장음표시 사용
171쪽
is SECTIO NuM ONICA Ru Myalores correspondenus alterius incognitae Ponatur enim unaquaeque portio AN-,in quaelibet rorurum NM - ν Jamque, ob triangula equiangula ADE , AN M , erit, ut AD ad Dri, ita Amad NM. Quare, substituendo symbola harum tectarum, erit, ut sad c , ita, ad I S propterea , quum sit odi: c; erit recta AEX linea, ad quam refertur aequatio καππ: c.
Sed notetur hic veliin, quod si rem AEX extendatur ad partem oppositam versus Z, etiam per ipsam AZ explicari possit aequatio x-vrc. Nam , etsi in isto su sit AN
-- x, Nw- νοῦ adeoque reperiatur
terminis ad partes contrarias , rursus habebi
i. I. X. Sit secundo xlbraeo: c. Designen- - - tu quoque per portiones AN rectae alicujusFι -7ῖ -valores incognitie re ac, sumpta adit sam oppostam portione Az- b, abscindatur ex tot m portio alia Cotidi a Consti tuatur deinde ad punctum D angulus quivis CDE,&fiat DE in c. Jtingantur postea Puncta per rectam EX AEt actis rectis NM ipsi DE parallelis , terminatisque ad re-etiim Ex dabunt istae valores correspon dentes alterius incognitae,. Ponatur enim unaquaeque portio AN -- . quaelibet rectarum in Erit igitur quaevis ipsarum C - 4 Quumque triangula CDE GNM sint aequiangula, erit, ut CD ad DE .it CN ad NM . Quare Miubrogatis symboli harum rectarum, erit, ut in
172쪽
L E M E N T 3 ερα ad e, ita 'bad , adeoque , quum sit xlh - ο c; erit recta EX line , inquam refertur aequatio xl mo'; sed hi quoque notatu dignum existi
mo, quod dum per punctum A recta AP, ipsi D parallela , explicari possit aequatio: ' missa': c non solum per rectae Exportionem Fς, verum etiam per portionem alteram CF. Etsi enim in isto casu sit AN - oeamanet tamen, tum NM di,quam μήλ. Quare, ob triangula aequiangula CDE, CNM, semper erit, iQuin imo, si recta in extendatur ad
partem oppositam versus Z, etiam per ipsam CZ explicari poterit aequatio xlb a':c.Nam relate ad puncta Ipsius CZ fiet AN --,
translatis terminis ad partes oppositas, evadeo rursus ut antea: ' bis odii X. sit tertio ae Limam: c. Reserant adhue portiones Amre in valores om nes incognitae , Capiatur supprea, tam pux Fio. 3.tio AG V, quam portio CD in a. Tum, constituto ad punctum D angulo quovis CDΕ , fiat DΕ - . Jungantur postea puncta C, a per rectam EX. Et ductis rectis NM ipsi DE parallelis , terminatisine ad rectam EX. dabunt issim valores correspondentes alterius incognita F. Ponatur eium quaevis portio A in re, quaelibet tectarum M vis. Erit igitur unaquaeque ipsarum CN Et quoniam triansula CDS, CNM sunt aequiangu
173쪽
i' SECTIO NuM CONICA Ru Merit, ut CD ad DE, ita CN ad NM . Q re, substitutis symbolis harum rectarum, erit, ut Oisc, itare Θωγ proindeque, quum sita: ---bmeo': c, erit recta CEx linea, ad quam resertur aequatio, d - a: rNee silentio hoc loco praeteribimuSs quod , si per punctum A ducatur recta AF, ipsi DE parallela , quae conveniat cum rem
CEX, producta ad partem oppositam, in puncto F; aequatio, eis adi: explicari possit etiam per portionem CF. Etsi enim in isto e su sit NM---ν, quia tamen manet in
direx, set CN-b--re. Unde aequatio erit
W- - ποῦ ἔ quae , translatis terminis ad parte contrarias,evadet, is brudio c.
Quin imo , si ipsa CF extendatur ulte rius versus Z, eadem aequatio, -- θάαργοῦς
explicari quoque poterit per portionem aliam indefinitam FZ . Nam relate ad puncta ipsius FZ, fiet AN---x NM---ο ,&CN--reli. Unde aequatio erit --. et bin--vrc: quae per translationem terminorum ad partes oppositas, evadet rursus ut antea
xi I. Sit demum ruinaν: . Destinae gnentur pariter valores incognitae, per po Fic. tiones AN rectae alicujus AB at silmpta si per A portione AC erui, capiatur ad partem oppositam i,inrtio alia CD E a . Constituatur deinde ad punctum D angulus quivis CDE sati Iungantur postea puncta C . a per rectam CEx . Et ductis rectis NM , ipsi parallelis terminatisque ad restities X, dabunt ista valores corrersto
174쪽
spondentes alterius incognitae . Ponatur enim quaelibet portio AN iae. quaelibet rectarum NM medi. Erit igitur unaquaeque ipsarum C N-b-x. Et quoniam triangula CDE, CNMiint aequiangula erit, ut CD ad DE, ita CN ad NM. in re , substituendo symbola harum restarum,
erit, uti ad c ita l=-xad ': Sciropterea , quum sit b-xΣΣιise, erit recta CEXlinea, ad quam refertur aequatio bi---vrc. Hic etiam notare oportet, quod ducta
per punctum A recta AF ipsi m parallela, explicari possit aequatio b x- ποῦ , non selum per resties x portionem finitam CF,
verum etiam per portionem aliam indefinitam FX. Etsi enim in isto casu sit Nei--x, manet tamei . tam NM ω', quam CN, - ας adeoque,o triangula equiangula CDE, M semper erit L . mira asta c.
