장음표시 사용
141쪽
lis ipsi AG , altera E sit dupla ejusden AG. Tum, iuncta Ex , erigatur ex punctos perpendicularis altera R, ei occurrens in R. Denique centro G , Sc intervallo ipsius Rdescribatur arcus , calidum N secans in Madc erit MN Ordinat imitae sita. n. . .ι. IV aislQm, ut iupra , manentibus, eriga- . virectνων tu modo ex puncto , in quo tangens ET
V a secat axem perpendicularis ad ipsum axem et V .ssit , quelmadmodum perpendicul ita rem istam Tu parabolae directricem deinceps Fic.6a appellabimus , sic relate σὰ eam plures parari
la proprietates competunt. Nimirum primo demissa ad Irectricem perpendiculari ΕΠ, erit , utra ad EG , ita Arad AG. Nam ob parallelogrammum FG, duae EF, G in te se uiri aequιles . Quaruerit , ut EF ad EG , ita Grad G sed , obtriangula aequiangula GE, TAX, G est
ad EG, ut Arad Ax aes, ob aeouales Ακ, AG , ut est Arad Ac ita est Arad AG.
Quare urit ex aequali, ut EF ad EG , ita AT ad AG. Seeundo, demissa ex alio quovis parabolae puncto Mad eandem directricem perpendiculari S , erit, ut S in G, ita AT aa AG . Nam, ducta ad abiem ordimis MN, e
que producta ad tangentem usque in puncto Ra erit , ut 6 ad N R, ita Arad AX, sive AG . sed Tu est adix, uti ad G
142쪽
ad Alco, ita AT ad AG. Tertio , si duo in parabola capiantur puncta M. i. ex iis perpendiculares ad directricem demittanturis,m ferit, utras ad PQ, ita Maad pG . Nam in eadem
ratione, quam habet Arad AG est, tam Sad G , quam PQ ad PG . Igitur erat ex quali , ut M ad G ita Pridi; Sc pet-mitando erit etiam, ut S ad PQ , ita Gad PG.
Denique, si, iisdem milius M. Pducantur ad directricem aliae duae rectae Mi, ΡL, quae inter se sint parallesae; erit quoque, ut rad ita Gad pG . Nam ob trianis gula aequiangula SI, PQ , ut est M ad PL, ita est S ad PQsed , ex ostensi, Sest ad p . ut est vG ad PG. Igitur erit exaequali, ut I ad PL, ita Gadi G. V. Recta igitur, quae eae quolibet para v. Dolae puncto perpendiculariter demittitur ad multum
directriceni, est ad rectam,quae in eodem puri , ita '
Ei ducitur ad secum G, in eadem illa nitio propriet temne, quam habet Arad AG sed eirea propris. zi ποῦ ratem isam illud occurrit notatu dignum. Nimirum , quod ratio , quam habet AΤad AG, quemadmodum in ellipsi est majoris ad minus, Si in hyperbola minoris ad inatus,
se in parabola sit aequalitatis adeoque perpendicularis, demissi ad dire rem, erit semper miliam te , quia dueitur ad istini αNeque veri, dissicile ut erit ostendere Nam in i construesione , tecta Ercontingit parabolam in D. Quare , quum EG Incidat ex ruit 'o contactus Eperpundiculariter super
143쪽
14M SECTIO NuM CONICΛRu Maxem AB se ea, quae superius ostensa sunt, omnino necesse est , ut duae AT, AG inter se sint aequales. vi VI. Ad directricem parabolae alia etiam Hia rar proprietas pertinet valde singularis . Sed ad T. ρ ' eam ostendendam sterneadum est priss selut
L . . V lemma sequens theorema , quod si ad aliquod parabolae punctum M ducatur tangens s. Fio.6i conveniem cum axe AB in puncto , o ex
puncto contactus, demittatur ad eundem arcem ordinata MO; quod, inquam, duae Sico inter se sint aequales. Quum enim tecta Ercontingat paris Iam in ex puncto contactus E ducta sit ad axem ordinata Ga erunt duae AT, AG quales inter se. Et similiter , quoniam recta Id est tangens parabolae in ex puncto conis tactus, ducta est ad axem ordinatam Aerunt duae As a parite aequales inter se Unde erit etiam differentia duarum AT , Asaequalis disserentiae duarum AG, AG hoc est aequalis ipsi Go.i22-ι VII. Minc autem sequitur primo quod say --- is eadem taneens s conveniat cum directrice
μι-- TU in puncto Κ, super tangentem per- λοχῖ pendicularis erigatur in rectangulum ex
Mo in sit aequale rectangulo POG. Quum enim triangulum M sit rectangulum in ex angulo recto demissas ad hypothenusam perpendicularismo ;erit, ut m ad Mo, ita Mo ad os sed Moest ad os ut cad SL TΚ est ad Ts, ut ΤΚ ad GO . Quare erit ex aequali utio ad MO, ita ad Gorct Hopima rectangu-
144쪽
que rectangulo GO FIG.63. Quum enim recta P sit perpendicularis ad tangentem Moeri portio axis P se. qualis dimidio parametri ejusdem axis , econsequenter dupla portionis AG . Sed propter tangentum ET, ejusdem AG dupla est quoque ipsa G. Quare duae PO, G mu les erunt inter se. Hlne aequalia erunt pariter rectangula PO; TGO . Sed rectangulum ex M in T ostensum est aequale restangulo OG. Quare idem rectangulum ex MN in I erie etiam aequale rediangulo GO. IX. Atque hinc equitur demum , qtio IX.
