Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

221쪽

ris SECTIO NuM CONICARUM E et Prinio enim , si in aeqitatione incognItae α' duae non reperiuntur simul multiplicatae , reducetur ad eam formam talis aequatio, si in utraque eius parte existant quadratacine

gnitarum issidem signis affecta. Proponatur, exempli gratia , aequattondit' - 29 ac cibis xx . Fiat is diu. Et quoniam habetur ab τη-- ιγινε

ibu substitutione peracta, erit odidi: c 'π'

formae cum aequatione hyperbolae locali πιναν Quod si autem in aequatἰone incognitae duae simul multiplicatae reperiantur 'unc, ut illiusmodi aequatio λrmam induat istius mis:smaeae G, oportebit , utriusiue incognitae quadratum ita quidem in ea contineri, ut translatis ad eandem aequationis partem , tum terminis, quadrata illa continentibus, cum termino, incognitarum productum includente, debeat coeffciens unius quadrati augeri nonnihil , quo termini ii possint mul qua .dratum perfectum constituere. Itas aequatio merito F - 2ον' Αιradi: e' aais scillabae in o ponendor laamomie,eritv - 2υ Aav cf3oaxx cc aes

222쪽

III. Sed exemplis modo ostendamus, Ian

Ducatur in subjecto plano recta quaevia FLU-' AB, per cujus portiones AN designentur,alores incognitae, Et quoniam in reductione habetur x 'seu capiatur ad partem oppositam portio AC in b. QE tamque sat quaeli het CN b, designabunt ipsi CN,

Iores incognitae π.Sit deinde D recta , cui esse debent ae- quid istantes ipsa Nw, quae alore referunt alterius incognitaedi. Et quoniam in reductione habetur quoqueo 3 cerae, abscindatur

ex CD portio CE - α ducta per punctum Drecta EF ipsi in parallela, fiet quaelibet OM-θ- atque adeo ipso OMyalatea

reserent incognitae Denique , quum aequatio reducta se aggrcaraca db liquet, quod si hinc inde a puncto E capiatur, tum EF , cum G b,

debeat esse Facuaesitae hyperbois dianieteri

223쪽

axo ECTIONUM CONICARUM Et quemadmodum, ducta FH , ipsi CD parauleia , diametri eius ordinatae debent esse aequia distantes rectae FH ita, si fiat , ut FH sita ad FG, veluti est cada, erit ea in FH para-ter illius diametri.

o νιιια-- prius advertere , quod si super B capiatur

hinc inde a puncto C , tum Cc, cum CL dirariosa ossi 'inb hyperbola quidum principalis transiridebeat per punctum Κ, ejus vero opposta per punsum L. Num in aequatione, do qua agitur, si ponatur: mo, habebitu -- abae' xx, unde insurtur, tum in ' sacri bbh, cum aram, is ac l/b . Id quum ita sit , capiatur primo in or tione hyperbolae principalis EF punctum aliquod ex quo demittatur ad diametrum FG ordinata in ipsi Moecurrens in Jamque positis AN MN ααλ, erie ex constructione CN, sive EO xl b, ae io esse poterit, vel F-c, vel , c. sed . propter hyperbolam , o quadratum est ad disserentiam quadratorum ΕΟ a , ut est FH ad FG . Quare erit , ut a 2 ιζ hcc ad xx habit hue -- b, ita cladis et Unde siet φυγα-- aD - - fauem Capiatur secundo in portione altera eiusdem hyperbolae principalis Z punctuni aliquod ex quo etiam demittatur ad dia cmetruni FG ordinata Mo, ipsi Amoccurrena in m. Et quamquam in isto casu maneat si, fiet tamen MN Unde erit sem,

224쪽

cue atque adeo ob hyperbolae naturam, erit Tursus ut ante adi i -- αι γ μαα xxlais. Capiatur tertio in portione hyperbolae opposito LGX punctum quodvis A X quo adhue ducatur ad diametium FG ordinata o, ipsi AB occurrens in m. Et quoniam in isto eam fit AN MN - ν;erit CN sive ΕΟ--x-b, MO esse potexit, vel γ, vel o Q. Quare in byperbolae naturam , habebitur semper aequatio οπιν - ον fac1-- falix. Capiatur demum in portione altera ejusdem hyperbolae oppositae L punctum quodvis M , ex quo pariter demittatur ad diametrum FG ordinata Mo, ipsin B occurrens in m Quumque in isto calii fiat AN m, μαα - dis erit semper N i-

valore incognitae umque habeatur 4 c ccbeciam uri abscindatur ex AB

225쪽

ax, SECTIONUM CONICARUM bunt portiones CN valores incognitae v.

