Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

211쪽

Jam instituta comparatione , habebitur pirat in c, a m -- ιτ, pr - - o, Scip-

liarum aequationum insertur, quod ratio para- metri ad diametrviri debeat esse aequalis ei, quam habet aad si ex secunda eruitur ναα-o, ex tertia retrao, ex quartam

dicit, set acri c): proindeque, des. Fio.89 gnatis valoribus incognitae per portiones

debent aequidistantes valores alterius incognitae ' , construetur proposita aequatio in eum, qui sequitur, modum Abscindatur ex AL portio AF ma.Tum.

ducta Fo , ipsi A parallela , capiatur super ea hine inde a puncto F tam portio FH, quani portio FK- Ο f rex Agatur posea Ha parallela rectae AL constituatur eadem, talis longitudinis , ut sit G ad

H in eadem ratione . quam habetis ad c . Denique diametro, describatur ellipsis, ita ut recta H exhibeat , tam parametrum ejus diametri , quam positionem suarum ordia istarum . Et ellipsis , subinde descripta imcus erit quaestus. Ducatur enim ex puncto aliquo, o dinata ad diametrum Mo, quae extendaturusque donec ipsi AB occurrat in M. Et, positisti AN, sive fΟ: ὸς, MN I, erit ea c

212쪽

xa ira , T A. oseonstructione O-F- a. Sed propter eulipsim , o quadratum est ad differentiam quadratorum FH, FO ait est HG ad K. Qua.

quae similiter sicum exhibet ad ellipsim. Hum is, Quia hic ades term jnus xy, instituta compara. '; - 2 Ltione, habe hi tu primo Em:nm - aa: .Quare, assumpta n Σα , fiet 2-- - 2a, sive etiam .s Comparatis autem terminis relu

atcc 2aa: cc, live etiam pratinaa: ss. Unde infertur , rationem parametri ad diametrum az-

qualem esse debere ei, quam habet aa adcis. Et quoniam ex secunda aeqtiatione eruitur m. λ, habebitur ope tertiae pr: Σα, .aalas, sive etiam pr: at -- ab: L. Quumque sit petratum M ss, erit per substitutionem rami fris ah s atque adeo, πα--is: a.

que por extractio m quadratae radicis, hab Bituris io sabbii: - - si): adeo nempe, ut

213쪽

,to SECTIONUM CONICARUM nisi sit abb maior, quam o, a lor ipsius , vel nullus , vel imaginarius prodibit. Ponamus ergo, ab majorem esse,quam MnEt, designatis valoribus incognitae, per por- tiones AN rectae AB, sit Avea , cui aequia distantes esse debent valores alterius incognitaeo capiatur in Amportio AC ie.Et,ducta CD, ipsi AL parallela, fiat eadem Draa, iungaturque m. Abscindatur deinde ex

AL portio AF in b, perque punctum Dagaintur recta FEO, parallela ipsi AD Fiat postea FR. a. Et hine inde a puncto E capi tu , tam portio Elm, quam portio EK αα

Ducatur porto G , aequidistans eisdem AL,in constituatur eadem G talis Ionis gitudinis , ut sit G ad HK in eadem prorsus ratione , quam habetis adcis . Denique diametro H describatur ellipsis , ita ut G exhibeat , tam parametrum eius diametri quam positionem suarum ordinatarum raeellipsis , subinde descripta, loeus erit quaesitum. Quod ut palam fiat, ducatur ex puncto aliquo mordinata ad diametrum M , quae occurrat ipsis AB in In N in Ra positi iaque A in . NM , erit, ob triangu

. d. Est autem ex constructione FZii a Quale erit reliqua E momo M a Jam ero , propter ellipsim i quadratum est

ad differentiam quadratorum Eli, Eo, ut est

214쪽

zLEMENTA. 11 HG ad HK. Itaque , qtiunt habeatur ut v

abb major sit , quam ra. Sed, si fuerit et hymi r nuranor quam ara tunc ejusdem semidiametri valor prodibit imaginarius , adeoque ipse locus construendus contradictionem aliquam ii volvet. Et denique , si habeatur abbin a tuis evanescet alor semidiametrio; atque adeo ipsi ellipsis describenda in centro F tota