iunctis rectis GK,GM, rectus sit an ullis 2: ΚGM, qui sub iis continetur. Fio.q3. Quum enim ostensum sit, remngulum ex o in aequale rectangulo minerit, ut G ad D, ita O ad Go. Unde Hai gula duo rectangula GTς, OG habebunt
circa angulos rectos latera proportionalia, consequenter aequiangula erunt.
Angulus igitur GK aequalis erit a gulo GMO. Unde apposito communi OGM, erunt duo anguli GM, OGM aequales duo-hus angulis GMO, OGM . Sed isti duo simul sumpti unum rectum adaequant Ouare etiam uni recto aeq*ales erunt priores duo; atque adeo angulus ΚGM pariter rectus erit. X. hiis pretui sis faciis modo uritiosen x. dera
145쪽
. . a. ρομφ*-,qR- si per focum G ducatur MN, utrinque ad parabolam termin Fiq.63. a in rectae M , NA contingant parabolam in punctis , ως tangente i 'in super di-
per directrice V sibi mutuo occurrant. Si enim fieri potest, secent tangentes itilae directricem V in punctis diversis Liuini-rum tangens quidem S in puncto Κ, tangens vero NX in pup x. . Tum junsantur rectae GK, Gi Et quoniam rem R est tangens parabolae , eaque occurrit directrici in punctori; erit angulus C rectus , adeoque rectus pariter angulu Κέμ, quia partςm l
ram existit Eadem rationes,' ita rem NX est tan-sens parabol*, eademque secat directricem in
puncto erit angulus ιGN similiter rectus. Unde duo anguli κGN, GMaeciuater erunt inter se Qum seri non potest. is 'ξ ςro lis etiam proprietas vati
ι.ia isti . lagonistrit nimirum , quod si per melim I. G ducatur recta MN , utrinque ad parabolam νων; iri termillata S actis tangentibus K NK , mrio 7 bi mutuo occurrentibu in Κ, Jungatur recta
parabola: it , per ostensam proprietatem, in ea locabitur punctum Κ, in quo tangentes
duae sibi mutuo occurrunt. Unde per ea, quae paulo ante ostensa sunt, omino necesse est, ut
146쪽
ΚGN, atque adeo, ut ipsa GK perpendiςuuri sit ad rectam MN iso idem erui quoque potest, pr prietate illa generali , superiucostensa, quod
recta GK biseriam dividat angulum , contentum sub ieinis G M, GN. Inde enim sequitur, candem rectam GK aequales. semper angulos constituere cum rectis G M, Gm; atque adeo
iacent in directum. XII. Caeterum ex iis, quin modo ostensa insunt, isti Deo, ut 'egoti du d ni viscetur tangens ad quodlibet parabolin una m. 'iti. Os Reserat enim recta TV directricem parabo 'telae , atque punctum G lacus ejusdem spor taut ηι atqt , ad punctum N tangentem ducere . t ''Ex foco G ad punctum N ducatur rect*31o.63. GN . Tum ei ex eodem soco G perpendicui ris origatur GK,ςonvenieti cum directrice
in puncto C. Jungantur denique puncta N. ω per rectam ΝΚ L erit ista HK
angens quaesita. Si enim fieri potest, contingat parabol ni in puncto N recta quaevis alia I, tuo conveniat cum directrice in puncto P. Tum
ex opo G ad punctum Italicatur recta l. Et, ea ostensili , rectus erit angulu* GN. Sed ex opstructione , rectu etiam est angulus RGN . Quare duo anguli IGN AEGN*quales intς se erunt quod fieri non potest
147쪽
D Geis remetricis , Coni Sinionibu terminatis
Raecipuis sectionum conicarum proprie Qtatibus ostensis; sequitur modo,ut compositionem aggrediamur locorum geometrucorum , quae conicis sectionibus terit,inantur: quo nempe deinceps easdem coni sectiones ad constructionem problematum solidorum traducere possimus. Sed priusquam huic operi manum admoveamus , ratio Postulat, ut paucis explicemus , quid veniat nomine loci geois metrici; tum item, ut varia locorum species
- I. T cus geometricus vocatur feris, HM- νει punctorum , quibus auecui zzz ra problemat geometrico, indeterminate proposi- to,sata feri potes. Unde non aliter intellige te licebit, quid veniat nomine loci geometriisci,quam cogniti prius differentiis problem tum seometricorum Hunc
148쪽
E L E M E , A. HHune in finem sciendum est primo , pr humata gemetrica, nonfrcus ac omnia qua vis , usicis Decisi esse: alia nimirum deter-
