Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

231쪽

11 SECTIONUM CONICARUMFio. s. etiam quantitat iis valor innotescet. In trian.

gulo enim CAD notus est angulus ΑCD,velut aequalis angulo AN qui vel datus est, vel sumitur ad libitum. Quare, ubi duo ejus uteri, designata per quantitates sis militer nota sunt cognoscemus quoque temtium latus AD , quod exhibet quantita s. Speciatim autem erit son, ubi valor ipsius m nullus reperitura quandoquidem , evanestente CD , cadit A super AD, iuncta duo C, i coeunt in unum. ldic etiam notare oportet, quod ierim deae in locis ad ellipsim , valor parametri pnumquam negativus possit oriri. Unde quod in constructione locorum ad parabolam Mservavimus , hic quoque nequit locum hahere Potius valor semidiametriis oriri potest quandoque imaginarius. Et quum id contingit, haud quidem putandum est, quaesitum Ioeum contradictionem aliquam involvere; sed tantum per hyperbola conjugatas illa debet explicari. Nec reticebimus, eiusdem semidiametri valorem posse etiam interdum nihilo aequalem inveniri in in eo casu optata hyperbola ad duplicis rectam reducetur. I IX. Oporteat itaque primo , conseruer

fmνο - tiolam:set, per quam ille in formula muuipli- eatus reperitur, debet esse nihilo aequalis Unde , quum sit an α ο; per ea, quae paulo ante notata sunt, erit quoque os; adem

232쪽

nem , fiet t- obc: proindeque designatis valoribus incognitae iersortiones AN re Fio.96. AB AE existente A tecta , cui esse de-hent aequi distantes valores alterius incognitaex, construetur proposita aequatio in eum, qui sequitur , modum.

Abscindatur ex L portio AF . Tum, ductas , ipsi AB parallela , capiatur super ea hinc inde a punctos, tam portio FH, quam portio Καα , M. Agatur po ;stea HG . parallela rectae AL. constituatur eadem H talis longitudinis, ut si H ad

H in eadem ratione, quam habetis ad Denique diametro H describatur hypeiho .la, ita uti exhibeat, tam parametrum eius diametri, quam positionem suarum ordia

natarum. Et hyperbola, subinde descripta, locus erit quaesitus oucatur enim ex puncto aliquo M ordinata ad diametrum o , quae extendaturusque donec , ipsi AB occurrat in N it positis AN sive Fo muc, MN erit ex P a con-

233쪽

hyperbolam , O quadratum est ad lasere iristiam quadratorum FH , ut est Gad H . Quare erit, ut Di aD soa ad xx --ho, ita cadis . Unde set . aa faminis ex c. ab , sue etiam 'ν υ cxxii a meto , quae est aequatio construenda. x Oporteat etiam , confruere aquatio-m'. iii, quae similiter locum exhibet ad Operb Din. Quia hic adest terminus γ, instituis comparatione , habebitur primo in aram aa: c. Quare, assumpta, in , sellam a , sive etiam 1α-- Comparati auritem terminis reliquis , habebitur quoque

pre: a m a. Hinc in prima harum aequationum, subrogatis valoribus ipsarum siet aa --- ρον atre α - amre , hoc est zaa -- prs: ic , sive etiam p atam a rus. Unde insertur, rationem parametri ad diametrum aequalem esse debere ei, quam habet acadss. Et quoniam ex secunda aequatione eruiturpem i,habebitur ope tertiae pr: mlaiau, sive etiam m. at se ab i. Quumque siti arra: aa:ssa erit per substitutionem aaduissem M.r, atque adeo, is: aa. Denique , ob quartam aequationem, erit hθ' t: -- bb: in a , sive etiam aahm a etsi a , aut a - Ἀνή p . Quum autem habeatur γ tu Moa sy, fiet quoqu

234쪽

si sit et aa major , quam , valor ipsiust, vel nullus , vel imaginarius prodibit. PonamuSergo, a majorem esse, quam

