장음표시 사용
111쪽
in C, est Madupla ipsius CL, NH dupli
ipsius MI, sive I R. Itaque differentia duarum G,MH dupla erit ipsius CR; atque
viii. VIII. mine ero alia nobis su3Oritur,atis ad . . describendi hyperbolam in plano, datis focis zzz. cum longituὸine axis . Sit enim AB axis hy- perbolae, sintque uiarum, CH ejusdem' ' Mii in laci , sibi umbiliet oportet, in subjedio put si q7 no hyperbolam destribere. Ad alterum corrum H aptetur la HL,quae longior sit axe AB. TumGumpto
salo,cujus longitudo minor sit longitudine re gillae per axem AB alligentur extrema ejus punishis G in L. Circumducatur deinde rein
gulam circa secum H Sc ope stili stratue etiam filum cum ipsi regula , ea lege, ut portiones eius maneant continuo tensae . Dico
curvam, quin per stilum in subiecto plano describitur , esse hyperbolam quaestam
Jam enim ex ipsa curvae descriptioneque , eius naturam hanc esse , ut differentia rectarum , quae ex aliquo ejus puncto ducuntur ad punctam adaeque differentiam, quae inter regulam, silum existit. Sed ex constructione differentia ista aequalis est axi AB. Quare eidem axi AB aequalis quoque erit eadem illa rectarum differentia et Sur Pterea curva deseripta erit hyperbola Perspicuum est autem, praefata ratiocne deseribi tantum hyperbolam , quae transiem punctum A . Sed, si describenda quoqua
esset hyperbola alia quae transit per punctu'
112쪽
m tunc regula quidem aptanda erit ad cuin
G, filum vero oportebit , ut extremit te su Deo H alligetur . Patetque etiam, utriusque hyperbolae eo majorem portionem describi, quo longior assumitur regula. IX. Sit nunc recta T aliqua tangens IX. hyperbolae , conveniens cum axe AB in pun .. cto .Erigatur super ea perpendicularismo, 'teidem axi occurrens in o . Et circo per π ti M. dicularem sam plura licerit Vendere Nimirum primo, quod rectae G. H --- αι constituant cum ea producta versus .an pgulos aequales. Nam rectae G. Id effieiunt x ψ is
aequales angulos cum tangentem . Sed ae quales quoque sunt anguli, quos cum eadem tangente constituit perpendicularis OR .Qua
re erit angulus G M aequalis angulo HMR. Secundo inti od rectavio sit harmonice secta in punctis , G . Nam rectae si,MH ob aequales angulos, quos constituunt eum perpendiculari OR, sunt, ut perpendicula , quae ex punctis G, ω demittuntur ad ipsam OR, sive etiam , ut tectae GO HO. Sed , ob angulum Minbisectum per tangen tem T, eaedem G, H sunt, ut portiones FG, TH. Igitur erit ex aequali,ut G ad H, iram admo in propterea redi Mulum squod sit ex tota H in portionem intermediani TG, aequale erit rectangulo sub porti nibus extremis H, GO Tertio , quod tres rectae Co , CG, CT
sint continue proportionales Quum enim rectangulum ex TH in insit aequale rectan
113쪽
iis summa duarum HO, G adaptim GO;-
capiendo antecedentium dimidia ut CS ad , ita C ad Goiae denique convertendo, ut G ad T ita CO ad G. Quarto, quod si demittatur ad axem ordinata MN , data sit ratio , quam habet Coad CN, hoe est aequalis duplicatae ejus, quam habet C ad A. Quum enim tres rectae CT, CG, Co sint continue proportionales
erit m quadratum' quale rectangulo CO. Sed , ex superius ostenti, CA quadratum est
aequale rectangulo I m. Quare erit, ut rectangulum C ad rediangulum Cm, sive etiam ut C ad m, ita CG quadratum ad in quadratum. Denique, quod data sit etiam ratio,
quam habet C ad N , hoc est aequalia ei, quam habet C quadratum ad rectare iniAGMam enim C est ad Mut est quadratum ad A quadratum . sed , ex superius ostensis , CN est ad Noe, ut axis AB ad parω
metrum ejus Ain; sive etiam, ut AB quadratum ad rectangulum Ada sive demum , ut CA quadratum ad rectangulum AGB . Quare ex aequo ordinando erit, ut O ad No ita
