장음표시 사용
261쪽
SECTIONUM CONICA RuM quod sicuti,datis asymptotiS,' potentia, positione datur huperbola ipsa, sic dabitur quoque , si una cum asymptotis datum sit pun-bum aliquod, per quod hyperbola debeat transire. Neque enim in exposito problem ito alium usum nobi praestitit potentis . presis per rectangulum AB, quam ut, inpleto parallelogrammo AF, haberi posset punctum
F, per quod transire deberet hyperbola. Unde, si loco potentiae daretur ah initio punctum F, adhuc soluti problςm tis odem foret futura Idem probloma de describenda hyper
bola in plano Matia ejus symptotis 4,
tentia, rosolvi quoque potest , inveniendo axem , de socos ipsius hyperbolae. Si nimai gulus AC , sub asymptotis comprehensum, secetur bifariam per testam Fci dabit iecta illa A positionem axis hyperbolae. Et si porro , constituto AB quadrato quadruplo datae potentiae, demittatur super AF perpe
dicularis B., set punctum F verte ipsiu*axia Unde demum, scuti vorteat alter habetur, capiendo ad partem oppositam AG ipsi AF aequalem , ita circulus , qui describitur centro A , S intervallo AB vel AC qu*si. ιοβ m ac DςO desisnabit
262쪽
Tradiis compositione locorum geomem
tricorum , quae conicis sectionibus te minantur , reliquam jam est , ut easdem conisectiones ad constructionem problematum solidorum traducamur . Sed , ut methodus istud obtinendi rectius intelligatur , praestat, rem paulo altius repetere, ireviter primum explicare, quo quidem artisicio problematum geometricorum construmones seneraliter si ii debeant.
A P. I. Ratio construendi problemata, g Metrie generatim explicatur .
I. , Iximus praecedenti libro, pro I. Ira hiemata geometrica proprie vo 2 ια
cari ea , quae determinata sunt, omnesque a terminata
continent conditiones, ad solutiones ipsoruni cisti. I. necessarias; ne alia ratione illa , quae sunt indeterminata, Geometris considerari, quam ut eorum ope determinatis satisfiat, quae prae-
263쪽
sECTIO NuM CONICA Ru Mcipuum Geometriae hiectum constituunt Videamus itaque modo , quo demum artificio probismata determinata construantur, adhibi-
τινι s, quae indeterminota sunt per loca gemetrica explicantur Nimirunt primo invenienda sunt duo Ioca geometrica,quae omnes construendi problematis conditiones seorsim includant. Tum ita oportet loca illa construantur , ut valores unius incognitae super eadem rem inutoque loco capiantur . Nam quum vat res incognitarum , ubi linea tum , composita loca terminantium , sit intersectio , conditiones habeant utriusque loci geometrici necesse est, ut valores illi problematis solutim ni satisfaciant.
Oporteat , exempli gratia , inveni imEtangulum, cujus latera datam habeantis tionem inter se , simul sumpta datam qumque rerum adaequent. Jam in hoc problema
te determinato duce conditiones continentur.
Quare, iis a se mutuo seiunctis, duo fient indeterminata problemata; unum, in quo quaeritur rectangulum , cujus latera datam rati nem habeant inter se; alterum, in quo quaeritur rectangulum, cuius latera simu sumpta datam rectam adaequent. Duo ista problemata indeterminata duo
etiam nobis suppetunt loca geometrica . Unde , quum in iis utraque propositi problematis cotiditio seorsim contineatur . poterunt
pro ejusdem problematis constructione loca illa in subsidium advocari monstruanxur
erm illiusmodi ca ea quidem Jesu, ut v
264쪽
L - A. 6alores unius, Rusdemque incognitae super e dein rere in utroque loco capiantur . Et v lares, quos habent incognita in loco inte sectionis , quaesitum rectangulum contin hunta II. Ut autem id liquido constet revocemur ad calculum duo illa loca, tum exposito ratis ..is uati ne utrumque construaretur P. Assumptis ergo incognitis' 'di pro lateribus rectanguli in Dν--atis
veniundi, si eorum ratio ponatur aequalis sti, 'Vi T. quam habet a ad bue erit , ut x ad , ita a ad isnadeoque erit Σαδxta aequatio primi loci. Quod si porro summa earundem laterum dica tu est, fiet xl ταας, velγ-c-x aequatio secutidi loci.