Quin imo , si recta CEX extendatur ad partem oppositam versus , etiam per ipsam CZ explicari poterit aequatio' Μααο: c. Nam relate ad puncta ipsius CZ, etsi fiat Nw---F, quia tamen manet Aeses reterit
CN - - , . Unde aequatio erit x - μή --ar: t quae per transpositionem terminorum ad partes oppositas,evadet rursus ut idi
XII. Atque hinc, aliud agentes, iam me XIL - aperuimus, s struemulea omnia,quae Σ' funt ad lineam resam. uatio enim lac si
quae construi debet, inino necesse est , ut is ιε--- formam habeat alicuius ex quatuor praece Σ' - ' dentibus aequationibus . Quare, ea compert3, satis
175쪽
1τM SECTIONUM CONICARUM satis erit illas inter se mutuo conferre, tmutua ista comparatione determinare Mores quantitatum , quibus locus definitur
Ut si in tesolutione alicujus problematis indeterminati inventa fuerit aequatio ex tur -'; divisis teritiinis omnibus pore , fiet ea x Fr g-B:ge, adeoque erit ejusdem λrmacum secunda aequatione ili xi c. Hinc, comparatis inter se mutuo terminis ipsiarum, Fin hahehitur bin f g, is es f adeo nempe , ut assumpta a j, fiet cim: g. Unde construetur locus quaesitus,capiendo AC in Similiter, si aequati , orta ex restatutione alterius problematis indeterminati, fit Histo rem iro;diridendo terminos oninea per ι'. evadet ea x, rem Finio. FLadem
que erit ejusdem formae cum tertia atqtratione x - , - ' Unde comparando terminos unius cum terminis alterius , habebitur
Atque ita quoque , si aequatio ita ex resolutione alicujus problematis inde terminati fuerit k mx - ν; divisis terminis omisnibus peris et illanim mina proinde que erit ejusdem formae cum quarta aequatio--b-x-ο c. Quare comparatis inter
se mutuo terminis ipsarum , fulmeisituri in D cm, xo. - , sive etiam . . Unde construetur locus quaesitus , si posita AC aedirio. --β m. apiatur CD cuiusvir lonsitudinis, ac fiat
176쪽
tematinc ita finem eligere,vel formulam Prio ad cum rem , tiae est omnium simplicissima , vel ali με -
quam trium posteriorum , quas casu compositi reducuntur. Quum eligitur sis illa prioris ramam in id maxime incumbendum, ut stastitutiois ope ad eam reducatur localis aequati propo ι . Nam reductione ista peracta , facile erit quaesitum locum construere . Ita, si localis qualis sit 'Didie Ii divisis terminis omni bus per f, erit g Ἀχα v f. Et ponendos lx-a, erit a in D: s aequatio reducta. Referant modo portiones A rectae ' ψ 7 AB valores incognitae ae Et quoniam habe turgi acina capiend' ad partem mussitam AC ei dos gnabunt portioneam valores incognitae a. Quare,si ex CB abscindaturior tio CDrat e , c constituto angulo quovis
tur per portiones Amistius AC alores in 'cognitae x fiet unaquaeque reliquarum Ortionum Mimn Q adeoque ipsae N e-
unabunt Mores inera ta a. Unde si
177쪽
1ν SECTIONUM CONICARUM , producta si opus, abscin latur portio CD in n. L constituto angulo quovis CDE, fiat D eis; erit recta EX loeus optatus
L . x V quod si autem eligi velit aliqua
inu trium posteriorum ranularum , veluti secunt z. .: da 'βααο et , sive etiam x Ἀ-a': I. - ', tunc oportebit , comparationis ope , dem -ν,-- n re quantitates quae locum determinam . Et siquidem omnes inveniuntur positivae, danda est rectis , quas referunt, illa eadem positio. quam in constructionemrmulae reperiuntur habere. Sed, s earum aliqua prodit negativas tunc recta , quam exhibet , capienda est ad plagam oppositam.
Jam quantitates, quae locum determinant, unca, δ, c. Verum instituta compararitione, dumtaxat ipbus , valor innotescit. Et quantum ad alias duas a. c, nonnisi ratio, quam habent inter se, cognita siet. Hinc, immitis ex iis sumi poterit ad libitum. Et tunc per cognitam rationem , quam habent inter se, etiam valor alterius notus evadet. Prae . stat autem, utcumque assumere valorem ipsius c, quem tamen positivum semper esse oportebit.