ιλ. Et designatis valoribus incognitaex per portiones Amredita AB , sit Auea, cui mquidistantes esse debent valores alie ius ii Fios . cognitae, . Capiatur in AB portio AC in c. Et ducta CD , ipsi AL parallela , fiat eadem CD mi , jungaturque Am. Abscindatur deinde ex AL portio AF ira b , perque punctum F agatur recta E parallela ipsi AD. Fiat postea FE ira Miai. Et hinc inde alui cto E capiatur , tam portio Eld, quam por-

Ducatur porro HG, equidistans eidem A , d constituatur eadem, talis longitudinis , ut sit G ad H in eadem ratione , quam habet 2 a ad s. Denique di i metro hi describatur hyperbola , ita ut G exhibeat , tam parametrum ejus diametri, quam positionem suarum ordinatarum . Et hyperbola, subinde descripta, locus erit quae stus . Quod ut palam fiat, ducatur ex puncto aliquo mordinata ad diametrum O, quae occurrat iplis AB in in m 8 R positisque AN MN Σα', erit, obtriangula equiangula ACU , AN R AERax:c, AR, sive Fora m c. Hinc, quum sit Mim 3 axwAE AF,

235쪽

propter hyperbolam, Mo quadratum est ad disserentiam quadratorum G, H , ut est

quationem propositamst amo: -- xx cc. abflaam: O. xi XI. In allato igitur exemplo, ut valor ποῦ' semidiametriis realis evadat , recesse est , ut ' II asta major sit, quam bb. Sed, si fueritis a mi- - nor , quam j, tunc ejusdem semidiametrIvalor prodibit imaginarius. In isto autem casu, ut superius innuimus , explicandus est

locus per hyperbolas conjugatas in fieri de-Fio.97 bet in vel Exies, ibris Maseus a)asic diffelle id erit ostendere.

Sumatur enim in altera hyperbolarum conjugatarum punctum aliquod ex quo ducat ut ad diametrum, ordinata Mo, ipsi AB occurretas invidamque, positis adhuc

236쪽

aequationes ad lineam rectam nos ducunt. Et quidem, quod evanescente valore semidiantetriis, hyperbola verti debeat in recto duas, in centro sese invicem secantes id generaliter vidimus supra, ubi sectionum coinnicarum ortum exposuimus. Qtiod autem mcus explicari debeat per irperbolas cori jugatas , quum ejusdem semidiametri valori prodit imaginarius; id universaliter pendet ex eo, quod in hyperbolis conjugatis quadratum cuiusque ordinatae proportione correspondet, non quidem differentiae , sed sum-m quadratorum , quae fiunt ex semidiametro, portione eius, ordinata, ct centro comprehensi Hinc notetur hoc loco velim , quod si construendus sit locus aliquis ad hyperbo tam , relate ad diametros consideratam , per reductionem ejus ad formulam simplicissi- in m aequatio reducta formam induat . non

237쪽

SECTIONUM CONICARUM non quidem istius mym: π α xx di, sed alterius huius νγ π - xxidd, tune ipse locus per hyperbola coniugatas poterit -- plicaria quum sic, ut madisi , ita quadratuin

ordinatae' ad summam quadratorum, quae fiunt ex semidiametroci, portione x centro ordinata cornprehensa. Neque vero mirum censuri debet, quod id superius a nobis non fuerit adnotatum . Si

enim reductae aequationis v in xx fratermini omnes multiplicentur pern iidemque dividantur per in set munis: mi ἐνω, sive etiam μή m v nddi m , quae proculdubio per hyperbolas principales

debet explicari. Unde , per reductionem aequationis ad formulam simplicissimam,semper casus vitari potest, qui ad hyperbola conjugatas nos manuducit

xii. U. Caeterum, in compositione locis s perbolam , relare ad diametros consider .aram, illud etiam sedula notari debet , quod ''-- , existentibus,,&ue duabus construendae minis etν quationi incognitis, neri quandoque pollit,

o ut designari debeant per portiones Amrectae οπιν AB valores incognitaeo , perque rectas NM ualores alterius incognitae . Nec sane in utraque loca construendi ratione difficile erit definire, quando demum id fieri debeat. Nimirum, quum construitur locus, per reductionem aequationis ad sormulam simpliacissimam , fieri id debet, quotiescumque ita αquatione reducta per fractionem aliquani multiplicat una reperitur iradratum , vel in

cognitae , vel quo , qua ex ipsa dependet.

