장음표시 사용
71쪽
sECTIO NuM CONICA RuM linea duci possit ex eodem vertice A.
Si fieri potest, ducatur rem alia AI, in qua sumpto puncto quovis P asatur per illud recta PN , ipsi AH parallela , conveniens cum parabola in puncto M . Et quonia i PN quadratum majus est MN quadrato , habebit PQquadratum ad N quadratum majorem
rationem , quam MN quadratum ad idem AN quadratum. Sed propter parabolam, MN quadratum est aequale rectangulo DAN . Et rectangulum A est ad AN quadratum me
AD ad AN . Quare P quadratum ad AN quadratum habebit quoque majorem rati nem, quam AD ad AN Fiat ergo, ut PN quadratum ad AN
quadratum , ita AD ad Ac, quae minor erit, quam AN . Tum per punctum K ducatur re-A RI. eidem AH parallela convenien cum parahola in puncto L. Et quoniam N quadratum est ad AN quadratum , ut IK quadratum ad AK quadratum, erit ex aequali,ut AD ad AK, ita I quadratum ad AK quadratum.
Sed AD est ad AK ut rectangulum DAΚ ad AK quadratum ive etiam , uti quadraium ad AK quadratum . Quare erit riirsus oaequali, ut LΚ quadratum ad AK quadratum, ita IK quadratum ad idem A quadratum Icpropterea erit LΚ quadratum eqtiale quadra-33. ex IK. Quod fieri non potest.
Ps m. Nu ibet ergo tecta linea, quae ex
δε ιαι puncto contactus ducitur infra tangentem, ποῦ , o necesse est , ut primo secet parabolam , tum cadat si locum, tangente. parabola com
72쪽
GE MAE N T Gaditum nobis aperient ad ostendendas proprietates omnes, quae parabolae tangentibus
Primum est, quod ad unum , idemque punctum parabolae nonnisi usica tangens duci possit. Nam , si duci possent tangentes duae 3 jam una caderet in locum , parabola in tangente altera comprehensum . Quod quidem ostensum est fieri non posse.
Alterum est, quod frecta sim istis-gat paraboiam is puniis aliqui, ea, Ma e parauela Θῶκatis inires diametri , quae pertia
xet ad illud punuum . Nam aliter, ducta ex eo puncto recta a Iia, ordinatis iis parallela , foret asta quoque tangens parabolae Patque adeo ad unum , idemque piinctum parabolae duae tan- sentes duci possent.Quod fieri nequit.
III. His jactis principiis , facile modo erit ,1. eam primum tangenti proprietatem osten cre . .: ...u'suae ei competit ubi alicui diametra Occurrit. Tangens igitur ET, ducta ad punctum
Ε, verticem diametri re, conveniat eum dia ---tu. metro altera AB in punctore memittatur ad Fio 33 diametrum AB ordinata EG. Et dico, porti nes duas AT, AG aequales esse inter c. Ducatur enim ad diametrum alteram EF ordinata ΑΟ . Et quoniam recta Ercontingit parabolam in puncto D vertice diametri EF;
erit E ipsi A parallela sed diametri AB, EF sunt itidem aequidistantes. Quare o parallelogrammum erit Quum ergo To parallelogrammum sit;latera ejus opposita AT, E aequalia erunt inter se Sediere superius ostensis, ΕΟ est aequalis ipsi
73쪽
iv IV. Sed faciteritioque erit conterfamis V j proprietatis Uendere. Nimirum, quod re- tu . - et sit tangens parabolae, si demissa ad dia- .. metrum AB ordinata EG , aequales fuerint Fro ., portiones duae AT, AG. Ducatur enim ad diametruma ordinata AO. Et,ex superius ostensis,erit AG aequalis m. Sed is AG aequalis ponitur An Quare etiam ATeidem Eo aequalis erit. Quum igitur duae AT E sint aequa
Iem, S liarallelae Derunt etiam aequales, ia-rallela: duae ΕΤ, AO, quae illas ad easdem par tecconjungunt. Unde quum AO M ordinata diametri EF, erita tangens par bolae Nun eat wdem proprietate λωνι, quae tamentibus palminae Mi mutuo . ., V occurrent Hu , competunt. Hunc in finem ad --- .. duo quaelibet parabolae puncta A in Ddim V. 'caritur tangentes duae X, EX, quae sibi
ς' mutuo occurrant in X extendantur eaeis 'inio S , usque donec conveniant cum diametris
AB EF in punctis L. T. Primo igitur utraque tangens bifariam secabitur in puncto X. Ducta quidem ad diametrum AB ordinata EG, erunt duae AT, AG miuules inter se . sed propter parallel grammum L, aequales quoque sunt duae AG a L. Quare erit Aripsi EL pariter
qualisci consequenter aequalemerunt , tam duae AX LX, quam duae X. EX. Secutido tangentes duae X aceat dem rationem habebunt cum ordinatis EG,
74쪽
id ET . Sed AL est ad ET , ut EG ad Ao. Igitur erit exaequali, ut AX ad m, ita m. AO. Denique tangentes duae AX, Exerunt
In subduplicata ratione parametrorum, quae reseruntur ad diametros AB AER. Jam enim, per superius ostensa , in hac ratione sunt oris dinatae EG , AO . Sed Acest ad En, ut EG ad AO . Quare in eadem subduplicata ratione earum parametrorum erunt etiam tangem. tes duae AX, Ex.