Hinc, ut valor incognitae ν realis reperiatur,necesse est,quantitatem hyllaabx:caaxx:cc-aa, vel nilllam esse , vel positivam. Talis autem esse non potest, quotiescumque

a milia est, quam a . Nam posito, quod

a sit

215쪽

F qu m , velut compositam ex duobus quadratis nesativis, liquet esse realem , insgativam. Sed non perinde res est, quum abbis io est, quam o . Tunc enim poni debet au, νεια aoci adeoque , per substitutionem,

det hylla auexies, is axxice . abbdis, hoe est hbdis abxἰc-aaxx cc F , quam, perspicuum est , tunc tantum esse realem' negativam, quotielaumque sive abb- minor est , quam aa : fisame . cc. Nec item id accidit, quum habetur audimaa. Nam in isto casu illa eadem quantitas fiet b, 2 ab κ -- laxx Dcc , quae nulla evadit , si ponatur m hora . Atque hinc eli , ut in hypothesi , quod sit abb af elislipsis tota in centro colligatur. Nimirum, quia in ea hypothesi tunc tantum valor inc gnitaeo realis reperitur , quotiescumque ha

D . - quod existe latibus, Sc duabus construen-

,iz: aequationis incognitis , fieri quandoque

Wi Ni . t. possit, ut designari debeant per portiones AN rectae AB valores incognitaeo , perque rectas NM ualores alterius incognitaris . Nec sane in utraque loca construendi ratione dissicile

erit definire , quando demum id fieri debeat.

216쪽

E L E MAE N - si a Nimirum quum constru tur Iocus, per reductionem aequutionis ad formulam simplicissimam fui id debet, 'uotiescumque in aquatione reducta per fractionem aliquam multiplicatum reperitur quadratum, vel incognitae, . vel eius , quae ex ipsa dependet.

tur loco eius haec alia manent di eo uu ubi per fractionenim: i reperitur multiplicatum quadratum incognitaei, quae dependet ex x;

quum habeatiu4 -- 11 em a QSotiuscumque vero construitur locus. per reductionem aeqtiationis ad sormulam

compositam . illud idem fieri debet , quando in aequatione construenda quadratum i cognitaex ab omni fractione immune reperitur sic sequens aequatio ex amer: cstaav cc-aax αθ' retra exigit quo que eam variationem , quia quadratum incognitae, illud est, quod in ea omni fractione

denudatum occurrit. Interim , quum construitur aequatio, petreductionem ad formulam compositam, eademque natura sua mutationem illam expo

217쪽

,ic Ecetio NuM ONICARUM Fatendum est tameti variationem sim non esse absolute recessariam . Nam in priore exemplo , etsi per reductionem a turmZZ .mum cc xu , multiplicando tamen omnes aequationis te imi nos per u , eosdemque dividendo per m , si et ZZ ra ncc: -- nua:m, sive etiam sua : -- cc ubi perfractionem n: vi multiplicatum ruperitur quadratum lucognitae , quo dependet ex of quum habeatur It isti Atque ita quoquesin secundo exemplo, etsi aequatio sit xx casu fit aao cc --aax - 2by ὰ - multiplicatis tamen terminis omnibus per , iisdemque divisis per asta, habebitur ccxx: aaa cu: 'θγ- ccx:a- Mosaifc' aau et is ubi qua dia tum incognitae' omni vacat fractione . Nec

dissicile erit intelligere,quod hoc idem praestari possit in omnibus aequationibus, quae ad Eslips no a manuducunt. γη XIII. Duantum ad compositionem loco

σοUνMenda rum, quae ιrcati circumferentia terminantur,

ea fieri debet, perinde ac si loca ipsa essent Wumst ναι ad ellipsima quum revera circulus velut spe- 'i' ' res quaedam ellipsis debeat haberi annot stet autem, locum esse ad circulum , quotieticumque, constructo loco,parameter si aequalis diametro, ad quam refertur , itemque ordinatae rectos cum eadem diametro angulos constituunt quum non aliter ellips in circulum abire queat, quam quum duo ista contingunt. Proponatur, exempli gratia, construem da aequatis , avi ab X quae

