장음표시 사용
151쪽
ob eandem autem rationem in problemate indeterminato numerus aequationum minor esse debet numero incognitarum riuia in eo non omnes apponuntii conditiones quae ad determinationem singularum incognitarum requiruntur . Et Vice versa in problemate plusquam determinato , ob conditiones superfluas , quas habet appositas, necesὶ est ut numerus aequa tionum incosnitarum numerum excedat. . o. Quemadmoduni autem problema prie Vocatur illud , quod determinatum est. I.M, certisque tantum modis solvi potem itae: ' inter problema inde terminatum , ct problema oum' o plusquam determi iratum illud discriminis in
' ', quod primum, ob deficientes conditiones, si eam infinitarum solutionum , alterum, ob conditiones supersuas, saepe pius p xantes cum necessariis , nullam ut plurimum
olutionem admittat. Has omnes problematum disserentias satis explicat Proclus libro tertio suorum comis mentariorum in primum librum Elementorum Euclidis . Et eodem reserente, vocabant Veteres problema defciens, quod indetermin tum est, nec omnes continet conditiones , ad solutionem eius necessarias . Vocabant vero problema excedem , seu redundans , quod est plusquam determinatum, multo plures co tinet conditiones, quam quae ad solutionem ejus requiruntur. Sed excedentium problematum, ut idem Proetus est auctor , duas adhuc species et
re distinauerint . eae,nim problemata i
152쪽
tum Em, A. 43 ngruentibus, pugnantibusque conditioniabus tedundunt a impossibilia appellabant, quia
omnino bivi non possunt. Quae vero abundant conditionibus , sibi mutuo conspirantihus, dicebant problemata majora, ut ab indeterminatis distinguerentur, quae minora viciLsm appellabant Vl. Et autem istae omnes sint problema . tum differentiae, attamen Geometrae priammatis nomine illud proprie vocant, quod deter i ta,
miratam es , certumque elutionum numerum biem tum admittit. Nec alia ratione ea , quae sunt inde is .ia: A. terminata , sub ipsorum contemplationem v niunt, quam ut corum ope determinati s
tisfiat, quae praecipuum Geometriae objectum constituunt Quunt enim problemata indeterminata infinitas solutiones admittant utique inter
eas necesse est , ut reperiantur solutiones peculiares problematum determinatorum , quae
ejusdem speciei sunt. Unde iactis semel in. sanitis illorum blutionibus, non aliud fieri de-hetiquum de istis est quaestio,quam ea excerpere , quae ipsa correspondent fiasque ditiones adimplent. ita, quotiescumque, exempli gratia, si per recta data constituta sunt omnia triangula isos elia omnino necesse est, ut inter ea reperiatur triangulum illud i sceles , quod habet quoque datam altitudinem. Unde, quum quaestio est de constituendo triangulos sce-la,cuius data sit, tam basiis, quam altitudo; satis erit, ad infinita illa triangula isoscelia comsugere,' inter ea illud eliore, cui data
153쪽
,.2 pax est problema aliquod in determinatum, si- εν eorum,s gillatim percurrere nequit. Hinc speciali quo- ' - aftfei opus est , ut eae omnes in unum uigi possint, atque ita collectae continuo praesentes haberi . Praestant id igitur Geoni irae compositione si ruin geometricorum iam ea mediante infinitas illas solutiones certis limitibus claudunt Id ut clarius intelligatur, juvat prius adverteres, nullum esse problema geometricum , quod ad puncti alicujus positionem determinandam revocari non possit. Unde, quistiescumque problema est natura sua indeterminatum, tunc infinita huiusmodi puncta debent definiri: propterea habebuntur infiniatae ejus blutiones , determinando locum, in quo infinita illa puncta reperiuntur Hac ratione , si super data recta linea constituendum sit triangulum iso sceles res eo redit, ut vertex ejus trianguli reperiatur. Quemadmodum autem infinita esse queunt iutiusmodi triangula, ita infinitus quoque erit numerus punctorum, quae quaestum verticem nobis exhibebunt . sed perspicuum est, omnia illa puncta reperiri in linea recta , quae secat hilariam, ad angulos rectos rectam lineam
lia VIII quum sit liquet, locum geo
eua -- metricum non aliud e , quam fedem omnisn
illorum punctorum, quae alicui preMemati in-α ὰ ς -- fatii Dciunt. Et quoniam hujus - modi sedes potest esse, vel linea , vel superficies l
154쪽
mam, alia ad supersicum alia demum ad δε- sidum appellabant. Ut tres istae locorum specles rectius i
telligantur , meminisse oportet, problema esse indeterminatum , quum non onine apponun tu conditiones , ad problematis solutionein necessariae. Hinc itaque fit, ut non omnia loca
geometrica ejusdem speciei sint . Nam , deficiente una tantum condit ἰone locus erat ad lineam, deficiemibus duabus conditioinibus, iocus erit ad superficiem in denique ubi tres in problemate desunt conditiones locu erit ad solidum. Possunt etiam tres istae locorum species a se mutuo distingui per aequationem, quae omnes ipsius problematis in determinati conditiones includit . Ubi enim hujusmodi aequatio duas continet incognitas,locus erit ad lineam; quia ad determinationem problematis una tantum conditio deest . Quotiescumque vero in eadem aequatione tres occurrunt incogniatae, locus erit ad superficiem , quia pro dete minando problemate duae requiruntur condi. tiones . Et denique , quum aequatio quatuor incognitas complectitur Iocus erit ad solidum quia tribus conditionibus opus est , ut problema determinatum evadat. IX. Et sane, quod aequatio, duabus ἐκ IX.
