Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

201쪽

iν SECTIONUM C NICARUM termino , incognitarum productum includente, debeat coefliciens unius quadrati minui nonnihil, quo termini ii possint simul quadratum perses um constituere. Ita si aequatio fueritv - avri avrc

μ 'ratur . Primo itaque imponatur construenda

Sac 'bb:-fFio.86. Ducatur in subiecto plano recta quaevis AB , ex qua abscindatur portio AC mida que, si designentur per portiones A istius

A valores incognitae e , fiet unaquaeque liquarum portionum CN - λ- x adeoque, quum habeaturi in iis,ipsae N designabunt valores incognitae v.

it deinde Curecta, cui esse debent, quia

202쪽

L E M A. squidistantes pis NM, quae valores referunt adterius incognitaedi. Et quoniam in reductione habeturo -- cine, abscindatur ex Dportio CVera es et ducta per punctum u-cta EF , ipsi C parallela , si et quaelibet o M-γ-a atque adeo ipsae OM valores res . rent incognitae a. Denique , quum aequatio reducta sito a cetrast -- uit,liquet, quod , si hinc inde a puncto E capiatur, tum EF, cum EG πιέdebeat esse FG quaesitae ellipsis diameter . Et quemadniodum ducta FH, ipsi CD parallela, diametri ejus ordinatae debent esse equid stantes reEt FH ita ,si fiat, ut FH sit ad FG, veluti est cado, erit eadem FH parameter is litis diametri IV. Ut autem ostendere possimus, elli impsim sam esse seram,od quam refertur aquatis πινν -- a st ab - ex juvat prius at a G. advertere, quod si fiat AB dupla ipsius Atae ir:

necessario transire debeat per puncta duo A,

B . Nam in aequatione , de qua agitur, si oronatur festiis , habebitur aia --κα- o, unde insertur , tum x eo, cum x is h.

Id quum ita sit, agantur rectae ΑΚ , BLipsi FH parallelae , ct capiatur primo in portione ellipsis KL punctum aliquod ,ex quo

demittatur ad diametrum P ordinata Mo. quae ipsi AB occurrat in N Jamque , positis AN SUM; γ erit ex constructionem , sive Eo, vel si is, vel x - b in Moαπαν - . Sed propter ei ipsim M quadratum est ad differentiam quadratorum EF,EO,

ut est FH ad FG. Quare erit utra- ac fi

203쪽

aeo SECΤΙDNUM ONIcΑRu Mad F-- aba: uva , ita Had o protiis deque eritarem cetas acutast M fabae uex, sive etiam OK. - avum ab - πνs locost valor ipsius ac th, ratur. Capiatur secundo in portioile esaipsis BGLpundium aliquod ex quo etiam demittatur ad diametrum FG ordinatam , ipsi AB occurrens in M. Et quamquam in isto casu maneat adhuc AN S MN -ra men erit semper CN, sive Eo b, Mo esse poterit, vel, vel e P. Int rim , quia quadratum,sive fiat ex θ - , si vo c.- , est semper IF a lucra rursuS, ob ellipsis naturam, erit ut antea ογγοῦς Capiatur tertio in portione ellipsis AFΚpunctum quodvis M , ex quo ducatur ad diametrum FG ordinata O, ipsi AB occurrens in N Patetque in hoc casu, manere quidem MN sed fieri AN - - . Hinc erit semper Cm, sive σαχ x, Scio esse

poterit, ut in casu praecedent , vel v- , vel ν . Quare , Ob ellipsis naturam , habebitur semper aequatio Drac asylac-ν--bbla -- , quae reducti siet

Capiatur demum in portione ellipsis AB

punctum quodvis M, ex quo pariter demittatur ad diametrum FG ordinata Mo, ipsi AB occurrens liam. Quamque in isto casu fiat AN, S MN - - erit CN, sive ΕΟ , vel . x vel x-b, Minerit semper oti Unde, propter naturam ellipsis, adhuc lis debitur aquatio ais: --avori ab M