VL Speciatim reiste ad axem inpetit in rem para, M sequens proprietas mimi H amo, quod si AB sit axis parabota AD parameter ejus in ET aliqua tangens ducan pristo qna
turque ex puncto contactus rectae duae et 'na. EG , ΕΗ,Τina perpendicularis ad axem, Malis tera perpendicularis ad tangentem quod, in τις 33 quam portio axis GH sit aequalis dimidio parametri AD. si enim tangens o conveniat cum arce
' AB in punitore; erit , ex superius ostenss. AG aequalis ipsi AT atque adeo semiis totius G. Jam vero EG quadratum est aequale; tam rectangulo AG propter parabolam quam rectangulo GH,o triangulum ΕΗ.rectangulum in E . Quare, quum duo recta gulam AG , GH inter se sint aequalic erit,
75쪽
, ramodo est , ut quid parabola secantibus acetara': dat, ostendamus Hunc in finem prauristea s i-- dum est sequens theorema , quod si AB M alis οῦ qua parabolae diameter, cujus AD sit parame, ter . M una ex ejus ordinatis , utrinque ad parabolam terminata , ducaturque recta EF, diametro parallela , quae conveniat cui
Neque veto dissicile erit theorema istulostendere . Nam , demussa ad diametrum AB ordinata EG erit, tam MN quadratum aequa
is rectingulo DAN, quam EG sive NH quadratum aequale rectangulo DAG . Unde eruquoque disserentia quadratorum MN, NH,- qualis disserentiae rectangulorum 1 AN, MAG. Sed disseretitia quadratorum MN,NHest aequalis rectangulo Ho; differensa rectangulorum Am, DA est aequalis r ctangulo , quod fit ex AD nim, sive EH. Quare erit rediangulum H aequale rein diangulo,quod sub ipsis AD, in continetur.
in ..... iii Hinc utem sequitur , quod sim - - ., ira parabblam bis ducantur recta lineae, quae et m* αι γ rcentu rectanguis suae fiunt exi i , -- Iegmentis inarum , sint, ut parametri earum . iametrorum, is oras rectae ilia velut ordia
Sint enim AB in duae quaevis paraboche diametrici sitque o una ex ordinatis diametri AM, Si una ex ordinatis diametri RS; onveniant autem inter se duae ista ordinatae in puncto Hi si AD parameter diiune. ori
76쪽
ut est parameter AD ad parametrum RΚ. Ducatur namque per punctum H diameter tertia in quae utrique ipsarunt ΑΗ, RS parallela erit. Et quoniam diameter ista EF secat Mo, ordinatam diametri AB,in puncto Ha erit, ex ostensis , rectangulum Hoaequale rectangulo ex AD in Elin Quumque eadem victet pariter PQ, ordinatum diam tri RS , in putabo H; erit quoque rectangu aum PH aequale rectangulo ex Rcin ΕΗ.Hine erit , ut rectangulum H ad re 'ctangulum PHi, ita rectangulum exin iii TH ad tecta ligulum ex Rcinain. Sed , ob communem altitudinem FH, rectangulum ex
AD in ΕΗ est ad rectangulum ex R in FH, luti est AD ad Rς. Quare erit ex aequalia ut AD ad Κ, ita tectangulum H ad .rectangulum PH UIX. Fieri vero potest, ut una exseca πι-δus tangens e dat nimirum, quum puncta φ, ν duo sectionis coeunt in unum . In isto casu:
rectangulum sub ejus segmentis vertetur in am-
quadratum ipsius tangentis . Unde inter - ., adratum istud , rectangulum , sub alterius 2 secantis portionii in contentum,eadem adhuc ratio obtinebit.