manata, quae solutionum diversarum determinatum numerum admittunt; Sc alia indeterminata, quae infinitis plane modis diversis solvi possunt. Ita, si punctum in recta quaeratur, quod subinde eam dividat, ut reErangulum , sub segmentis ejus contentum, alterius rectae datae quadratum adaequet: problema erit dete minatum; quia duo tantum puncta licebit invenire quibus quaesitae divisioni satisfiat: quae etiam coibunt in unum si altera recta data prioris semissem adaequet sed , si oporteat, in data recta punctum inveni:re, quod adeo illam dispescat, ut quadrata, quae fiunt ex tota in parte una sint aequalia terungulo, bis contento sub tota,
dicta parte, una cum quadrato partis alterius: problema erit indeterminatum; quia,ut ostensum est ab Euclide in Elementis, singula datae restae puncta quaesitae divisioni satisfaciunt II. Ut haec problematum geometricorum .distinctio clarius intelligatur; sciendum est ἡ- ννιιI.
lnsuper ρὐοmm problemate duo necessarior et contineri scilicet notum, seu datum Se in cognitum seu quaestum . Nam ea est finitae
nostrae mentis indoles, ut quod incognitum est , dumtaxat ex cognitis quibusdam condi
Jam, quemadmodum plerumque , praeter conditiones , ad problematis solutionem ne cessarias, aliae etiam adjunguntur, omnino
149쪽
doque nec omne apponuntur conditiones, ad problematis solutionem necessariae qua ratio. ne problema inde terminatum redditur in. finitas solutiones diversas admittet
Ex quo liquet , problematum triam pri genera dari: alia scilicet determinata, quae ςmnes continent conditiones , ad ipsis. rum solutionem necessarias talia indetermina.
ta, in quibus non omnes adsunt conditiones quae ad eorum solutionem requiruntur: calia demuni plusquam determinata , in quibus multo plures conditiones sunt appositae, quam quae illorum solutioni inserviunt.
III. III. Sed notetur hic velim, quod tria saproblematum genera ex datorum, quae ram- numero nulla negotio die fcamur. Ubi
j i/ει - ἰ ciam numerus datorum adaequat numeriim. uii aestoruma problema erit determinatum Ubi vero data sunt pauciora quaesiti S pro hiema erit inde terminatum . Ac demum , ubi quaesita sunt pauciora datis problema erit plusquam determinatum .
ita , si rectangulum quaeratur, quod sit aequale dato quadrato. cujus latera simul sumpta datam rerum adaequent: problema
erit determinatum; quia, sicuti duo sunt problematis data sic duo etiam sunt ejusdem quaesita scilicet latera duo, quae optatum re-ε angulum debent continere. Sed , si ex eodem problemate auferatur una conditio, puta, quod latera rectanguli timveniendi debeant unus sumpta datam rectam
150쪽
lum, quod sit aequale dato quadrato problema erit indeterminatum; quia unum quidem est datum, quaesita vero sunt aluo. Et denique, si eidem problemati praeter
duas illas conditiones, adsungatur quoque tertia , veluti, quod latera rectanguli inveniendi debeant ad invicem datam rat olium haberes problema erit plusquam determinatum; quum in eo tria quidem sint data, duo vero quaesita.
lv. quum calculo litterati , seu specios problematis restatutio peragitur , is tescis 2 π . nanum ejus, per numerum qualisnum, quae zzz 'f'
nobis sese offerunt. Si enim, perlustrati singu num/νωα -- Iis conditionibus , in problemate appositis I'.
tot inveniuntur aequationeS, quot occurrunt se fir mi.
quantitates incognitae problema erit dete minatum.Sed, si numerus aequationum minor
sit numero incognitarum roblema urit ii determinatum . Et Ebique idem problema erit plusquam determinatum , si numerus
quationum incognitarum numerum excedat. Ue enim notum est aequationes inveniuntur per ipsas conditiones , quae in proin hiemate apponuntur adeo quidem, ut quaelibet conditio suam nobis aequationem largiatur. Unde omnino necesse est, ut in probi inate determinato tot aequationes invenia .tur , quot fuerint incognitae quantitates ac sumptae; quandoquidem, pro determinandis singulis incognitis, tot in eo conditiones apponi debent, quotus est ipse numerus inc gnitarum .