238쪽

quum habeatur , - - .Qtiotiescumque vero constru tu locus,

per reductionem aequationis ad formulam compositam, illud idem fieri debet, quando inaequatione construenda quadratum inc gnitae, ab omni fractione immune reperitur. Sic sequens aequatio xx-aam: l aovaco gam abdit c - exigit quoque eam variationem, quia quadratum incognitaris tu lud est , quod in ea omni fractione denudatum occurrit

Intorim, quum construitur aequatio,per reductionem ad formulam compositam, eademque natura sua mutationem illam expo-4cit, necesse est , ut etiam in formula incognitae varientur sic sormula, cum qua comparanda est aequatio xx - 2am thoum a -2ox abs cc - , haud quidem es, debet, hamv:π' mxxisn--psso. 2tus pre at mio, sed, ra x mi mu nu

fatendum est , variationem istam non esse a solute necessariam . Nam in priore exemplo, etsi per reductionem habeatur mea s iu-m a multiplicando tamen Oina' quatio

239쪽

136 SECTIONUM CONICARUM nis terminos per eosdemque dividendo peem , fieti m nuutam a tam , sive etiam nu/ι -- aethnao: m ubi per fractionem

et in multiplicatum reperitur quadratum ilia cognitae at , quae dependet ex rium habe tur γ' a - st sicet ipsa aequatio explicari debeat per hyperbola conjugatas.

Atque ita quoque in secundo exemplo, etsi aequatio sit xx - au 'adix ac - 2am . ais ccimo, multiplicatis tamen terminis omnibus per acc, iisdemque divisis peras, habebitur accis νυ - μανοῦ '-- ccxi Moira hac' --ο ubi quadratum incognitae r omni vacat fractione Nee difficile erit intelligere, quod hoc idem praestari possit in omnibus aequationibus,qua ad hyperbolam , relate ad diametros conside

XΤΠ III. Illud quoque nolim hic silentio

praeterire , quod licuti ioca ad circulum reis

ε'. M'. Lui debent ad illa , quae sunt ad ellipsim sie --τοῦ isterio ad verbolam speciatm considota Vanda sint ea, quae hyperbola aequilatera te

minantur Innotestent autem hujusmodi loci, quotiescumque in eorum constructione oriatur parameter aequali diametro, ad quama fertura Proponatur, exempli gratia, construe da aequatio F - avd a --- ake,qua*adivperbolam , relate ad diametros consideratam, nos ducit. Fiat, tum cum x. hinu. Et quoniam habetur 5 γ ο'laam et , Sc xx. ab uiua Ἀως erit per substit utionem Z uu-b aequati reducta. D ,

240쪽

quaevis AB, te sigirentur per portiones itis AN valores incognitae, quumque in redu-mone habeatur x-οὐ s abscindatur ex

AB portio AG d. Et quoniam sit quaelibet CN-x- , designabunt portiones istae CN valores incognitae si . . Sit deinde C recta, cui esse debent aequidistantes ipsis NM,qua valores reserunt

alterius incognitae I . Et quoniam in reductione habetur quoque r- ι - , abscindatur ex CD portio CE Sc ducta per punctum E recta EF , ipsi in parallela , fiet quaelibet OM-ο -- adeoque ipsae M valores reserent incognitae a. Denique , quum aequatio reducta sit us liquet, quod, si hinc inde a pu Hossi capiatur, tum EF , cum G - λ, de-heat esse FG quaesitae hyperbolae diante ter. Et quemadmodum ducta FH, ipsi CD parallela, diametri ejus ordinate debent esse equidistantes rectae Fin ita si fiat, ut FH sit ad FG in ratione aequalitatis, erit eadem hi para . meter illius diametri. In constructo igitur loco inventa est, tameter FH aequalis diametro FG , ad quam

resertur. Unde consequens est , ut hyper-hola , per quam locus terminatur , sit equiis latera adeo nempe , ut non modo diameter

FG adaeque parametrum suam in sed domnes aliae di metri parametris suis equales esse debebunt. Caeterum , quum hyperbola aequilatera