Quin etiam i potest δε tauentem utiquescam . t quum id contingit, ambo
quidem rectangula , sub secantium portioni-hus contenta , abibunt in quadrata ipsarum tangentium . Ex quo fit, ut inter quadrata,
qua cit uentibus fiunt, eadem pariter ratio
77쪽
ilo debeat locum habere. Et istud quidem jam paulo ante speciall-Fic.3a ter a nobis ostensum est. Vidimus enim, quod si fuerint tangentes duae AX,ΕX, sibi mutuo Gccurrentes in X, quadrata ipsarum eandein habeant rationem inter se , quam parametri
diametrorum AB AER. Ad illud vero quod attinet , nec etiam difficiis erit , veritatem erus speciatim ostendere x. X. Sit enim EH tangens , Mo secans; Ii zz I sique etiam EF diameter, quae pertinet aa--αm νε punctum contactus E . in diameter , ad Hi zzz . quam recta M velut ordinata resertur . ' Ostendendum est , ΕΗ quadratum esse adr
m. ij tangulum HO, ut est parameter diametrio ad parametrum diametri RS Ducatur ex puncto H recta HL, diam
tris parallela , quae parabola occurrat in L. Tum ex puncto L demittatur ad diametrum EF ord nata Lx. Et quoniam L secat Mo, , ordinatam diametri AB in puncto H; erit,ex ostensii, rectangulum H aequale rectangulo ex HL, sive in in parametrum diam tri RS. Jam vero, propter parabolam LM, sivem uadratum est aequale rectandulo, qui si
fit ex eadem ΕΚ in parametrum ciametri TR. Quare erit , ut FH quadratum ad reqanguintum H , ita parameter diametri EF adi rametrum diametri RS. XI. XI. Atque hinc modo alia rationem. ostendi potest, quod si dare parabolae tangen-ot et e re aes sibi mutuo crucinant , eae t iste δε η subduplicata ratione paramet rini, pertinem: itum
78쪽
gentes, quae sibi invicem occurrant in puncto in Ducantur ex punctis contactus A , S: Ediametri AB EF . Dico , esse AH ad E iii subduplicata ratione parametrorum, quae r strantur ad dianimos AB, EF. Ducatur namque secans quaevis Mo,
quae transeat per intrictum H , sitque M dia meto, ad quain ipsa Mo velut ordinata s sertur . Et quoniam AH est tangens, E HOest secans cerit AH quadratum ad rectant dum H , ut est parameter diametri AB adorametrum diametri RS. Similiter , quia Eri est tangens , mo est secans Verit rectangulum H ad Hquadratum , ut est parameter diametri RS ad tiarametrum diametri EF . Quare ex inquo omdinando eris, ut AH qua itum ad minii diatum , ita parameter diametri AB ad par niorum diametri EU Sc propterea tangentes duae AH TH erunt in subduplicata ratione
XII. et lis autem , quae hactenus lI. ostensa sunt prono alveo fluunt sequentia et zz
cister, O MM-Haκt inre se, tam raventer. cum secantes; rectangula, sub secant umidimentis contenta, sin proportisnalia quadrati , - σαι emi istam Nam
79쪽
, SECTIONUM CONICA Rura Nam diametri, ad quas duae secantes velut ordinatae reseruntur, sunt illa eaedem quin pertinent ad pulim contactus . Quare in eadem illa ratione, quam habent inter se
quadrata tangentium erunt quoque rectam' gula, quae sub secantium segmentis contu
Alterum theorema est, quod fiduabus secantibus paraboiae paraue fueris binae aliae secantes, O Gaveniant inter se,iam rue,
quam ista, rectavia sub fermentis ilia musat proportionalia rectauulis , quae sub ἄ-
Mentiri rem cotisentur. Nam diametri , ad quas duae posteriores secantes velut ordinatae reseruntur , sunt illae eaedem quae agnoscunt velut suas ordinatas secantes priores . Quare in eadem illa rati
ne quam habent inter se remngula sub sedimentis primarum secantium , erunt quoque restangula sub segmentis aliarum xiii ni Caeterum ostendendum modo etiris i. .,, et, qua raraone proprretarer, quae pertinent a/ι z. - οπροπtes, focantes, an operkoia, eum en να---, psis, vertantur in eas, qua parabolae tanges' ,2 ia, et ibus, ct secantibus competant. Sed satis erit, 2.2Nor mutationem istam in iis tantum ostende-Σz-- re, quae reliquarum omnium sunt basis,&fundamentuli .
Nimirum primo, tam in ellipsi, quam in hyperbola ostensum est, quod si E sit tam
gens, conveniens cum diametro AB in puncto EG sit diametri eius ordinata , CG sit ad A , ut est C A ad Cr. Jam capiendo dictientias anaecedentium ' conseque lium
80쪽
L Em tium , erit quoque, ut AG ad A, Ita AT ad proptereari abeunte in infinitum ce tro C , quemadmodum aequales fiunt duae CA, CT, ita quoque aequales erunt duae AG AT. Deinde, si duae rectae sese mutuo secent,sve in ellipsi , sive in hyperboli; erunta Singula sub segmentis ipsarum , ut quadrata ex conjugatis earum diametrorum, ad quas recti illae velut ordinatae referuntur , coii sequenter in ratione composita ex iisdem diametris, Sciarametris earundem. Jam , abeunte in infinitum gentro, sive
ellipsis , sive hyperbolae, ratio earum diame. trorunt evadit aequalitatis, quum ipsae diametri fiant infinitae longitudinis, ac differentes Inter utuo perdifferentiam finitam. ure restangula,contenta sub segmentis earum rectarum, erunt in sila ratione inrametrorum, pertinentium ad diametros , ad quas eaedem illae rectae 'elut ordinata' rostruntμr. I