Sit igitur x-ffs: rami aequatis loralis construenda.Instituta comparatione,h bebitur , ----- - f re. are, an sumpta o ,eritραα- g. um ergo Fio.νή μ' xum AC, CD comperti sint negatruvi . ducenda sunt eae ad plagas oppositast proindeque quaesiti loci constructio peragenis da erit , ut in quarta formula , ad quam pio- rosita aquatio proprie reducitur.
178쪽
proposita . Comparatione instituta, habebitueὸ ο, az cmmin: proindeque, assimiptac Mn, fieto in Quum ergo valor rectae
AC compertus sit iustus .evanescet ipsi AC, cadetque minctum C super punctum A quare construetur quaestus locus, ut in prima sormula nimirum, capiendo super AB portionem AD - , constituendo utcunque angulum ADE , faciendo DUM conjunge
do demum puncta A, a per rectum A . XV. Sed nolo hi silentio reticere, quod miscus οὐ eam rectam exprimi pus per quotlinem claue unicam tantum inciem GT . ta- contineat clam enim eneralis inmuta, ταα
nulla habita signorum, quibus termini assis ciuntur , ratione est κ'ν- arte in o. Proinfecto autem in hujusmodi sequatione ratio,
quam habet a ad , quemadmodum potest esse aequalitatis , ita nihil etiam vetat, ut sit vela sitire magna, vel infinite parva. Sit itaque primo ratio illa infinite in gna adeo nempe , ut existente, quantitate sinita,st vicissim infinita quantitas a. ia gi Fio. a. tur in hoc casu punctum C abire debet inans et nitum fiet recta CEX parallela ipsi AB. Unde quaelibet parallelarum NM aequalis erit rectar DE S propterea , iisdem ut supra manentibus , loci aequatio erit, sec.
va deo nempe, ut existente o quantitate snnta sit per contrarium c quantitas infinita . Et quoniam in hoc alio casu abire debet in ins Fio. a.
nitum punctum Eiet recta CLX parallela ip- 6. si DE.
179쪽
sECTIONUM CONICA Ru M si DE. Quare, sicuti in recta CEX sunt omnin puncta M,ita super eadem CEX cadent parata Ielae omnes M. Hinc quaelibet portionum
AN aequalis fiet ipsi AC: proindeque loci α- quatio eritis in Nee silentio hie praeteribimus, quod ubi
ratio, quam habet aade, reperitur esse aequa-- litatis , tunc etiam portiones CN ipsis NMς ψ aeqtiales fiant. Unde si simpliciter quaestio siede explicanda sequatione , valore incognitae
ν exprimi poterunt,non modo per rectas NM. verum etiam per portiones ipsa CN, quae ad punctum C omnes terminantur. XVI. Quemadmodum autem , constrii . . ta Aione locorum ad lineam rerum,abunde nunc , zz liquet, rectam solam constituere primum e--ud amis dinem linearum solisque adeo rectis loca pri-zazet mi generis terminari ita etiam , construendo loca , quae conici sectionibus terminantur,
patebit Bis coxi sectiora secundum sine rum ordinem costituere, nec aliis , quam rimi ρε-- , semetri remris sica de M.
Constructionem horum locorum sequenatibus capitibus ostendemus . pro ea quoque
eandem illam methodum usurpabimus , qua mediante loca primi generi construuntur. Nimirum formulam unicani eligemus , quae sit, vel omnium simplicissima, vel omnium maxime composita in ope eius formulae cujus aeumque propositae aequationis constructionem exhibebimus. Sed hi quoque notare oport. , quod ubi eligitur formula omnium simplicissima; tunc pr*cipuum constructionis artificium in
180쪽
E L E M E N. R. 'ν eo stum sit, ut substitiitionis ope ad eam reia ducatur localis aequatio proposita totiescumque vero adhibetur formula omi tum maxime composita auia lahor omnis co se e tet, ut comparationis ope definiantur quai ritates quae locum determinant.
uua ratione loea ad parabolam combui possint, osenditur.
I. Iximus praecedenti capit , locati omnia construi posse , adhibita formula, quae casum continuut , vel omnium: 'i': implicissimum , vel omnium maxime compostum dum in parabola casus simplicissimus labetur , quum ejus punΠa muta ad aliquam .psius diti metrum referuntur per rem , παρ diametri illius ordinata. Sit igitur AB aliqua parabolae diameter,sio. 7. sitque etiam AD, tum parameter ejus di metri, cum recta , cui omnes ejusdem iam tri ordinatae sunt parallelae . Capiatur in para hola punctum aliquod ex quo demittatur ad diametrum AB rectam; ipsi AD parail la . Tum ponatur Amrax, MN my, AD Et quoniam , ob parabolae naturam , MN quadratum est aequale rectangulo DAN erit eiusdem parabolae localis aequatio F px. Jude, semper ac aequatio aliqua subinde redio