Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

251쪽

' ar Ps -- να propterea formum iam hyperbolae , relate ad asymptotos considerator, omnium maxime compositam, comperta aequatio nobis exhibebit. Perspicuum est autem, in hujusinodi formula productum duarum incognitarum

v cum uno tantum earum quadrato conjungi mee quidquam obstare , quin quadratum illuc ab ipsa formula deficiat: nimirum, si Me- rit m o . Unde veritas regulae, superiuntraditae , pro cognoscendis locis ad hyperbolam , relate ad suas asymptotos consideratam, ex ipsa eorum formula generali prono alveo

fluit.

Vm VIII. Sed ostendamus modo , quo pacto, τ' . . Ope inventae forma Beneralis, construantur

tam formu loca ad BFperbolam , relate ad ejus uomptotos, C s. . considerotam Nimirum, comparationiS, opeis Uru definiendae sunt primum quantitates, qua . locum determinant. Et siquidem omnes ventu

252쪽

veniuntur positivi, danda est rectis , quas reserunt , illa eadem positio, quam in figura formulae reperiuntur habere. sed si earum MLqua prodit negativa; tunc recta , quam exhibet, capienda est ad plagam oppositam.

Quantitates porro , quae locum determinant, sunt m n, n q, , s. Verum, instituta comparatione dumtaxat ipsarum p , , rvatores innotescunt . Et, quantum ad priores

duas m , scis, nonnisi ratio , quam habentanter se, cognita fiet. Hinc valor unius ex iis sumi poterit ad libitum. Et tunc per cognsetam rationem , quam inter se habent , etiam

valor alterius notus evadet . Praestat autem, utcumque assumere valorein ipsi uin, quem tamen positivum semper esse oportebit. Determinatis valoribus ipsarum , etiam quantitatiis valor innotescet. In triai

gulo enim CAD notus est angulus ACD,ve roglut aequalis angulo ANM , qui vel datus est, vel sumitur ad libitum . Quare, ubi duo ejus latera AC , CD, designata per quantitates,

S, , similiter nota sunt I cognoscemus quoque tertium latus AD , quod exhibet quantitam . Speciatim autem erit ubi valor ipsius in nullus reperitur quandoquidem

evanescente CD,cadit AB super AD, pun- duo C, i coeunt in unum. Illud quoque sedulo hic notandum exustimo, quod ubi valor ipsius pn, quae hyper-holae potentiam reser , prodit negativus; tunc ipsa hyperbola describenda sit ad partem alteram asymptoti in Nec obseura est huius rei ratio . Nam negatio illa, non tam assim.

253쪽

, o SECTIONUM CONICA Ruu iei hyperbolae potentiam, quam rectangulum TOM , cui potentia illa est aequalis . Undri

quum ordinata OM capienda sit in partem contrariam L utino nectae est, ut hyperbosti describatur ad partem alteram ipsius Acis opprimi t/que primo OGUris νομι --.... aequatio, em is ax - Θ dcino, quae loeam exhiberas perbolam , relate ad UFm--α toto confideratam . Quia in ea deest quadratum m utique seactio, ris et quam illud in formula inultiplicatum reperitur debet

esse nihilo 2quari inde suurii scri ita Miis quae pauli, aut norata sunt, erit quo que Maeris; adeoque ipse mula set D

Jam , instituta eomparatione habebitust. επι - , ruet2 δ δε ρε--πΣαι ac. 'Unde , quemadmodum h sunt valo

res ipsaruit ita, substitutis valaribus hisce in tertia aequatione, set ab num ae loe est ni ab hac moindeque,desten ,, tis Valaribus incognitaex per portione, Au rectae AB estistente AL tecta , cui aequis

distantes esse debent valores alterius inc gnitar, , construetur proposita aequatio in m , qui sequitur ι modum

