장음표시 사용
161쪽
tum, quae lineis, superficiebus, solidis competunt . Alterum est ratio describendi lineas superficies is solida. Horum utrumque ad illam pertinet Geometriae partem,qua Eumentaris appellatur. Et ea, quae de compositione i
Visum edisserit, nonnisi post partem illam et mentarem est addiscenda: quae tamen eo tendit, ut ope ejus partem Gometriae nobili rem qim desolatim e problematim agit, tamdem assequi liceat. Tres istas Geometriae partes , tum item alterius ad alteram subordinationem satis indicat appus initio libri septimi suarum collectionum. Ibi enim scribens ad Filium Herm dorum: Deus, inquit, qui moratur resolutus, ursu atim dicam, propria quadam es materia, post pnnuinium Eumentorum consitutionem,ris parata, qui in geometricis sibi comparare volunt vim,ac facustatem inveniendi probum ro, quae psis proponunturi atque hujus tamam modo utilitatis gratia inventa es acis. . u. V. Nolo autem hoc loco et cere,
aai. Ita.. quirere, num Micui sineae, superficiet, uisu
s. .,. adhibita ea proprietate, talis inveniatur aequa- i utraque parte eadem quantita P currata indicio erit, illiusmodi proprietatem revera ei competere . Quod si autem secus contigerit , nec item illa proprietas ad eam lineam, superiaciem , aut solidum poterit pertu
Fiu.6 Sit AB circuli allauius diameter , cujus
162쪽
centrum sit punctum C . Et quaeratur, numdem si seper A ex aliquo circumferentiae
hac ratione satin μή a ,--χ, BNisiadis; erit rectangulum ANBimaa - . Quare posito , quod N quadratum sit aequale reis mangulo AN B, erit II maa - xx.
Jam propter circulumdua: CA CM in ter se sunt aequales . Quare , sicuti Minuadratum est aequale duobus quadratis N, NM; ita iisdem quadratis aequale quoque erit
quadrivum ex M. Hinc erit m xx lv. Et , posito loco γ valore ejus a- xx, erat quoque a se fisa - xx, hoc est aaincia. Unde , quum ab utraque aequationi parte eadem quantitas reperiatur ue consequens est , ut
MN quadriitum sit revera aequale rectauulo A . Hine notetur lio loco velim, quod si circa aliquam lineam , superficiem , aut solidum proponatur problema aliquod in in ejus
resolutione talis inveniatur aequatio , ut ab utraque parte eadem quantita occurrat, uno illud non erit problema , sed theorema mam,
ob illiusmodi aequationem , id quod quaeritur in problemate , verum erit relate ad quodlibet
punctum ejus lineae , superficiei, aut solidi; adeoque, velut proprietas ipsiua milvus iis M. het haberi. CAR
163쪽
I. r. immines orum geometrico,
αα rum tria genera distinguantur, t ii rum alia vocentur ad imi P neam , alia ad superficiem in alia demum ad
γ' solidum; in constructione tamen problemais
. tum determinatorum non alis Ioca a Geoineis
eris adhibentur, quam quae prioris sunt generis , loca ad lineam dicuntur . Unde etiam , quum simpliciter , ct absolute loca, cant geometrica, non alia veniunt apud ipsos, quam quae linearum lonsitudinibus termia
Hujusmodi autem loca non omnia eiusdem specieisunt sed pro qualitate inearum, quas pro suis terminis habent, in varias classes disingui possunt iantur enim loca non nuruli, quae inaesar rectis terminantur. Sed dantur etiam ioca alia , quae lineas curvas , velut suos terminos, agnoscunt quumque tineae curvae .possint esse infinitarum specierum infinita etiam erit diversias locorum, quae lineis cur
'ia circumscribuntur. Hinc , ut rectius intellIgatur, qua rati ne loca geometrica lineis terminata, in certas
classes distingui possint, opera pretium est prius
164쪽
E L E MAE UT A. ror prius ostendere, quo pacto recentiores Gemmetrae naturam cujuscumque lineae definiunt,
quomodo omnem illarum molem in varia genera dispescunt. Nam prosecto ex variis generibus linearum, quibus loca terminantur,
sit, ut ipsa quoque loca in varios ordines diiungui queant. n. itaque recentiores Geometrae non alia Inratione naturam eiu que sine de - , ct ia quam reserendo ejus puncta omnia ad punm V alia rectae alicujus positione datae, invenien ι O . .
