Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

191쪽

ira SECTIO NuM CONICARUM casibus priores duo sub tertio continentur, ais S formula parabolae , innium maxima coli, sis , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur.

Sit igituras aliqua parabolis diameteririo .sa sique etiam EG recta , quae exhibet, tum parametrum ejus diametri, cum positionem sua. rum ordinatarum . Agatur deinde AD ,eia

dem diametro parallela L per aliquod ejus punctum A ducatur quoque obliqua AB Sumatur postea in Ampunctum quod is C; ductis rectis AF CD, ipsi EG parallelis, po ' natur ACinn,cD-m, ADU DEGααρ,

Capiatur nunc in parabola punctum aliquod ex quo demittatur ad diametrum EF ordinata in conveniens cum AB in eum AD in R; ponaturque adhuc AN x,

NM ααν. Quia ergo AN est ad NR, ut AC ud CD; erit NR in nimis, adeoque,quuin duae AF sto inter se sint aequales , erit Molixi, -Ε quoniam AN estud AR,

ut AC ad AD; erit x, sive Fontas: et raProindeque erit E ira flax:Jam,propter Parabolam, O quadratuiti

propterea ωrmulam parabolae, omnium moxime compositam, comperta aequatio nobis ea hibebit. Perspicuum est autem,in hujusmodi lasemula re terminos affam νυπ' miniis

192쪽

ELEMENTA. ais quadratum persectum constituere, nee possis in ea descere terminum murat , quin simul desciat terminus alter m ex nn Unde verntas rogulae, superius traditae, pro cognoscendis locis ad parabolam , ex ipsa eorum formula generali prono alveo fluit. X. Sed ostendamus nunc , pro pacto,

construantur . Nimirum comparationis ope, am formae- desiniendae sunt primum quantitates, quae lo ui Tacum determinant . Et siquidem omnes inve niuntur positivae danda est rectis , quas rese Iet' ' runt, illa eadem positio , quam in figura formulae reperi utitur habere. Sed, si earum aliqua prodit negatives tune recta, quam ea chibet, ςapienda .s ad plagam oppositam. Ouantitates porro, quae locum determi-'nant, iunt , n, p,q,r,s. Verum, instituta irrumparatione , dumtaxat parum D, ,r v Iores innotescunt . Et, quantum ad priores duas m St, nonnisi ratio , quam habent in ter se cognita fiet. Hinc valor unius ex iis sumi poterit ad libit uni. Et tune , per cognitam rationem, quam inter se habent, etiam talor alterius notus evadet . Praestat autem, utcumque assumere valorem ipsius , quem tamen positivum semper esse oportebit. Determinatis vasoribus purum R, Fio.3a etiam quantitatis ivator innotescet . In triai gulo enim CAD notus est angulus ACD,velut aequalis angulo AN M, qui vel datus est, . vel sumitur ad libitum . Quare , ubi duo ejus latera AC,CD,designata per quantitates, Scui itinuiter nota sunt, cognoscemus quoque

193쪽

x SECTIONUM CONICARUM tertium latus AD, quod exhibet quantitas r. Speciatim autem erit mist, ubi valor ipsius m nullus reperitur quandoquidum, evane

scente CD , cadit A super AD , puncta

duo C. O coeunt in unum. illud quoque sedulo hi e notandum existimo , quod ubi valor parametrio prodit negativus , tunc ipsa parabola volvenda sit concavitate sua ad plagam oppositam . Nec ob stura est hujus rei ratio. Nam negatio illa. non tam assicit parametrum, quam abscissam. in quam parameter multiplicata reperitur. Unde, quum abscissa capienda st ad partem contrariam; omnino necesse est , ut parabola sua concavitate respiciat plagam oppositam. . .. 2 Oporteat itaque primo , conseruera

ae , τ' exhibet ad parabolam quia in ea deest termi- μωα nus xH, utique fractio amus, per quam ille in sermula multiplicatus reperituri, debet esse nihil aequalis . Unde , quum s ni α ο; per ea, quae paulo ante notata sunt , erit quoque mina; adeoque ipsa formul fiet ut ' π γ' qρ -- primis.

deque designatis valoribus incognitae x per Fio.83 portiomam rectae AB in existente Hrecta , cui esse debent equi distantes valorcs alterius incognitae, , construetur proposita aquatio in eum , qui sequitur , modum.