Sit deinde CD recta, cui en debent quidistantes ipsae NM quae valores reserune alterius incognitaeo . Et quoniam in reductione habetur, is fisax:ς- , abscindatur, tum ex CD portio CE rara, cum exa C. producta si opus, portio ΕΠ, quae sit ad AC, ut est et a ad c damque , complet paralleloin

grammo ΑΕ ductaque FG ipsis NM occurrente in O , fiet unaquaeque in I - alaaxica adeoque pis OM valore reserent i cognitae a. Quoniam autem rectae OM correspon-dφnt portionibus ipsius FGa utique debet enses centrum describendae hyperbolae in FG positio suae diametri. Verum portiones illae F tunc demum reperiuntur aequales ipsis CN ubi aequales sunt duae AC, FG . Unde procul est, ut eaedem Fo designare queant valores incognitius adeoque , et aequatio reducta siccara: αναααtu, F, multum tamen abest , ut sis semidiameter quaestor hyperbolae in ut ratio parametri ad diametrum sit aequalis ei, quam liabet aa ad cc. Itaque, ut desiniamum, tum semidia meistium describendae hyperbolae , cum rationem

parametri ad diametrum sit AC ad FG, utem a s suumque liac ratione fiat quaeliabet Fo in sit: . ponamus ulterius , quod quaesta semidiameter sic, Sc quod ratio parametri ad diametrum sit aequalis et , quam habet, erit ejusden hyperbolae localis

226쪽

Capiatur ergo super FG hine inde a punctos, tum m , cum Fς ααfi: . erit ΗΚ diameter quaest hyperbolae tueatur porro per punctum H , recta HV, ipsi CD

parallela in fient diametri ejus ordinatae aris qui distantes reditae H L. Constituatur demum H talis longitudinis , ut sit Gad HΚ, veluti est aiadis L erit eadem L parameter illius diametres VI. Hic etiam , ut ostendere possimus, v.

aequati radidi, avd 4ax si Iaapex: ci , -- abiem ori juvat prius adverteres, quod si super AB capiatur ad parten oppositam portio Fio.9 Ainis abce 3aa, hyperbola quidem principalis nultimode secet rectam AB , ejus alitem opposita transire debeat per puncta duo A,&P . Nam in aequatione, de qua agitur , si ponaturo x o, he suaseae fata mi , unde insertur tum imi cum abG 3aa. Id quum ita sit , capiatur primo in hyperbola principali punctum aliquod in ex quo demittatur ad diametrum H ordinata MO, ipsi AB occurrens in N. Et quoniam hic poni debeta trux, S MN - erit ex constructione CN in x - ac te, io, Movel, , a fisai: c vel fa απια

Sed me ad F , ut AC ad FG, sive

etiam, ut e ad s. Quare erit FO a: e

Quia autem , propter hyperbolam, O

quam

227쪽

aeta at in ' ab pio. Extendatur deinde in hyperbola opposita ordinata AG versus I, capiatur in portione ejus AKI punctum aliquod ex quo etiam demittatur ad diametrum HK ordinata NO. ipsi AB occurrens in N et quamquam in isto casu maneat AN in x, fiet tamen CN-:-xfac' ccb aa; adeoque erit FO :-m: clari bic: aa. Quum e hie poni debeat μααν; erit adhuc Mo vel '-oe etainc, vel, ,haaax ct proindeque, ob naturam hyperbolae , rursus erit ut anteam as Aou: laaaxx cc habe: i. Capiatur tertio in portione hyperbolae oppositae AP punctum quodvis ex quo similiter ducatur ad diametrum H ordinata No , ipsi AB occurrens in N Fatetque , in isto easu seri, tum AN m, cum MN f. Et erit semper , tam CN πα- f