Abscindatur ex AL portis ni , ducta Fc ipsi AB parallela , capiatur super ea portiost. in b. Ducaturi re me diuinum Urina Eic , aequus Maiis ipsi L. Denique centro a Vasymptotis ΕΗ, ΕΚ deseribatur hyperbola talis me eius potentia sitis hae . Et hyperbola, subinde descripta,

254쪽

Est autem hyperbolae potentia in hac duare erit x -- aa: -- b, fas ac , sive etiam v - Me -- Θ 'M-ο, quae est quatio construenda.

adest quadratum instituta comparatione, habebitur primo nar abe. Quare . aia sumpta n me, set 'ra a Comparatis autem terminis reliquis , habebitur quoque

rogato valore ipsius, set is ruinis, sive etiam miluin Et quoniam e secunda et quatione eruitur di h - mr a me substia tutionem et quoque aa: Quumque demum per tertiam habeaturi ocr: insubstitutionis ope fiet etiam Ap α abs:el Oar: - usi adeo nempe, ut nisi si Mi

. mior, quam eri valor ipsius p prodibat,

vel nullus, vel negativus. Ponainus ergo , cista innotem esse. quam cc . Et, designatis valoribus incognit x per portiones A rectae AB, si AL Fro. - , cui aequidistantes esse debetit valorea in ro

255쪽

-sECTIONUM CONICΛltu Mterius incognitae L. Capiatur in AB octio AC- . Tum, ducta CD , ipsi AL paralleα la , fiat eadem CD in a , iungaturque D. Capiatur deinde super AL ad partem oppositam portio AF meblaa: c, perque punctum Fagatur rectam , parallela ipsi AD. Fiat postea FE iiiiii , , ducatur per punctum

Urecta Ex uidistans rectae A L. Denique centro Ε asymptotis H, ΕΚ describatur hyperbola , quae habeat pro sua potentia quantitatem abs ac fauci ci as Et hyperbola , subinde deseripta locus erit quaesitus . Quod ut palam sat, ducatur ex puncto aliquo M ad asymptotum Emr cta Mo, alteri E parallela quae occurrat ipsis AB, AD in punctis positi seque AN - x, erit ob trianguis I aequiangula A CD, AN R NFζα axit, de Α , sive F -ax: c. Hinc quum sit R. αν -- a Go, ac

256쪽

utde has major es, quam cc sed , si fuerit Z ...

hi j minor, quom cI tunc eiusdem po- tentiae valor prodibit negativus an isto autem casu , ut superius innuimus, describet da est hyperbola ad partem alteram asympto ti H , Sc esse debet D ab, a 3s: cc FIG. potentia ejus . Nec difficile id erit ostendere. Ios. Nam , ducta adhuc ex aliquo hyperboli puncto M ad asymptotum m rebalo, alteri ΕΚ parallela , quae eonveniat cum Asin N, cum D in R; poni debet AN MN. - - . Unde , quum fiat

auram hyperbolae,erit urit mae: cc Hx c asαμ- aocis maec abi ς--aasa mor obf:ς ου cc, unde eruitur aequatio construenda v --πυς luere' a' hac in o. Fieri etiam potest , ut sit hc fisa mico. Et tunc evanescente hyperbolae potentia, cum suis asymptotis hyperbola ipsa confundetur. Id vero ut ostendamus sonatur inaequatione construenda loco ue valor eius e

tur quotiens s via r illa Lliquet , eandem componi ex duabus hisce aequationibus primi gradus ale est armis. Jam primae harum aequationum fit lati Fio.

