장음표시 사용
241쪽
aas SECΤΥΟNuM CONICA Ru Mhyperbola fiat aequilatera, per solam aeqtialitatem parametri cum dianaetio , ad quam refer, tur, sed non item ellipsis , quippe quae ut in eirculum abeat , requiritur quoque , ut ordinatae tectos cum eadem diametro angulos constituant. Pendet id igitur ex eo , quod in quali-het ellipsi bina adsint conjugatae diametri uales , tam inter se , quam cum parametriuuis . Unde sola aequalitas parametri cuni dia--tro efficere nequaquam potest, ut ellipsis vertatur in circulum quum aequalitas illa uim in ellipsi possit haberi.
De constructione locorum ad 0perbolam, relate ad ast m-- ptoto consideratam Radua constructione locorum ad
,οῦ. ιz- hyperbolam relate ad diametros Mi consideratam Lostendemus modo qua rati - ἁ-a ne construenda sint loca illa , in quibus hy-: Gezimi Porbes sub contemplati m venit relate ad m, -- asymptotos . Et ut ab ea methodo ordiamur, quae formulam adhibet, casum omnium simplicissimum continentem, sciendum est , quod in huperbola , relate ad symptotos conliderata,casus simplici mimus habeatur, quum ejus puncta omnia ad aliquam ipsius D totum
242쪽
Sit ergo A centrunt hyperbolae sintque m.99. etiani AB in C duae ejus symptoti Capia tur in hyperbola punctum aliquod M, ex quo deinittatur ad asymptotum AB recta MN , asymptoto alteri AC parallela. Tum
ponatur AN MN damque ob naturam hyperbolae, rectangulum ANM est eiulciem ubique magnitudiiiis . Quare . si quantitas ejus voceturia, erit hyperbolae localis aequatio a Maa. Unde semper ac
quatio aliqua ad istiusmodi formam reduci poterit; tunc ea ad hyperbolam , relate ad asymptotos consideratam , proculdubio nos
Sed notetur hoc loco velim, quod etsi punctum M capiatur in hyperbola opposita, adhuc tamen aequatio localis hyperbolae sit: -oa. Nam , licet in hoc casu habeatur, tam AN x,quam μή mnihilominus rectangulum AN M semper per exprimi debet quum notum si ex Algebrae Et mentis , positivum esse productum, quod oritur ex multiplicatione duarum quantit
Notatu etiam hic dignum existimo quantitatem cujusque re tanguli ANM , perua a nobis designatam , vocari ommuniter potentiam hyperbolae; nec aliter, datis asymptotis , hyperbolam definiri, quam data etiam ejus potentia sua autem ratione hyperbo la in plano describi possit ibi una cum ejus asymptotis data est quoque eiusdem potentia id quidem in serius ostendemuS.
II. Neq*u vero dissicile erit desiniri, M. .
243쪽
Ceaia Primo stillim queniadmodum in formula liminis cognitae duae simul multiplicatae reperiuntur; sic etiam non poterit aequatio aliqua ad cam
formulam revocari, nisi coiuineat productum duarum incognitarum.