do aequationem , quae relationem illam nobis ostendat. Ut si AM sit linea,de qua gitur,st Fio 69. singulis ejus punctis ducunt ad rectam aliquam positione datam AB parallelas totidem MN in definiunt naturam illius per relati nem,quam habet quaelibet earum parallelarum MN ad portionem correspoudentem AN. Supponatur namque , si placet, linea illa descripta per intersectionem duarum regula-xum An BZ . quae ita quidem revolvantur' circa punista A, Si, ut erecta super AB per pendiculari AC , sit angulus ABZ perpetuo aequalis angulo CAX . Et fingamus quoque, rectas N, quae ordinata dicuntur, parallelas
esse ipsi AC; adeoque perpendiculares super Portionibus AN quae vocantur abscisae. Quia igitur angulus B aequalis est
angulo CAX: apposito communi B AX,erunt duo anguli ABZ , BAX aequales toti angulo BAC. Sed a ligulus B AC est rectus, ex hypothesi. Quare etiam uni recto aequales erunt duo anguli ABZ, BAX: propterea ter ius
ana'lus AMB etiam rectus erit. Unde, uum
165쪽
dratum aequale rectangulo AN B. Hinc qiiemadmodum abunde liquet, lineam A esse circuli circumferentiam diaiametrum habentem rectam AB3 ita ficile qumque erit, aequationem invenire, quae exprimat nobis relationem inter inianiqinunque ordinatam MN , abscissu correspondentemAN. Ponatur enim ABina, AN αα Nμων. Erit igitur reliqua portio BN Σαα x.Et quoniam MN quadratum est aequa. Ie rectangulo AN Bueritvinax xx
m. III. Sed nolo hic silantio reticere, quod --: -- ter redisnas, O abscissas ore nisi ter, ποπ- ς -- fmper possit in rear iri . sit nim quadratumal ABCD. Et interea aetatus eius A fertur,4 Fic.νο qu biliter sibi ipsi equid istanter versus
BC , revolvatur motu etiani aequabili circa punctum B latus Adit adeo , ut in fine motiix
utrumque latus AD , AB reperiatur eodem empore silper BG. Quum se duo illa latera seruntur, ρομsbicuum est, continua emum intersectione describi lineam curvam AME . Sed, demissis ex singulis ejus punctis rectis N perpendicularibus super B , frustra quaeretur aequatio , exprimens relationem inter unamquam-
qii ipsarum MN portionem correspondenteni AN quum nulla adsit in des ripta curva proprietas, quae ad inveniendam aequationem ilium nos monudueere possit.
166쪽
E L E M A. adamscriptae squidem curvae natura , ut ipse eius genesi liquet, haec est, quod productam usque donec quadrantem AC secet mo si semper , ut Amad B N, ita AO ad Co. Quare positis AB in a. AN radix, ct MN
, determinamia esset ope istarum quantia tum ratio arcuum AO GO, ut optata aequatio posset haberi inde, quum ratio iri nequeat ullo pacto definiri, nec item optatim aequationem invenire licebit IV. Id quum ita sit, duo passim l neorum nis-ώn. genera disiuguuntur si aliae dicuntia '
geometrica , ali vero mechanica Ρrioris generis lineae sunt illi, in quibus relatio ordi zz: natarum ad abscissas correspondentes aequatione aliqua potest definiri . Per contrarium vero lineae alterius generis sunt eae , in qui-inis eadem illarelatio nuda potest aequatione designari
Hanc linearum distinctionem in geomeis Glaas in mechanicas primu oninium pro tuisti Cartesius Nec alias in Geometriam admittendas esse censuit, quam qui geometricarum
nomen apud ipsum sortitae sunt; quia eae talis tum sub certam, determinarumque cadunt in suram. Unde reliquas vocavit mechanisco; quia ad mechanicam potitis eas pertinere iudicavit Et sane , quin lineae mechanicae dictae .
valde differant ab iis , quae passini geometricae nuncupantur . non est dubitandum . Sed non ideo illiusmodi curvae a Geometria sunt excludendae,quemadmodum voluit Cartesius,quai
doquidem,si mente concipiantur descriptae dia-
167쪽
bebunt perinde ac lineae ipsa geometricae, constantes quasdam proprietatos,quae ad omnis iiii arum puncta se extendent. Huc adde , quod beneficio eius analysis, ouae dicitur isdefinite parvorum,etiam in lineis ectahicis reperire licet aequationem, quae exprima relationem ordinatarum ad abscissa correspondentes . Nec aliud sane discriminis occurrit . quam quod in iis huiusmodi aequa, tio ad infinitas semper dimensiones ascendat quo factum, ut a nonnullis linea transcendentes dicerentur.
