborisa rotist ia describςπd euit iis plano, datis focis uis ML longitudis axis majoris . Sit enim AB axis iam ...., major ellipsi , sintque puncta G, M quia ,- Muu des, socios, umbilici . Oportet , in subjector 8 37 plano ellipsim describere.
Capiatur lum eiusdem lonauudinis eum axe AB, extrema eius sociis, ' H inducatur filum circa focos ea lege . ut portiones ejus maneant continuo tensae . Dico
curvam, quae per stilum in subjecto plano dς- scribitur, esse ellipsim quaesitam Jam enim ex ipsa curvae descriptioneas. ruet , eius naturam hanc esse, ut summa r iarum, quae ex aliquo ejus puncto ducuntur ad puncti G, H, adaeque longitudia nem fili . se constriictione filum est ejus
dem longitudinis cum axe majore M . Quare eadem summa rectarum aequalis erit axi AB;
88쪽
MAE N et A. Verspicuum est autem , quod si foet G. H accedant ad punctum C, quod bisecat
axem AB , descripta curva sit circuli circumis serentia. Unde sequitur, circulum est deraripsi, ueluti ei sim, cnm foci corum cum ipse centro. IX. Si mine rem et assim tangens x. ellipsis, eonveniens cum axe AB in puncto . I 2 et vitigatur super ea perpendicularis Mo ei. M. adem axi occurrens in o It circa perpens 1 .- ,
calarem istam plura licebit ostendere lina
Nimirum primo , quod ea bilecet angu- ω vων a
ium UMH . Nam rectae G, A constituunt cum rangento angulos aequales . Sed aequales 3ψ'i' quoque sunt anguli, quos cum eadem at
gente constituit perpendicularis O . Quam erit angulus GMo aequalis angulo HMO secundo, quod rectarim sit harmoniis lecta in punctis G o . Nam rectae G,
M H , ob aequales angulo , quos constituunt cum tangente T , sunt, ut perpendicula
quae ex punctis G, M ad tangentem demittuntur , sive etiam, ut rectae G, TH . Sed, ob angulum GMH bisectum per rectam O, eaedem sunt quoque, ut portiones GO, HO. igitur erit ex aequali,ut m ad m,ioco ad Hor&propterea rectangulum, quod se ex tota TH in portionem intermediam Go, quale erit rectangulo sub portionibus extre-rnisTG. HO. Terti quod tres tectae Ο, CG cxsnt continue proportionales Quum enim re- Et inguIum ex TH in Gosit aequale rectangulo ex man HO Lerit, ut 6 ad G it
89쪽
M SECTIONUM CONICARUM HO ad Cou Ad componendo, ut summa dua-- tum H , G ad DP, ita GH ad Go in capietido antecedentium dimidia , ut CT ad m, ita CG ad G pae denique convertendo,
Quarto, quod si demittatur ad axem --dinare MN , data sit ratio, quam habet Coad CN, hoe est aeqtialis duplicatae ejus quain
habet C ad A . Quum enim tres rectae CT , CG, CD sint continue proportionales δ' erit CG quadratuiti aeqtiale rectangulo Co. Sed ex superius os elisis, CA quadratum est aequale rectangulo a CN . Qtiare erit, ut sectangulum et Co ad rectangulum TC , sive etiam ut m ad CN, ita CG quadratum ad
in quadratum. Denique , quod data sit etiam ratio, quam habet C ad Noe, hoc est aequalis ei. quam habet CG quadratum ad rectangulum AGBJam enim C est ad CN,ut est aquadratum ad C quadratum . Sed , ex superliis ostensis , CN est ad No, ut axis AB ad par metrum eius A inisve etiam, ut AB quadra .
tum ad rectangulum os sis demum , ut CA quadratum ad rem iamlim AGB . Quare
ex aequo ordinando erit, ut Co ad Noe, ita quadratum ad restanguliim AGB EJ Ἀ-- Meretur autem , ut speciatim ostenda cis bico rsique ν proprietas nimirum , quod si exta ιι -- punes, stipe aliquam ipsartim G , -
Σ-- οῦ perpendicularis demittatur OR, abscissa pom --, omos sit aequalis dimidio funere axis Fio 39 majoris Au, Nec sine dissicile erit eam ostendere' Nam
90쪽
eapiendo antem nenim dimidia erit quoque . iit A ad in ira CT ad TH4 ac deniqua permutando erit, ut A ad T , ita Had TH. Demittatur iam ex puncto H super tangentem perpendicularis Hu. Et M H ad Herit In ratione compositaeκ HadHL, Rex HL ad Tre. Jam vero H est ad HL , veMO ad R. Itemque H est ad m, ut M ad O sive etiam , ut No ad Mo . Quare
erit H ad Id in ratione composita ex Noad Moe, Se ex o ad Ra atque adeo in simplici ratione , quam habe N ad R.
Quum igitur C sit ad Cr, ut H ad 6 in insit ad in ulmo ad Ru erit ex aequali, ut A ad T ita No ad RSoet C est ad CT, ut CN ad A . Quare rursinio aequali erit ut CN ad A, ita No alMR; permutando erit pariter, ut CN ad
Noe, ita C ad M. Est autem ex ostensis. ut CN ad Noe, ita AB ad AD. Et igitur exaequali rursus erit, ut AB ad AD , ita C ad MR proindeque, sicut C semissis est ipsius ΑΒ, ita eriti semissis ipsius A D.