218쪽

quatio reducti. Ducatur iam in subjecto plano recta F-- λ - uvis AB ex qua abscindatur portio AC παλ. Et siquidem designentur per portiones Ar istius AC valores incognitae, , fiet unaquaeque reliquarum portionum C; Ἀ-κέ adeoque quum habeatur λ -- , ipsae CN designabunt valores incognita: u. Sit deinde CD recta , cui esse debent quidistantes ipsae NM , quae alores referunt iusterius incognitae o .Et quoniam in reductione habeturo --.avie, abscindatur ex Dportio C ducta per punctum E GO EF, ipsi C parallela , set quaelibet M- a Ladeoque Uta ΟM valores rescrene incognitae z. Denique, quum aequatio reducta sit ae cc uir, liquet, quod si hinc inde a puncto E capiatur , tum EF , cum Ea i , debeat esse F quaesitae ellipsis diameter . Et quemadmodum, ducta FH ipsi CD parallela, diametri eius ordinatae debent esse quid istantes recta Fin ita si fiat, ut FH si ea FG in ratione aequalitatis, erit eadem Freparameter illius diametri. in constructo Igitur loco inventa est inrameter FH aequalis diametro FG,ad quam stitur . Uades, si ordinatae eiusdem diame-

219쪽

ais SECTIO Nu CONICARUMari GM rectos cum ipsa angulos constituane, iam ellipsis vertetu in circuluma dieOquo. componetur quaesitus locus, describendo cir iculi circumferentiam ex punctora tanquam centro . intervallo ipsius EF , sive EG.

De eonfructione si rum adsperbolama, relate ad dimmetros consederatam.

r. I. I Eliqitum a m est , ut constructio et .r ne locorum ostendamum, quum. . a ad hyperbolam nos dii cunt. Hiijusmodi loca a ,.... duplici speciei esse possunt Nam hyperbola,

s muta βm per tram terminantur, considerari potest,

elare, eius diametros, vel in ordine asias asymptotos Unde eorundem locorum e st ructionem duobus etiam capitibus eoiise plectemur in in isto quidem agemus de locis illis, in quibus hyperbola relate ad diametros consideratur , tum capite sequenti ea prosequemur , in quibus hyperbola sub contemplationem venit relate ad asyn apto tos. Tradituri autem constructionem loco tum ad hyperbolam, relate ad eius diametros consideratam . ostendemus primo loco , qua ratione ea construi debeant , adhibita brmi la, quae casum continet , omnium simplicissiamum at in hyperbola quoque , non secus azin parabola, ct ellipsi casus simplicissimug

220쪽

habetur, quum ejus puncta omnia ad aliquari ipsius diametrum referuntur per rectas , q/υς fit diametri tutaristaseata. sit ergo A centrum hyperbolae, BC IR aliqua ipsius dismeter . sit etiam BD, tum

parameter eius diametri, cum recta , cui omnes ejusdem diametri ordinatae sunt parallelae.

Capiatur in hyperbola punctum aliquod , ex quo demittatur ad diametrum C recta MN, ipsi BD parallela . Tum ponatur AN AB, vel AC ci. Jam , o naturam hyperbolae , MN quadratum est ad differentiam quadratorum AN, AB, ut est BD ad BC. Quare, si ponamus, BD esse ad BC, ut est, a m erit, ut madi, ita D ad xx id proindeque hyperbolae localis aequatio eritin iis uex M. Unde semper ac aequatio aliqua ad istiusmodi ommam reduci poterit, tunc ea ad hyperbolam, relate ad diametros consideratam,proculdubio vos manuducet sed notetur hoc loco velim, quod etsi orditiata MN ducatur in hyperbola opposita,

adhuc tamen aequatio localis hyperbolae sit vetis mox id. Nam,licet in hoc casu habeatur AN -κ, nihilominus eius quadratum est semper xx. Et ob eandem rationem eadem adhuc erit hyperbolae aequatio locali , ubi ordinata ducitur ad diametri partem o positam quia, etsi sat MN πα-- ν , quadra tum tamen ex MN semper erit m . II. Neque vero dissicile erit definire, qu