trines AN designantur valores incognitae ἴ AC recta alia cui aequidistantes esseta hent retiae NM , quae valores restiunt alterius incognitaeo . Quumque aequatio primi Ioci sit --- perspicuum est , quod si ex AB abscindatur portio AD - uicta D ipsi AC parallela . fiat eadem Dyra terminari debeat locus ille per rectam AE, quae coniungit pundri duo A, E. Quia autem aequatio secundi loci est'-c x, construetur alter iste iocus,sa ciendo, tum A , cum AC .c corium gendo puncta duo B in C per rectam G. Nam , ob triangula aequiangula B AC, BNM, erit, ut AB ad AC , ita BN ad NM . Quare. propter aequales AB in C , erunt etiam sequales duae N NM adeoque, quum sit BN αας-- ας,&Nin F, MitI; zc oris Ter-
265쪽
M, IECTIO NuM CONICA Rura Termini igitur eorum locorum sunt rectae AC, BC Quum autem rectae istae sese secent in puncto F; habebit punctum istud
utriusq; loci conditiones. Quare,dueta FG, ipsis N parallela perunt redit AG FG in data rationes, ob loeum AE L eaedem simul daxam summam constituent, ob locum BC: proindeque latera quaesiti erunguli erunt
rectae ipsae AG, FG.2,222. Nwu veri discue erit , inquirere,
hismatis determinati Ondisiones includant.
υν- nais Si enim ex eorum aequationibus colligi pol -
2- -i,. ipi problematis aequatio Lindicio erit , in locis illis singulas problematis conditioneSincludi . Quod si autem secus contigerit; nec item in iis locis omnes problematis com ditiones continebuntur. . ita, si aequatio problematis si ae in arata, b , nulli dubium csse potest , quin omnes ejusden problematis conditiones includantur in duobus locis geometricis P m. ποῦς, Sco Nam , quum ex duabus hisce aequatioitibus ei uatur axii dx: 'χὴ
reductione instituta, set --hxm ac, si ve etiam xinae: a H quae est ipsa problematis aequatio. Similiter, si aequatio problematis si xxiet 4x ax Ἀλ- , dubitari non potest,
quin ollines ejuid c problematis conditiones contineantur in duobus locis geometricis in ax xx-δί , Sy αα xl b. Nam
quum duae istae aequationes dent nobis am------ fab libuereductionea stru
266쪽
tis arat, et A. asistituta , set a xx ' ab - 2ax' abbrimo, sive etiam rex Ἀ--raio , quae est problematis aequatio proposita Atque ita quoque, si in resolutione ali- eurus problematis perventum sit ad aequati nem x fuax Obino, in dubium verti non potest, quin contineant omnes eiusdem problematis conditiones duo loca geometri- xx mi , G H. xx io . Nam , quum
ex duabus hisce aequationibus eruatur hae, xx x raa reductione instituta metaal aaxx sive etiam 3 haaxaab in o , quae est ipsa problematis aequatio.
IV. Sed nec etiam difficile erit , duo loca IV. ste errisa reperire, quae omnes alicuius pro α'Thumatis intermimit 'uditisse hic anti zz I inveniatur etenim quatio, ad quam pro z
postum problema reducitur . Tum , sumpta ad libitum aequatione alia indeterminata,complicentur ambae simul, quoties fieri potest, si
ve substitutionis , sive additionis , sive demum subtractionis ope. Atque hac ratione, non duo tantum , sed plura loca geometrica reperientur , quorum bina quaevia singulas problematis conditiones continebunt. sit, exempli gratia, t aaχx-aaaxa astra naequati , ex resolutione alicujus determinati prbolertiatis orta . Capiatur aequatio in deteriminata xx adimo, sive xx v. Jamque, si in ea ponatu au loco κ' ,habebitur sta' haais obae a ac in risive γην lxx-bx-acEαο, quae est aequatio autem indeterminata. Et si porro in ista loco amponatur odi se in 'o' --ha - ac i,quae
267쪽
est tertia aequatio indeterminata. Tres istae aequationes indeterminatae jam tria nobis loca geometrica suppetunt , quo rum singula paria cundias problematis conditiones coniplectuntur . Sed possunt, additi
nis, subtractionisque ope , tres aliae reperiri, quae eundum praestent emctum . Addendo enim priores duas, fiet a flamς - '
acriori addes o autem ditas posteriores, habebitur νγ ha - 2b - ac miῖ ac denique addendo simul priniam δε tertiam orietur et ' xx - 4 - ac meis , quae tamen a secunda non differt.