Sed productum istud necesse est quoque , ut vel cum nullo earundem incognitarum quadrato , vel cum uno tantum conjungatur: adeo nempe , ut si ambo meruit in quatione quadrata incognitarum, locus nunquam erit ad hyperbolam,relate ad suas afvmptotos consideratam , sed , per regulas superius traditas, erit, vel ad hyperbolam consideratam relate ad diametros, vel ad ellipsim, 'el etiam ad parabolam. Proponatur, exempli gratia, aequatio x -ax-ο---- - , ubi productum incognitarum cum nullo earum quadrato
coniungitur . Fiat F. ιν - sive etiani F- erit per substitutionem Efax tax L ab ac in oci sive etiam xZ ha - ab ,- ac mi Fiat quoque x imit, ita ut sit xE. Minua; erit rursus ope substitutionis avet ab ac amo. Hi
ye etiam uam: Faequatio reducta. Proponatur etiam aequatio ax xx tu ac mi , ubi produdium incogni
tarum cum uno tantum earum quadrato con
iungitur . Capiatur, ' hie aclive etiam xtras b. Et ponendo ubique s -- , loco m
244쪽
mo itiique proponatur construenda eouatio F --ο -- sic mi, quae, ut paulo ante M Atinis ostensum est , reducitur ad uΣ--st ponendost a min, x-- hineu, ScablacmfDucat ut in stiriecto platio recta quaevis AB, ex qua abscindatur portio AC in h. Jam que, si designentur per portiones AN ipsius A valores incognitae, , fiet unaquaeque re δμφ' liquarum portionum μααα--b, adeoque, quum habeaturi st,ipta in detagnabunt valores incognitae v. sit deinde C recta , cui esse debent ae- quid istantes ipsa Nw, quae valores referunt alterius incognitaeo . t quoniam in reductione habetur di abscindatur ex
CD portio CE ducta per punctum Trecta EF ipsi CA parallela fiet quaelibet OM -' - as atque adeo ipsae OM valores
reserent incognitae a. Denique , quum aequatio reducta sit uamst, liquet, debere esse pi in Stuma centrum describendae hyperbolae de rectas D , EFasymptotos ejus . Describatur ergo hyperbola ista, sed ita tamen, ut stFpotentia eju ,
245쪽
a 4 SECTIO Nui CONICAMU ως idem erit terminus loci propositi.
2 tem opposit ni portio AG - , hyperbola
D--- ο quae est aequati consstruenda. Duca itur nunc ex punctis Aid se in hyperbola opposita rectae AH GK, ipsi EDi rallatae . Tum capiatur secundo punctum alta quod min portionem ipsiu hyperbola*oppositae,eas quo demittatur pariter, asym
246쪽
etiam ducatur ad asymptotum EF recta Ο, alteria parallela , conveniens cum AB in Patetque , in isto casu fieri, tum N -- x , cum MN ---y, adeoque esses, ut in ea su praecedenti, CN, sive EOerab x ,
MO αα- o. Ouare, o hyperbota ita turam, invenietur Omper quatio ς --ax Capiatur denique punctum M in portione reliqua Z hyperbola oppositae, ex quo similiter demittatur ad asymptotum EF recta in alteria parallela , conveniens
cum AB in Ν . Et quoniam in isto casu fit AN--x, ct MN '; adhuc erit CN, de , ob naturam hyperbolη, semper vibebitur
jatatio altera supertas ollato Ox-xx lv T. D ac dira , quae, ut ibido ostensum et' est, reducitur ad ua in F, ponendo, id iς,-o, a ut ab 'IM , Sob=M lacum: F. Fio. Ducatur in subjecto plano recta quaevis Lot. ΑΗ per portiones eius A desit nentur valores incognitae, Quumque habeatur ae 'Bii capiatur super AB ad plagam oppositam portio AC m Et quoniam fit quaeli lohet CN me x b desisnabunt portiones Nualores incognitae v.