CG quadratum ad rectangulum AGB κ meretur autem, utIte in ostendi. . ... seqVem nimirum, quod si e ccas. puncto Osuper aliquam ipsirum G, Miget perpendicularis demittatur Ox, abscis a por-
rura . . io M sit aequalis dimidio parametri AD.s '' quae defertur ad axem AB. dissicile erit eam, ostendem . Nam
114쪽
Nam rectae G, H, ob aequales angulos. quos constituunt cum tangente T, sunt,ut portiones G, TH quare disserentia rect rum G, H , sive axis AB, erit ad H, ut disserentia duartim G, TH ad ipsim Ha
capiendo antecedentilini dimidia,erit quoque,
iit C ad H , ita CT ad in ac denique permutando erit , ut A ad T , ita Had TH. Demittatur jam ex puncto H super tan- gentem perpendicularis HL at Minad Herit in ratione composita ex H ad HL, ex HL ad 6 dam vero Hest ad Hu, ut Noad R. itemque H est ad m, ut Moad Ο sive etiam , ut N ad Min. Quare erit Minad TH in ratione composita ex Noad Moe, Se ex M ad x atque adeo in simplici rationes, quam habe N ad R. Quit igitur C sit ad CT, ut H ad TH in Hiit ad id , ut N ad Ra erit ex aequali, ut CA ad T ita N ad R,Sed in est ad Cr, ut CN ad C . Quare rurissis ex aequas erit, ut CN ad CA, ita No ad M , Sc permutando erit pariter, ut CN ad Noe ita C ad M. Est autem ex ostensis, ut CN ad Noe, ita AB ad AD. Et igitur exaequali rursus erit , ut AB ad AD , ita A ad MR: proindeque, sicut CA semissis est ipsus AB, ita erit Rimiissis ipsius A D.
XI. Praeterea pertinet adsocor verbine LM alis pronimi, quod si dum tangento ur 'MΚ, NK conveniant in K ex eodem fisco ν,οννυε, G ducantur ad puncta contactus tectae G M sim, angulus MGN biseriam sit sedius ner
115쪽
Iungantur enim puncta per te eum MN, cui per ocum G, centrum parallata agamur OR, XZ, cum tangentibus
convenientes . Jungantur quoquo rectae HM .HN conveniat cum axe , tangen quidem
M in puncto T, tansens vero NK in punis Et quoniam HM est ad G , ut TH ad 4 erit dividendo , ut AB ad G M, ita dis rentia duarum Tin, G ad ipsam G ζω piendo antecedentium dimidia , erit quoquM
ut CA ad GM, ita ad TG. Sed in ea ad G, ut CX ad Go . Quare erit ex aequili, ut CA ad GM, ita CX ad Go.
Eadem ratione ostendemus , C esse ad GN, ut est CZ ad GR. Unde, quia G est ad N in ratione composita ex GM ad A,
E ex A ad GN , habebit quoque madGN rationem compositam ex si ad in He ex CZ ad GR. Iam diameter, quae bis a rectam MN,
eamque velut suam ordinatam agnoscit,trannire debet per punctum ς, in quo tangentes duae Κ m sibi mutuo occurrunt. Quam re eadem diameter bisecabit quoque rectam X: S propterea , quum aequales sint duae
CX CZ; erit GM ad G N in simplici ratione, quam habet G ad GR. Ponamus modo , rectam GK psi Noccurrere in L . Et quoniam Go est ad GR, ut L ad Laerte ex quali , ut GM ad
116쪽
tionalis post axem AB. dismoreum KL, ipsi peta:
MN parallelam. Ducantur enim ad punctam MN a sentes T , Ny convenientes cum axe AB in punctis , ως, cumque diametro KL in punctis X, a Tum ex iisdem punctis M. N demittantur, diametrum KL ordina . MOMO,NR. Et quoniam, ut paulo anto vidimu . CAest ad GM . ut CT ad Guinxit quoque, ut A ad GM ita in ad eandem - . Quaro duae A, Cx aequales erunt inter se. Quua seque eadem ratione etiam CZ ipsi in aequalis
com eriatur erit tota Z aqualis axi AB. Quia autem tangens X Occurrit dia, metro KL in punita X S ex puncto containctus inducta est ad eandem diametrum ordinata Mo; erit, ut X ad CK,ita CK ad Cin duplicando terminos omnes , erit quoque,