204쪽

sum est, reducitur ad momF--,po nendo,---il a rex αακ, xlci hccisi, Sisce habea: aad bbc et a mus Dueatur in subjecto plano recta quRVi Fio.8 . AB, ter portione ejus AN designentur valores incognitae ας Quumque habeatur xlc siccisa 4 capiatur ad partem oppositam portio AC in et Mero. Ea quoniam sit

quaelibet in viis fit hccisa, designabunt

portiones CN valores incognitae, . Sit deinde Cretecta , eui esse debent quidistantes ipsa NM , qtiae valores reserunt alterius incognitae'. Et quoniam in reductione habetur 3 - o 'lax: caedit et, abscindatur ex

CD tum portio CE - , cum portio EF, quae sit ad AC ut e ad c Jamque comple- to parallelogrammo AE, duetaque Fa, ipsis NM occurrente ino, set unaquaeque M'em -alax: c adeoque ipsae OΜvalores referent incognitae Z. Quoniam autem rectae M correspondent portionibus ipsius FG utique debet eias Reentrum describendae ellipsis, Giostio suae diametri . Verum portiones illae Fotunc demum reperiuntur aequales ipsis N, ubi aequales sunt duae AC, FG. Unde procul

est, ut eaedem Fo designare queant olores incognitae uri adeoque, etsi aequatio reductast ccEE f - - , multum tamen abest,

ut sitfsemidiameter quaesita ellipsis, mutratio parametri ad uim trum sit aqualis eliquam habet Gad

205쪽

sECTIONUM CONICA Ru MItaque, ut definiamus, tum semidiameis trim describendae ellipsis , cum rationem pa-mnetri ad diametriini, sit AC ad FG, ut est c ad s.Qutimque irae ratione fiat quaelibet Fosu: c; si ponamus ulterius, quod quaesita semidiameter sit,in quod ratio parametri ad diametrum sit aequalis et , quam habet 1 ad maerit ejusdem ellipsis localis aequatio mete: n

αμα:u-F. Unde inlarturi: -- .a n, aegram se: Capiatur ergo super FG lilii inde a punctos , tum Fin, cum F iisti; istit HK diameter quaesiitae ellipsis. Ducatur porro per punctum H rectam L, ipsi CD parallela; fient diametri ejus ordinatae equidistantes rectae HL.Constituatur demum H talis io gitudinis , ut sit HL ad ΗΚ , veluti est inis; de erit eadem HL parameter illius diame

yi VI Hic etiam , ut ostendere possimus. aza tir hujusmodi empsim satisfacere,oposita aqua-

Fio. 7. AC capiatur portio AZ- hccia , ea neces sirio transire debent periunm duo A. P. Nam in aequatione, da qua agitur, si ponatur

Id , quum ita sit, agantur rectae A m

ii si CD , vel HL puadriae . Et capiatur pria

206쪽

loco F valore ejus accri abc3 aad bbc risue, istucitur ad odi' ' σν' -ν clinoox: clis in o. Capiatur secundo in portione ellipsis QS punctum aliquod ex quo etiam Gmittatur ad diametrum HK ordinata Mo, ipsi

AB occurrens in N.Et quamquam in isto casu maneat MNin F, fiet tamen AN v. Un

Diu ad diametrum, i, vidi tam , ipsi

207쪽

Captatur demum in portione ellipsis AP punctum quodvis M , ecquo pariter demittatur diametrum H ordinata Mo, ipsi AB occurrens in N . Et quoniam in isto casu ses, tam AN -- iliam MN - ν; te semper CN - Ulcis cmaa po-micis' hic ua, Scio in I ha in ax: de propter ellipsim,adhuc habebitur aequation ras ' ou Pilisaa exactra quam construere portebat. vii VII. Atque ita quidem conatuuntur isu τα , in ellipsim per reductionem suarum aequa,.tionum ad formulam simplieissimam.Videamusi h itaque modo, qua ratisne eadem sica ad ei psim construi debeant , reducendo earum quationes adformulam , quae sit omnium maxime composito Quem in finem , qualis sit istiusmo di formula operae pretium est , ut primo loco definiamus. Nimirum , reserendo ellips puncta Gmnis ad rectam positione datam, per recta, alias,quae sint diametri alicujus ordinatae; pera spicuum est , tria contii gere posse . Primo, uerecta positione data sit ipsa illa diameter Mindo ut sit aliqua ejus parallesa, Et tertis