194쪽

Titin, ductas , ipsi AB parallela capiatur super ea portio FZ--: . Agatur posteam porallela rectae AH fiat eadem min.

Denique circa diametruma describatur parabola, ita maG exhibeat, tam parametrum ejus diametri, quam positionem suarum ordiis natarum. Et parabola,subinde descripta, locus erit quaeli tu . Ducatur enim ex puncto aliquom o dinata ad diametrum O, quo extendaturusque donec ipsi AB occurrat in Et, positis N, sive Fo x,&MNα I; erit mconstructione EO - aa: c-x, S MOων. Sed propter parabolam , Mo quadratum est aequale ad tangulo GEO . Quare eritas 'oo oo - cx , sive etiam v aa lux o, quae est aequatio construenda.

similiter cum exbint ad parab. .

Quia hic adest terminus v Linstituis compa ---

ratione habebitur primo mum m a c. Quare, assumpta n , fiet ametra .raa, Gue etiam n - Comparati autem teris

ra stas: cc - 2aa . Et quoniam relate ad quantitatem cc 2 a tria contingere possunt; Ponamus , cc majorem esse quam a qua a

tione, ut positiva est quantitas cc -- os, sic

195쪽

rq SECTIONUM CONICARUM valores ipsarum L, Sr erunt pariter positivi. Fio.84. Sili4m AB recta, per cuius portiones AN designantur valores incognitae, L ea, cui aequi litantes esse debent valores alterius Incognitae, , sit AH . Capiatur in AB portio AG e, ducta CD, ipsi AH parallela, sat eadem CD --iungaturque AD axtendatur deinde AH versus x. Et constituta AF ducatur per punctum F recta Eo i rallela ipsi AD Fiat postea FZmmaas: ----aam in ponatur parameter describendae parabolae EG - acl: r. His peractis, destri nitur parabola es a diametrum EF, ita ut recta EG designet, tam

Parametrum ejus diametri quana positionem suarum ordinatarum . Et facile erit ostende re , quod per eam fiat satis propositae aequa

tioni . Nam , dum ex aliquo eius mineio ordinata ad diametrum in quae occurrat lassis,AD in N, R, positisque AN Ma Nwrer a erit , ob triangula aequiangula A CD, AN R, NMm ax S AR, sive Fo

cta exhibebit aequationem propositam DP,.../-. ti tu, Nolo autem hoc loco reticere.quod quem

196쪽

x L E MAE N T A. y quemadmodum vatores quantitatum , ct μ εα δε- inveniunturibsitivi, quotiescumque cc ma '

jor est, quam et aara ita iidem valores prodant Fio.8 . negativi , ubi per contrarium cc minor est, quam a . Id vero quum contingit . non

aliud fieri debet, quam sumeret ad partem contrariam, iptimque parabolam subii de describere, ut concavitate sua respiciat quoque lasam oppositam. sed seri quoque potest , ut stic me zaa.

Quumque in hoc casu quantitas cc et aa fiat Iaihilo aequalis , evanescet quoque valor parametri a ipsa autem, infinita reperietur. Id vero mirum censeri non debet . Nam ubi habetur c - ara, duo parabolae crura vem

tuntur in binas rectas , diametroa paralisias suarum una est ipsi AD , transiens per punctum Aa altera in eadem a diametro stantia jacet ad partem oppositam.

Nec sane dissicile erit , veritatem huius ostendere . Quotiescumque enim habetur cem a perit cetra o P adeoque aequatio

Huic autem aequationi fieri satis per Gmni AD,perspicuum quidem est. Nais,quum

197쪽

AD, aliam exigat ei parallelam ad partem auturam ipsius ΕF. xiv IV. Caeterum, in compositione lacinuim

et: 'e parasitam illudβduo notari debet , quod

----- existentibus , , duabus construendae ορ-- T. quationi incognitis , fieri quandoque possit. - tu is ii designari debeant per portiones Amrectae AB, alores incognitae I , perque rectas Mualores alterius incognitaex.Nec sane in utraque loca construendi ratione difficile erit d finire, quando demum id fieri debeat. Nimirum , quum construitur locus, per reductionem aequationis ad sormulam simplicissimam, fieri id debet, quotiescumque in aequatione reducta per parametrum multiplicata ruperit ut, vel incognita di vel quae ex ipsa dependet . Sic aequatio xx- 2 misetationem illam exposcit. Nam faciendo r,SI' aa: e Σαὰt,habetur loco ejus limalia Eanracu ubi incognita, , quae reperiatur per parametrum multiplicata, dependeteXI , quum siridi' aura Quotiescumque vero construitur locus, per reductionem aequationis ad formulam compositam, illud idem fieri debet, quando in aequatione construenda quadratum me gnitae eis omni fractione immune reperituri