ri, ostendi potest generaliter in hunc miruum quom με in κ μ ν binae aequationis incognitae sum .,Dι. . utraqux harum incognitarum infinitos valo-
155쪽
rς, IECTIONUM CONICARUM res admittit. Sed una ex iis deteraninata , necesse est, ut altera quoque uain determinatio-x ψ 'A' Reserant itaque portiones N in alicuius A valores omnes incognitae, Et cuique earum correspondebit incognita altera laeterminato valores Ducantur ergo per singula punctam parallelae totidem NM, quae referant valores correspondente incognit*F. Et linea , transiens per extremitate ipsarum NM locus erit quaesituS.
Notetur autem hoc loco velim , quod quum simpliciter de explicanda sequatione agitur angulus AN M potest ad libitum asia sumi . Sed, si una cum aequatione satisfacie dum sit quoque problemati inde ea fluxit
aequatio Iunc angulus ille talis oportet magnitudinis capiatur , qualem ipsum exigi
Nec silentio hic praeteribimus, quod in priore casi licebit quandoque angulum illum AN M talem assumere, ut re ειν, vel sint in directum cum ipsa AN, vel cadant ad partem oppositam nimirum, quum dando eis postionem istam, ad unum idemque punctum omnes terminantur . Sed non ideo locus dicendus erit ad punctum, ut qui per extremit/- te alias N proprie constituetur D. M. Similiter, quod aequatio, tribus in ετ α 'Plinitis consans loci superficiem debenatauo ια plicari, ostendetur generaliter hae ratione inta: ,γ, tres aequationis incognitae. Resγ1Ao.6s. Mat adhuc portiones AN rectae alicuius ovaiores omnes incognitae . Et cuique earum,
156쪽
ELEMENTA. uxum', quam et infinitis adhuc valoribus cur respondebit.
Ductis igitur per singula, cta reparaulatis NX , capiantur super iis portiones in
quae reserant infinitos valores, quibus inc gnita ipsis AN correspondet . Et quoniam cuique istarum NM correspondet determinato valore,erigantur ex punctis M parallelae MO, quae reserant valores illos datum cum subjecto plano angulum constituant . Et superficies, ad quam terminantur omnia pulsectara, locus erit quaesitus.
sed hic quoque notare oportet, quod quum simpliciter quaestio est de explicanda
aequatione tunc ad libitum potest assumi, tam angulus AN M, qtiam angulus, quem rectae Moecuni subjecto plano constituunt. Verum , si una cum sequatione satisfaciendum sit
quoque problemati, unde ea fluxit aequatio; tune uterque angulus talis oportet magnit dinis capiatur, qualem ipsin problemaci quirit. Ne item hoc loco reticebimus, quod in priore casu licebit quandoque angulum . quem rectae Moecum subjecto plano constituunt, indefinite parvum assumere in in eo
dem illo plano ducere rectas Moci nimirum , quum dando eis positionem istam, ad unam . eandemque lineam omnes , quotquot fuerint, terminantur . Sed non ideo locus dicendus erit ad iiivmn, ut qui per extremitates alias Ad proprie constituetur. XI. Non dissimili ratione ostendemus xl.
157쪽
enim x,F, α, u quatuor aequationis incognitae . Referant portiones A rectae alicujus ΑΒ valores omnes incognitae, . Tum, dinis parallelis NX,designent portiones NM harum parallelarum infinitos valores , quibus incoingnita ipsis AN correspondet. Et cuique istarum NM tam , qua infinitis adhuc valoribus correspondebit.
Erigantur ergo ex punctis M parallelie MZ,quae datum eum subjecto puno anguium constituant . Et capiantur super iis portiones Mo , quae reserantanfinitos valores , quibus incognita Lipsis a correspondet intimque demum cuique istarum Mo coirespondeat, determinato valorea ducantur ex punctis o parallelae aliae OR , quae reserant valores illos,datumque angulum constituant cum
ipsis o Et solidum, inde ortum, illud erit , quod quaerituri sed notetur hie velim, huiusmodi solidum tuli tantum usui nobis esse, quum rectae OR ad unam eandemque superficiem omne terminantur . Et ratio est , quia in solo isto casu spe eius solidi, propositae aequationi satisfieri potest . Nee tamen idcirco locus dicendus erit ad superficiem , ut qui non iam per puncta M, sed per extremitates alio Yti proprie constituetur. u. mii. Hinc, ut plenius natura loci gem,l-zer metrici intelligatur, sciendum est ulterius .