208쪽

ΕLEMENTA. ilamum, ut angulum cum eadem diametro constituat . Unde sicuti , ex tribus hisce e sbus priores duo sub tertio continentur cita formula ellipsis, omnium niaxime composita , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur. Sit igitura centriim ellipsis , MFicali Flo. . qua ejus diameter,stque etiam Greeta,quae Exhibet, tum parametrum illius diametri, cum positionem suarum ordinatatum . Agatur

deinde AD Oiden diametro parallela in per quod ejus punctum A ducatur quoque obliqua AB Gumatur postea in AB punctum quodvis C; ductis rectis AF, CD, ipsi G. Parallelis , ponatur AC meis, CD in m , AD 4, ΕΗ, vel ΕΚ: t, H - , AF - q,ScCapiatur nunc in ellipsi punctum alia quod M, ex quo demittatur ad diametrum H ordinatam , conveniens cum AB in N cum AD in R; ponaturque adhuc AN in x, NM . Quia ergo AN est ad N R.

ut AC ad CD perit NR Σαχnx:n I adeoque, quum duae AF Ro inter se sint aequales, erit

209쪽

Σεε SECTIO NuM CONICARU Μ': at ira propterea larmulatii ellipsis, omnium maxime compositam, comperta quatio nobis exhibebit. Perspicuum est autem , in hujusmodi formula coessicientem quadrati, debere mi- Iaui nonnihil, quo priores tres termini di faxsu: πη mxx nn pssxx t tua constituere queant quadratum perfectum necineficiei te termino am deficere quoque debere terminiim alterum , in quo quadratum ata continetur . Unde veritas regulae, superius traditae, pro cognoscendis scis ad ellipsim, ex ipsa eorum formula generali prono alveo fuit. viii. VIII. Sed ostendamus nunc , quo pacro,

e m firmu-psim constra tur Mimi in , comparationis: C. 'a ope,definienda sunt primum quantitates,quae

M --- locum determinant. Et siquidem omnes invo' niuntur positivae danda est techis , quas r serunt, illa eadem positio, quam in figura formulae reperiuntur habere . Sed , si earunt altis qua prodit negativa I tunc recta suam exhebet, capienda est ad plagam oppostam. Quantitates porro , quae locum detere minant sint , ,s 'rit. Verum, inititura comparatione, dumtaxat ipsarum p q, ,

valores innotescunt. Et, thantum adiri res duas, Scis, nonni ratio, quam habent inter se cognita fiet. Hine valor tinnis ex iis sumi poterit ad libitum at tunc , per cognitam rationem, quam inter se habent, etiam

valor alterius notus evadet Praestat autem,

210쪽

sulo enim CAD notus est angulus ACD, -- sut aequalis angulo ANM , qui vel datus est, vel silmitur ad libitum . Quare ibi duo eius

latera AC GD , designata per quantitates n, Si, similiter nota sunt cognoscemus quoque tertium latus AD , quod exhibet quantitas C. Speciatim autem erit, , ubi alor

ipsius m nullus reperitura quandoquidem, evanescente CD, cadit A super AD , puncta duo coeunt in unum. Quantum ad valorem parametris ille

nunquam negativus potest oriri. Unde, quod in constructione locorum ad parabolam obser 'vavimus , nequit hic locum habere . Potius

valor semidiametrici oriri potest quandoque imaginarius . Et quum id contingit, indicio est, quaesitum locum contradictionem aliquam involvere Nec reticebimus ejusdem semidi metri valorem posse otiam interdum nihilo aequalem inveniri; an eo casu optata ellipsis ad simplex punctum reducetur. IX. Oporteat itaque primo, construere G IX. quaticinem v - ὼγ 'χον - acino, quae iscum exhibet ad eu Um . Quia in ea deest μὴ ιιι materminus, rue utique octimam: m, per quam ille in formula multiplicatus reperitur, debet esse nihilo aequalis . Unde , quum sit -- MPer ea , quae paulo ante notata sunt, erit quoque nisu adeoque ipsa formula fiet 3 f; s. 4m,