Eaden ratione, subducendo primam eae secunda, orietur I say oc o,quae non differt a tertia in subducendo secundam ex tertia, habebitur adi xx o, sive se ---ay o, quae est ipsssima prima Eed , si prima ex tertia subducatur , fiet v mil
dentibus diversa deprehenditur. V. Id , quum ita sit, liquet, unum, idem-
α. - probis ma leometricum non una ratisne
sem v rii cosm posse. Primo enim pro eodem probi ori a Dse male poteit, modo una, modo alia aequatio reperiri prout hanc, aut illam lineam assumere placet , velut incognitam . Et deinde, etiamsi semper cadem sutura esset problematis aequatio ; adhuc tamen variis, multisque modis probicina construere liceret o varia locorum geometricorum paria in quibus singulae problematis conditiones possunt istor sim contineri interim , ut non omnes problemati,
268쪽
E L Em A. 6r constructiones Geometriae legibus correspondent me inter eas , quas legitimas Geom tria fatetur, dantur persaepe quaedam qim facilitate, ac elegantia merentur reliqui proe- serri. Unde , quum problema aliquod geo metricum construi debet, non modo vitandae sunt ea constructiones , quae vitio argui nosis sunt; sed in id etiam sedulo incumbendum, ut eligantur constructiones tuae, quae uotmetriae solertiam , ac nitorem ostendunt.
Hinc duo nobis hoc loco praestanda sunt Primo enim oportet ostendamus,quae quidem
problematum constructiones legitimae censendae sint, quaeve per contrarium vitio aris gui queant. Deinde vero inter ipsas conis structiones , quae Geometriae legibus correspondent, nec ullo vitio laborant, qua utiaque ratione faciliores, simplicioresque digno sui possint , oportet aperiamus. Et quantum ad primum, eae quidem constructiones velut legitimae haberi debent,
quae naturae problematum con in se sunt. N
que enim omnia problemata per cujuscumque generis loca geometrica construi possunt; sed unumquodque pro suo gradu determinatii neris loca requirit . Unde , ut de rectitudine
constructionum tuto iudicium Drri possit. constituendi primum sunt gradus problemi
tum geometricorum VI Plane Veterer, reserente Hypo, pro is
guebant, eorum alia quidem plana aliam .. . solida in alia demum linearia appet havt. --
Quae enim per rectas,in circuli circumstrem zzz -
269쪽
-2M SECTIO Nurii co Nic Axuutiam solvi possunt, vocabant planari ob oristum earum linearum, quem habent in 11lano.Quae vero solvuntur, assumpta in constructione aliqtia coni sectiones, dicebant solidat quia coni sectiones ex solido trahunt origianem suam . Et denique , quae construi nequeunt, nisi adhibitis lineis aliis, praeter iam dictas, linearia nunculpabant , velut probie-inata , quae ut construantur , lineas Mias magis compositas'exigunt. Sed hujusinodi problematum geometri eorum distinctio, a veteribus facta, non uno
vitio laborat . Primo enim per eam natura problematis non semper nobis innotescit Εtsi enim tuto concludere liceat, problema esse planum , quotiescumiue eitculo, rem construitur, quod anten sit soliduni, aut lineare, numquam certo , ae infinitanter si tui potesta quum impossibile sit, eius criterii certiorem fieri, quod duxta veteres, tu insolidum a plano, cum lineare a plano, doli do secernere valet. Ut enim,ex mente veterum, lidum diei possit aliquod problema , haud quidem satis est, aliqua coni sectione construi posse; sed necesse est quoque, ut rella, circulo
millimode construi queat . Quare, non alitee concludere licebit, solidum esse problema aliquod , quam ubi illiusmodi impossibilitas existra omnem dubitationis aleam ponitu est propterea, quum id sine alterius criteri ope tineri non possit, consequens est, ut nec
item solidum problenia distinguere liceat. similiter , ut suatis veteres lineare di
270쪽
ei possit aliquin probruma, haud quidem satis est , linea alia magis composta construi posses; sed oportet etiam, ut respuat , tum
circuli circunilarentiam, cum coni sectiones. Quare,tunc demum concludere licebit line re esse problema aliquod , quum ostenditur, nec circulo, nec aliqua coni sectione posse
constructionem ejus obtineri. Unde,quum devinci nullimode queat nisi criterium aliud habeatur imitem lineare problema plano, selido poterit secerni. Hinc , posita problematum geometric tum distinctione , a Veteribus secta tantuni abest , ut reprehensione digni sint ii, qui duplicationem cubi in anguli tri sectionem
rem in circulo tentare conantur quin potius,meo iudicio,laudem omnem merentur,&excitandi eo magis, ut nullum non moveant lapidem, quo videant, num Geometriae planae praesidio constructio eorum problematum posset haberi.Nam etsi eorum eonatus semper irriti forent suturi , exinde tamen eo magis probabile redditur, problemata illa natura sita esse solida, non jam plana.
VlI. Sed alio quoque tio laboro dissus' ΣΙ- ctio problematin geometrim , quam Hre 2 res ondiderum i nimirum , quod iuxta eam: zz
nullum non fiat discrimen inter problemata, is quae nec plana sunt, nec I des; sed omnia ' in uno eodemque gradu reponantur . Inue enim colligi posset, quod sicuti ejusdem n turae sunt , tam cuncta problemata plana, quam omnia problemata solida; sic quoque
singula problemata linearia eandem naturam duberent habere. in