Sit deinde Cretecta, cui esse debentis quidistantes ipsae NM quae valores referuntinerius incognitae, at quoniam in Gu-
247쪽
s SECTIONUM CONICARUM ctione habetur 'sime,sive etiam si alι --x a capiatur super D partem contrariam, tum portio CE in alue, eum portio EF aequalis ipsi AC Iamque,comis pleto parallelogrammo Ε, ductaque FG, ipsis NM occurrente in in fiet unaquaeque o Meram ad εν - adeoque ipsae I syalores referent incognitae z. Quoniam autem refiae istae meo respondent portionibus ipsi ut FG utique erit Rcentrum describendae hyperbolae , tum item FG , FD erunt asymptoti ejus . Venim portiones illae Fo tunc demum reperiuntur aequales piis N, ubi aequales sunt duae AC, FG . Unde procul est, ut eaedenis designa re queant valores incognita: u 3 adeoque, etsi aequatio reducta sit ui Τ, multum tamen abest, ut sit squaesitae hyperbola potentia. Itaque , ut definiamus potentiam descri
bendae hyperbois , sit AC ad FG. ut est, ad
vi. Quumque hac ratione sat quaelibet o. uim , si ponamus ulterius , quod quaesita potentia stri, erit ejusdem hyperbolae locatis aequatio nua Duraetra, sive etiam e nn m . Erat autem uamst . Quare , instit
248쪽
an, hyperbola quidem principalis transire deis beat per punctis Κ, Si ejus autem opposita
bH-lf, quae, translatis terminis omnibus ad eandem partem,St post loco fualore
ejus hoc, reducitur ad , fax, aut Capiatur secundo in porti'ne hyper holi principalisa punctum aliquod M, ea
quo etiam demittatur ad asymptotum Grecta in alteri D parallela , conveniens cum AB in Et quonitim in isto casu fit AN S MN - - erit adhuc CN
249쪽
sECTIO Num CONIC ARuia 'alb-x. Unde , ob hyperbolae naturariurursus erit ut antea v=---lis ae Capiatur tertio in portu,ne reliqua Q. perbolae principalis 2 punctum quodvis M,
ex quo ducatur pariter ad asymptotum Grecta O , alteri D parallela , conveniens AB in N. Patetque indoeiasu fieri AN--x,ε MN42 3.Hine erit semper mem' of b sex, Quare, ob naturam hypobo ita, liabebitur temper aequatio aedif--πις Capiatur demum in hyperbola opposita
punctum quodvis ex quo similiter ducaritur ad asymptotum FG redi MO , altesi FDiuirallela , quae conveniat cum AB in M. Quumque in isto casu fiat, tum A au
an proindeque ob hyperbolae naturam, adhue habebitur eadem aequatio via e-xx his Fieri autem potest, ut puncta duo H, AM coeant in unum,in ipsa AB hyperbolae tangens evadat nimirum, quum habetur a in Q quandoquidem in hoc casu radices dum aequationis are me, in dii fiunt aequales interae . sed contingere quoque potest uti recta AB nee secet, nec tangat hyperbolam: scilicet, si a minor sit , quam 4 ς quum in isto casu ei uidem aequationis radices duae
Vm Atque iis quidem eonstru μα-
250쪽
-nsideratain, per reductionein suarum aequa. tionum ad formulam sininlicissiniam . Videa : φ
perbolam confrni deriunt , reducendo eo-ν arm aequationes ad formulam, ais fit omnium noxime compositi. Quem in finem qualis sitiaiusmodi formula , operae pretium est, ut Frinio loco defitilamus. Nimirunt, referetido hyperbola minamnia ad rectam positione datari, per tectas alias, quae sint uni ex asymptotis parallel ά; perspicuum est , tria contingere posse . Primo , ut recta positione data sit asymptotus altera Secundo , ut sit aliqua erus parallela. at tertio demtim, ut angulum cum eaden, asymptoto constituat. Unde . sicuti ex tribus hisae easibus priores duo sub tertio continentui pira mula hyperbola relate ad asymptotos consideratae , omnium maxime coni posita , ea estit, tertio illo casa deducitur. sit igitii Esentrum hyperbolae; sintque io. etiam ΕΗ a binae eius as1mptoti Agatur Oa.
recta AD , asymptoto Euri,irallela pes aliquod ejus punctuit, A ducatur quoque Milou AB sumtur postea in As punctum quodui, o a ductis retiis Ap CD, asymptoto alteri ΕΚ aequi distantibus, ponatu e AC rati , CD min, AD- , AF q, Capiatur minc in hyperbola punctuin aliquod M, ex quo demittatur ad asympto Mim EH recta in alteri in parallela , -