257쪽

eunda satisfaciat asymptotus altera in id liquet ex eo, quod, producta BA , usque do nec secet Exios , fati a.

exist ibus x, Srduabu construi aes zzz quationis incognitis , sera quandoque possit. -Σw2 ut designari deboant per portiones AN rectae

A valores incognitae, perque rectas NM ualores alterius incognitae m. Nec sane dissicile erit definire , quando rumuin id fieri de--t. Nimiruit id sat oportet, quotiescium sue in aequatione proposita una cum prodiv. o duarum incognitarum reperitur quadratum incosnitae, Sic aequatio 'I - ρο- Iς o mutationem illam expoicit , quia quadratuit incognitae illud est, quod in ea conjungitur cum producto ambarum incognitarum minterim , quum construitur quatio aliqua , per reductionem eius ad formiselam compositam , eademque natura sua exiis git eam variationem , necesse est , ut etiani in sormula incognitae varientur . Sic Ormula, cum qua comparanda est aequatio v Idis v-acino, haud quidem esse debet ut

258쪽

per prtiones A rectar Ad Et quoi iam in eductione babetur men ιν liquet, iron aliter haberi posse valores incognit acu, quam delendo ex eis constan em adde

do iisdem variabilem s. Id ergo quum fieri nullo pacto possit hinc est, ut portuγnes rem V desipuandi in v l're inς 'βnitae' Xul. Illud quoque nolim hic sonti xiii. praeteriri, quod quotiescumque in aequatio 2 et

ne una cum Producto incognitarum , reperiis a. - tu quadratum uni uter iis , tunc locu

plicari possit, non modo per hyp bolam, re, late disiμ osymptotos pnsidera am i. rumiti in ps hyperbolam tui sidon tam in ordine i suas diametro 3 quum ad utriusque sormulam possit aequatio ipsa revocari.

259쪽

1ς SECTIONUM CONICARUM substitutione peracta , erit ae xx is ax

etiam Ezrauu ,-st, quae ad hyperbolam, relate ad diametros consideratam nos ducit. Id vero mirum censeri non debet. Jam

enim vidimus supra, quod ubi in aequatione incognitae duae simul multiplicatae reperiuntur, locus non aliter esse possit ad hyperbolam , consideratam in ordine ad suas iam

tros , quam quum quadrata earundem incognitarum ita quidem in aequatione continentur, ut translatis ad eandem partem, tum terminis quadrata illa continentibus , cum termino incognitarum productum includente, debeat coeffciens unius quadrati augeri nonnihil , quo termini ii possint simul qu dratum perfectum constituere Prosecto autem, quotiescumque in

quatione cum prodii et incognitarum conis jungitur quadratum unius ex iis a tunc nihil vetat , alterius quoque quadratum in ea considerare; quum satis sit, ei praefigere ero,stu nihilum elut coefficientem . Unde , quiae ficiens istius quadrati debet augeri nomnihil, quo idem possit una cum quadrato aliis,

producto incognitarum quadratum persectum constitueres poterit consideratione illa per hyperbolam relate ad diametros consid

260쪽

ratioue hyperbola in plano describi post datis M. in .s

exponatur potentia aus per rectangulum, 'quod fit ex duabus earum portionibus AD, Fio. AE . Compleatur parallelogrammum AR Et ro6.

quoniani rectangulum ADF adaequat potentiam datam; erit punctum F in hyperbola

quaesita.

Quum autem punctum A sit centrum hyperbolae , si extendatur AF ad partem opis postam, usque donec aequales sint duae AF, AG ι fiet tota Fauna ex diametris hyperbolae. Et quoniam , constituta AB dupla ipsius AD , ductaque per punctum P recta BC,

contingit ista hyperbolam describendam in F; designabit eadem BC positionem ordinat eum diametri FG . Unde quaesiit hyperbola nullo negotio describetur , si ejusdem diametri possit etiam parameter definiri. Ad hane vero definiendam , meminisse oportet, quod eadem recta BC st aequalis conjugatae ipsius G. Hinc enim sequitur, parametrum diametri FG debere esse tertio loco proportio italem post duas FG , BC adeoque eande m haberi, si fiat, ut FG ad BC. Ita C ad FH . Describatur ergo diametro FG hyperbola, ita ut recta FH exhibeat, tam parametrum eius diametri quam positionem suarum ordinatarum . Et hyperbola subinde descripta, eam , quam quaerimus, nobis exhibebit. obiter autem notetur hoc loco velim,