228쪽

CE MAE N T . 2ς Capiatur demum punctum M in aliqua duarum reliquarum portionum hyperbolae oppositis, ex quoi rite demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, ipsi AB occurrens

consideratam, per reductionem suarum aequa νεiate A

tionum ad formulam implicissimam . Videa .. za.z. mus itaque modo , qua ratione eadem si a adoperbolam constrara debeant reducendo ea. ..tii, a

rum aequatisne adformulam, quae sit mutam maxime co posita quem in finem, qualis sit eiusmodi formula, operae pretium est , ut primo loco definiamus Nimirum , referendo hyperbolae uiam omnia ad rectam positione datam , per rectas aliam, quae sint diametri a cuius ordinatae, perspicuum est, tria contingere posse . Primo,

ut recta positione data sit ipsa illa diameter. secundo , ut sit aliqua ejus parallela . Et testio demum , ut angulum cum eadem diametro constituat . Unde , scuti ex tribus iste

casibus priores duo sub tertio continentur, ita formula hyperbolae, relate ad diametros consideratae, omnium maxime composita , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur.

229쪽

ae, SECTIONUM CONICARUM aliqua ejus diameter Itque etiam HG recta quae exhibet, tum parametrum illius diametri , cum positionem suarum ordinatarum. Agatur deinde AD , eidem diametro parallola rac per aliquod ejiis punctii A ducatur quoqtie obliqua A . Sumatur postea in AB pii ne tum quodvis C; t ustis rectis AF, CD , ipsi H parallelis , ponatur σή π, CD, in Auri s EF vela in t HGCapiatur nunc in hyperbola punctum aliquod M, ex quo demittatur ad diametrum H ordinata O, conveniens cum AB in N. cum AD in x ponaturqnd adhuc AN -x, μαγ. Quia ergo AN est ad R. ut ad CD ; erit NM- mx: m adeoque,

quum duae AF ' inter se sint aequales erit O in Id x in f . Et quoniam Nest ad AR, ut AC ad AD; erit AR, sive FOααισ:n prc indeque erit Eo m Hl smi. Jam , propter hyperbolam, M quadratum est ad disserentiam quadratorum ΕΟ, ΕΗ , ut est HG ad ΗΚ . Quare erit, ut Il

ς 'ot: -- προ at mirin propterea formulam hyperbolet , relate ad diametros consideratae, omnium ma Xime compositam , comperta aequatio nobis erchibebit.

Perspicuum est autem, in hujusmodi

230쪽

here terminum alterum , in quo quadratum xx con tinetur. Unde veritas regulae luperius traditae , pro cognoscendis locis ad hyperbo. lam relate ad suas diametros consideratam, ex ipsa eorum rmula generali, prono alveo fluit. VIII. sed ostendamus modo , quo pacto, VlII. ope inventaformula generalis , loca ad per S'. Bolam , relate ad diametros consideratam construantur. Nimirum, comparationis ope, ta a definiendae sunt primum quantitates , quae Θρφνω m. Dcum determinant. Et quidem omnes in zzz ἡ 'veniuntur positivae a danda est rectis , quas q- reserunt, illa eadem positio , quam in figura ε cir formulae reperiuntur habere. Sed si earum aliqua prodit negativa I tunc recta, quam exhibet , capienda est ad plagam oppositam. Quantitate porro quae locum determianant, sunt an π p q, Verum, institu in ta comparatione, dumtaxat ipsarum pD tvatores innotescunt. Et, quantum ad priores duas m ,&m, nonnisi ratio, quam habent meter se , cognita fiet. Hinc valor unius ex iis fumi poterit ad libitum at tunc per cognitam rationem , quam inter se habent , etiam valor alterius notus evadet . Praestat autem, utcumque assumere valorem ipsius ii, quem

tamen positivum semper esse oportebit. Determinatis valoribus ipsirum , is, P. a etiam