198쪽

Patet autem , dari posse loca quaedam. quae utroque modo construi queant. Huiusmodi est sequens crinauio xx-aa 4 Μ -

2ax Nam primo in ea utriusque incognitae quadratum omni vacat fractione . Et deinde, si fiat habebitur loco ejus haec alia ae raraam si vero ponatur x--. - , Assa amat, fiet aia in au aequatio reducta. illud quoque perspicuum est, quod ubi aquatio construitur , per reductionem ad sormulam compositam, eademque natura sua mutationem illam exposcit,debeant etiam ii formula incognitae variari. Sic formula , cum qua comparanda est aequatio xx aut 'oo uc - ax abo ccxmo, haud qui

C A P. IV. Ratio construendi Aea ad eui imos circulum aperitur.

I. Stens, qua ratione loca ad parabolam construunturo sequitur

199쪽

ea ρ D ' nunc , ut eorum , quae sunt ad ellipsim , condstructionem aggrediamur. Cum iis autem com-U'it', ungemus quoque loca , quae circuli circumferςnxia terminantura quia, ut saepius dictum est, circulus velut species quaedam ellipsi ρρbet haberi. Primo igitur ostendemus , quo pacto, ea ad ellipsim construantur, adhibita sermula, quae casum continet, omnium simplicissimum. Et in ellipsi quoque , non secus ac in parab Ia . casus simplicissimus a abetur , quum ejus puncta omnia ad aliquam ipsius diametrum, feruntur perrector, guae με diametri illius ordinata.

Fio. s. Sit ergo A centrum ellipsi. BC MLqua ipsus diameter . Sit etiam BD , tum par meter ejus diametri , cum recta , cui omnes ejusdem diametri ordinatae sunt parallelae Capiatur in ellipsi punctum aliquod ex quo demittatur ad diametrum BC rectam , ipsi BD parallela . Tum ponatu AN x, MNAB, vel AC d. Ρm, ubi turam ellipsis,MN quadratum est ad disserentiam quadratorum AB, AN, ut est BD ad BC . Quare, si ponamus BD esse ad BC , ut est at ad m, erit, ut iii ad m, itan addὐ- ας proindeque ellipsis localis aequatio erit radidi pex . Unde semper ac prinquatio aliqua ad istiusmodi formam reduci po-

manuducet.

Sed notetur hoc loco velim , quod etsi ordinatam cadat insta centrum A , adhuc, men eqVatio iocali ellipsis it m ni d.

200쪽

M E N T A. Isν---. Nam , licet in hoc casu habeatur Nini nihilominus ejus quadratum est semper se . Et ob eandem rationem eadem adhuc erit ellipsis aestuatio iocalis , ubi ordinata du citur ad diametri partem oppositam quia, etsi fiat MN quadratum tamen ex Nsemper erit n'. II. Neque vero dissicile erit definire, qua II. iis esse debeat aequatio , quae subinde reduci: Iz

- duae non reperiuntur simul multiplicolae, I reducetur ad eani imam talis aequatio, si ab

utraque ejus parte existant quadrata incognitarum contrariis signis affecta. Proponatur , exempli gratia , aequatio avii . . avis abx ovx.Fiat A Winu, Et quoniam habetur abi----bb ua; substitutioine peracta, erit ore. O-- αν stat,sive etiam-- ac αα MQ, cuis:σ.riat quoque ' - - . Quumque habeatur

arisb-- Τ. Et habebitur demum aga Dci ,--, quae est ejusdem formae cuni aequa se tione ellipsis v semia me. Quod si autem in aequatione incognitae duae simul multiplicatae reperiantur a tunc, ut illiusinodi aequatio sermani induat istius motis -d ex oportebit, utriusque incognitae

quadratum ita quidem in ea contineri , ut translatis ad eandem aequationis partem , tum

ςrminia, quadrata illa continentibus , cum N a te