ut XZ ad KL, ita XL ad OR. Jam, quemadmodum XZ est aequalis axi AB citam aequalis est rectae M . Quareetit, ut AB ad KL, ta KLad MNi propte rea recta MN,ducta per focum G, utrinque ad hyperbolam terminata erit tertia proportionalis post axem AB, R diametrum L, ipsi MN parallelam. xiii. XIII. in iurem pratis alveofuit , quod M.tM-s per eundem meum, vel etiam per utrumque
117쪽
lansul eat in MN . eadem ratione, quia PQ est tertia proportipnarisipst axeni AB in diametrum EF , ipsi inequid istantem Leti EF quadra nq, alii se anguis ex AB in P Inde autem erit , ut KL quadrat uni ad EF quadratum, ita relangulum ex AB iri N ad relani ulu i ex AB in P Sed , ob commi nem alitis dinem AB restangulum ea
PQ, ut ad PQ Quare erit exaequali, ut MN ad PQ, ita a quadrati ima 'u 'dratum Quum igitur, ex superius ostensii, re-Hangula, quae fauit eas segmentis duarum suis captis μ', si it int*rvi ut quadrata e cog vj satis Drusi diametrprum, ad qua mesi e dui ruinam reserimit; r; erunt nuntiis eos in rectangi se , ut earundent di Utrprum ordinatae illae , quae transeunt per cor xi IV Denique haης quoque pro'ietorem: et Olumi fiunt i committere, quod si recta XZ
νυν te hyperbolam contingat in Aducta ex fo-
118쪽
ad Cui ut Aradis p. st igitur ex aequali erit, ut AT ad AX, ita AT ad Ati: pryφῆ que Axipsi AN aequali erit. Ulterius , quum N sit ad A , ut CA ad Tue erit, convertendo primuit i ut
erit eos aequali, ut A X ad Z , ita Nad BN AE prppterea, quemadmodum AX ostensa est aequati: ipsi AN sic ςtiat ipsi qualis erit.
119쪽
in D Rae denti eapite ostenta sunt, et ira A Deorum absterum proprietates ν-- φνεν aeteratii, hoe est, eae quae tinent in quolibet Fiu.si hypothoi punctoInunc eas ostendemus,quae pociales sunt , d ad illud dumtaxat punisAum pertinent , quod conjungitur cum altero focorum per rectam laxi perpendicularem.
Sit igitur AB axis hyperbolae , sint-rue etiani foci ipsius Sisocorum tero G perpendicularis ad axem erigatur γ, hyperbolae occurrens in E. Tum adiui Hunia ducatur tangens Er, cum eodem axo nveniens in T. Ac primo quidem ostendemus, quod ere. Et is ex verticibus axis A in B ad tangentem iisque perpendicularibus AX , BZ , eae sint aequales portionibus G, BG, abscissis ex te A mr cum G.
J- enim recta AX t parallelae sunt ipsa; Quare e*dem ex ostensis, aequales se debent ii portionibus , in quas diriditur axis per ordinatum, demissam ex puncto R. Sed ordinata ista est ipsa EG . Itaque rectae Ac, BZ quales esse debent portionibus AC, BG. . . . v id in st di quoque potest in hunc
120쪽
gentes duae per ea, quae superius ostensa suiu, secabitur angulus AGE hi fariani per reinctam Gx. Unde , quum angulus AGE sit reinctus , erit semirebo aequalis, tam angulus
AGX Miram angulus AXUL coiisequente duae Ax, AG aequales eruui inter se Simili ratione, quoniam Bet I sit
tangentes dines secabitur angulus B Ebis, raram per rectum Gn. Uude , quum angulus BGE sit tectum erit semitecto aequalis tam angulus BGZ quam angulus ZG, atqus adeo duae BZ, BG aequales erunt tuter se. II. Hinc autem Uea domus fecu do loco, νω. u ἔν
quod si ex alio hyperbolae puncto Mu tur om . l. ad axem AB ordinata MN quae conveniat, a. .. iam cum tangente, quam cum hyperbola ada partem alteram in punctis R, O; recta, v eulum Ro sit aequale quadrato, quod si
interiem artis portione GN. Nam , per superius ostensa , rectanguintum M R est ad quadratum tangentis ER, ut est quadratum ex ane conjugato ad qua dratum ex conjugata diametri , quae tram
sit per minum R. sed in hac eadem ratioine est etiam quadratum tangentiis Ax --dratum tangenti Ex . tiare erit ac aequali , ut rectangulum sto ad Axqua.dratum, ita A quadratuni ad EX quadra.
Jam , permutando; rectangulum Roerte ad X quadratum , ut stra quadraritum adax quadratum . Sed propter paralle-