ν-- ω quod, sicuti fit loeus loco geometrico , quum aequati , ex problemate orta lauas , aut plure continet increuitiai sic usim loci consitutio
158쪽
tis talis esse debeat, ut per quo bet ejuriam ctum omnes smui aquationis in Dis Memmiarenturi
Nec obscura est hujus rei ratio . Debet squidem unoquoque loci puncto fieri satis
hiationi, ex problei te ortae Plane vero , quum aequatio pluribus constat incognitis non aliter ei et satis , quam determinando simul singulas incognitas , quae in illa continentur . Quare nanino necesse est , ut per quodlibet loci punctum omnes aequationis i cognita simul definiantur.
Id quum ita sit , ficile modo erit intelli Fio .gere cur in ioco ad inlidum rem O d
heant ad unam, eandemque superficiem cmines terminari, quo possit nobis usui esse nimirum, quia dumtaxat in hoc casu quod lihel loci punctum potis est, definire simul omnes aequaritionis incognitas a quoniam hunc essediti in praestant puncta O; hinc etiam est , ut per hujusmodi pundii proprie locus constituatur. ob eandem autem rationem, quum in Ao.6s.laeo ad superficiem rectae Moad unam, eat demque lineam omnes terminantur , constiis tuetur locus per punctam , quia ista puncta sumi debent , ut omnes aequationis ancognitae simul determinentur. Atque ita quoque,quum FIG-ο in loco ad lineam rectae NM ad unum , idemque punctum omnes terminantur , constia
tuent oeum puncta Nu quia his mediantibus utraque 'quationis incognita simul definitur. XIII. Jam,ut demonstrationes illae genera Ill riles casibus specialibus possint applicari , non ιν -- re' aliud requiritur, quam, ut in solutione cujus et utaque
159쪽
iς SECTIONUM CONICARUM s NMD que problematis inde terminati pro incognitis ita capiat tu rectae illi, quae extremitatibus suis sibi mutuo occurrunt , Sc occursu illo datum angulum constituunt.Nani in tradita locorum
genu non aliae, quam istae conditiones , exi-
Fig.6 In plano aliquo detur,tum positione,cum
68. magnitudine recta AB. Et extra eam oporteat invenire punctum aliquod , ita ut rediar, quae exinde inclinantur ad terminos ipsius AB, re estum angulum comprehendant . In hoc proinblemate duo casus sunt distinguendi.Vel enim inveniendum est punctum in eodem illo plano, in quid is est rem AB; vel extra planum inlud tale punctum oportet invenire. Fio 07 In priore eas si iunctum quaesitum,
ex quo demittatur super A perpendicularis MN Ttim capiantur pro incognitis ipsae AN, MN , quae extremitatibus suis sibi mutuo cincurrunt, Hoc cursu illo rectum angulum conis
stituunt . Quem in finem, posita AB ina, fiat AN - ας,&M - γ Quumque . ob anguium rinum AMB , quadratum ex Nisi mquale re tangulo ANB, erit Μααax lxx propost problematis aequatio Fio.68. In secundo casu sit iunctum , quod quaeritur,ex quo demissa ad planum subjectum perpendicularis M , ducatur ex puncto super AB perpendicularis aliam . Et posi- ta adhuc ABina, fiat AN MN M in a. Jungatur postea ON . Et quoniam eidem ON quadrato aequale est , tam rectangulum AN quam summa quadrato
rum MN, Moverunt quadrata duo MN, M
160쪽
blematis aequatio eritis' 'in m ax - xx. In utroque autem casu , perspicuum est, Problema esse inde terminatum M locum fieri loco geometrico . Sed ex tradita locorum genesii liquet etiam locum esse ad lineam, quum aequatio problematis est ess vero ad supersciem suum eadem aequatio est xl xm: ax - xx. Nam illa quidem duas
continet incognitas, in ista vero tres incretim tae comprehenduntur. XIV. aeterum , haud quidem putandum xiv. et loca gemetrica expositis rationibus compo- '
Iimites , qaibus loca ipsa terminantur Ita in z: ballato problemate, quum aequatio est, in ax - ---- , verum quidem est , quod capiendo su FiQ-67. per Au valores omnes ineognitiae , Rappintando eis ad angulos rectos valores correspondentes alterius incognitaedi oriatur locus ad lineam ς nihilo tamen minu ejus compositio fiet describendo lineam , ad quam ipse lo
Simili ratione, quum ejusdem problematis aequatio a finam: ax - xx , etsi orta Fio.68. tu locus ad superficiem, capiendo super AB valores omnes incognitae ae, applicando eis ad rectos angulos valores correspondentes inc gnitae, , tumque demum erigendo normaliter ad subjectum planum valores tertiae incognitae a attamen loci compositio fiet proprie, d scribendo superficiem, per quam locus ipso