v. Quemadmodum autem naturam uis usque lineae definiunt recentiores Geometrae: τοπι per uationem, exprimentem relationem or-
guunt, fecunrim, merum dimensionum, ad quas eorum aequationes ascendunt Et Cartesius quidem genera linearum, non unica , sed duabus dimensionibus a se mutuo distinxit. Vocavit enim lineas primi generis , quarum aequatione quadratum , aut rectangulum duarum incognitarum non e
cedunt a vocavit lineas secundi generis , qua- tun natura aequationibus ad ima voi. 'tuor dimensiones ascendentibus , despitius a
vocavit lineas tertii generi , quarum qu tiones ad quinque , vel sex dimensiones assur' sunt atque ita deinceps. Ut genera linearum hunc in modum a se mutuo distingueret, non aliud eum movit, quam quia, sicuti aequationes quatuor dimen,
spoum,per repulam a pombellis traditam,
168쪽
Ε Ε Ε, E N T 1ες ess negotio deprimuntus ad alias, quae tres halitum continent dimensiones; sic etiam reisui possit inveniri, per quam aequationes sex Mimensionum ad alias quinque , aequationes oecto dimensionum ad alias septem , atque ita
porro deprimi queant Interim regula ista non adhuc Algebrae cultoribus innotuit. Et deinde, si eam reperiis te liceret, ut iam olim acutissime Fermatius adnotavit, nec etiam usui nobis esse posset ad
deprimendas aequationes,quae duas incognitas comprehendunt a cujusmodi sunt illi , per
quas linearum natura definitur. Quare consequens est, ut nullo quiden solliti fundamento Cartesius genera linearum duabus di. mensionibus a se mutuo distinxerit.
VI. Rectius igitur alii siquast
oearum ordines a se invicem unica tantum dimensione . Quem in finem vocant lineas primi ordinis, quae aequationibus simplicibiis , c. - - unius dimensionis definiunturis vocant sineas secundi ordinis , quarum aequationes ad duas
dimensiones ascendunt vocant lineas tertii ordinis, quarum aequationes ad tres dime sones assurgunt patque ita deinceps. Patet autem hac ratione , dicendas esse
Iineas ordinis infinitesimi, quae aequationibus, ad infinitas dimensiones ascendentibus, de aliuntur. Et quoniam huiusmodi sent lineae illae , quas Cartesus mechanicas appellavit; liquet , ordinem harum linearum omnes alios sub se comprehendere , nec ideo a Geometria exulem esse debere , quemadmodum arte
169쪽
1ε SECTIONUM CONICA Ru MJam in lineis ordinis primi nulla curva sed sola recta continetur. Unde, si curvarum genera sint distinguenda , erunt curvae primi seneris , quarum aequationes quadratum , vel revingulum duarunt incognitarum non ea
cedimi; erunt curvae secundi generi , i aequationibus definiuiitur trium dimensionum erunt curvae tertii generis , quarum aequationes ad quatuor dimensiones ascendunt; atque ita deinceps.
Eadem linearum distinctio repeti qumque potest a numero punctorii , in quibus a
recta secari possunt. Nam generaliter aeq-tio cujusque lineae ad tot dimensiones ascendit, quot sunt puncta in quibus recta eam secare potest at ideo erit linea Ordinis primi, quam recta secat in unico puncto klinea ordinis secundi , cui rem occurrit in duobus punctis linea ordinis tertii, quae in tribus
punctis a resti secari potest atque ita de aliis. vii Vil. Linearum ordinibus constitutis,fμoue modo erila, ct ipsa Aca geometrica, quae t
ιννα, 'D areis terminanta , in certa gesera dissipescere. ι- . , .. Erunt enim loca tam generis, quae lineas
τοῦ pri in ordinis pro suis terminis habent perunt
a. loca secundi generis , quae terminantur lineis ordinis secundi; erunt loca tertii generis,quae agnoscunt ut suos terminos lineas ordinis tertii; atque ita deinceps. Quoniam autem ad primum ordinem μnearum nulla curva, sed sola recta revocatur, perspicuum est , loca primi genetis, non aliis lineis , quam rectis terminari. Quumque mcundum ordinem linearum constituant com
170쪽
E L E MAE iεν semones in praeter eo nulla alia cum ad eum ordinem reseratura perspicuum est quo-.que, loca secundi generis, non aliis lineis, quam coni sectionibus, circumscribi. Inter sectiones vero coni ponendus est etiam circulus I ut qui, ex superius ostensis velut species quaedam ellipsis debet haberi Unde locorum secundi generis alia erunt ad Iarabolam alia ad ellipsim , alia ad circulum, alia demum ad hyperbolam Quumque hyperbola considerari possit, vel quis ad aliquam eius diametriuii, vel in ordine ad suas asymptotos a duae hinc locorum ad hyperbo- Iam species communiter a Geometria disti
VIII. at quidem , quod recta sola consti vii I. tua primum ordinem Mearum solisqm adeo erzeoctis loca primi generis term tur iacile prim i uinerit ostendere. AEquatio enim,quae duas ne et ' : a gestas continens, ad unam tantum diniensi nem ascendit, potest esse quadruplicis rave, et scilicet misisy e, vel xl b inam vet
harum sequationum posse per rectam solam explicari. Sit itaque primo in m tueatur re Fio. r. m quaevis AB,per cuius portionera AN designentur valores incognitae, Capiatur in AB portio A in a at constituto ad punctum Dangulo quovis ADE, fiat D i. Ju gantur deinde puncta per rectam AE X. Et actis rectis NM ipsi Eparallelis, terminatisque ad rectam AEX,ηabunt istae