Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

271쪽

SECTIO NuM CONICARUM Interim nolim ex hac parte adeo et res increpare . Neque enim problemata line ria ita ii excoluere, quemadmodum plana, solida . Unde , tametsi eis innotuerit , dari problemata quaedam , quae nec plana, nec

solida essent , multiplices tamen , ac pene insanitas eorum problematum disserentias minime nor tint quippe quae non aliter fiunt cogniti, ac exploratae, quam ubi aliquot ex iis problematibus ad examen revocantur.

Notetur autem hoc loco velim , quod scuti problematum geometricorum tria genera veteres distinguebant; sic lineas omnes, quibus problematum sunt constructiones, ad

tres classes pariter revocabant. Prima etenim erat illarum , per quas plana problemata soI-vuntur Peaque nonnisi rectam, ac circuli circumferentiam continebat . Secunda complectebatur coni sectiones, quas ad constructi nem problematum solidorum oportet L sumere . Et tertia demum omnes alias lineas magis compositas comprehendebat , quae comstructioni problema tuni linearium Inserviunt. Revocabant porro ad tertiam hanc classem , non modo omnes alias lineas geometriacas , ut cissoidem Dioclis , conchoidem i. comedii; verum etiam linea mechanicas, ut

quadratricem Dinostrati , spiralem Archimedis . Qua in re nec etiam adeo ii velim alia guantur. Nam, sicuti, ob differentias m hiemarum linearium, non adhuc eis explorata , unum eorum genus constituebant; si e omnino necesse erat, ut in una eademque

clav reponerent , tam ineas seometricas,

272쪽

quae circuli circumferentiam in coni secti nes excedunt , quam lineas mechanicas , qum curictis natura sua superiores deprehendum

tur.

Hinc , quod Carte sitis antiquis Geometris vitio vertit, potius refellendo ejus errori apposite nobis inserviet. Ex eo enim , quod sub eodem genere reposuerint Veteres tam

cisiidem in conchoidem , quam spiralem, ct quadratricem, censuit , eos e Geometria reiecisse omnes alias curvas, quae circuli circumferentia is conicis sectionibus magis

compostae essent. Sed crediderim , hanc eis sententiam adscripsisse , quia ipse in ea erat opinione , ut spiralis , quadratrix in similes e Geometria exules esse deberent: quam tamen vel ex eo exuere poterat, quod illiusnio-di lineas ad eandem classem cum curvis aliis geometricis ipsi Veteres revocabant. Vill Quum igitur distinctio problema vittitum geometricorum, Veteribus facta,in pla : Ita

na, solida, d linearia, non uno vitio labolet; ius Recentiores singuunt gener pro .

hiematum ex numero dimensionum , ad quos '' α' eorum aequationes ascendunt. Et quamquam Vinitis. Cartesus duabus dimensionibus ea a se mutuo distinguenda esse putaverit; communiter tamen unica tantum dimensione a se invicem secernuntur, inumquodque problema eius generis esse censetur, quod ipse aequationis gradus ostendit. Itaque , si aequatio problematis sit primi gradus , sive unius tantum dimensionisἔ

ipsum quoque problema primi generis esse

273쪽

1 SECTIONUM CONICA Ru Μdicetur. Sed, si aequatio fuerit secundi gra duc, seu duarum dimensionum, tune etiam problema dicetur esse generis secundi Atque ita pariter dicetur esse generis tertii, si ejus aequatio fuerit tertii gradus , sive trium diarnensionum generis quarti, si aequatio sit quarti gradus , sive quatuor dimensionum; generis quinti, si aequatio sit quinti gradus,

sive quinque dimensionum;atque ita deincepa. Notandum tamen hoc loco est, quod aequatio aliqua tunc proprie dicitur esse alburius gradus,quum ad gradum alium inferio. rem deprimi non potest . Unde .s in tesolutione alicujus problematis perventum sit ad aequationem aliquam , quae deprimi queat; tunc, ut de genere problematis judicium feris

ri possit , necesse est, priua deprimere aequationem illam per resulas, quae in Alsebra traduntur a quia sic problema eius generis es se dicetur, quod depressus gradus ostendit illud quoque nolo hic reticeres, quod

etsi, defin endis constructionibus , quae naturae problematum consonae sant , confialtius sit , unica tantum iniensione eorum genera a

se invicem distinguere Cattamen , si in cuiusiaque constructione circulus vellet adhiberi, tunc potius probanda esset distin ctio proble--tum Cartesana, quae per duas dimensiones procedit, quum in eo casu lex constructionis intra binas dimensiones eadem semper, ac immutata perseveret, Interim , vitandae confusonis gratia etiam quum quaestio erit,de adhibendo circulo in constructione cujusque problematis,

274쪽

distinctionem, nullo negotio pro singulis eas bu regulae tradi possunt , quum animi, recepta distillectione Carissiana,nonnisi per amba s id, quod quisque sui existi, pol rit desiniri. IX. Problematum generibus constitutis, T. faciis modo erit , cs Uructiones definire , quae eorum natura consonae funt velut initi tuli, dehon haberi. Janni enim vidimus supra, '. . ποῦ pro cuiusque probleniatis constructione, adhibenda esse duo loca geometrica, quae sinsulas problematis conditiones seorsim includant. Itaque , ut constructio legitima sit,'

naturae problematis consona , loca illa talia insuper sint oportet , ut multiplicatis per se mutuo numeri suarum dimensionum , oriatur numerus alter , qui vel ipsum problematis genu , p etiam s*du pro*im superiua nobis extat beat.

Hac ratione, si problema sit quartiis neris, legitima erit constructio , quin peril

caduo geometrica secundi genetis abselviatur enim vero , multiplicatis simul duobus binariis , producitur numerus quaternariuS, per quem gradu problematis ostenditur . Et eadem ratione , si problema sit generis sexti, erit consona ejus naturae constructio quae

perficitur loco sucundi genoris alio tertii; quandoquidem; multiplicatione numeri bianarii per numerum ternarium producitur numerus senariu , per quem problemati genu I hibetur.

275쪽

ara SECTIONUM CONICA Ru MQuum vero non semper fieri possit , ut numerux, problemati genus ostendens , ex aliis duobus, per se mutuo multiplicatis, ori

tur, hinc est, ut plerisque in casibus loca geometrica talia esse debeant, ut eorum exponentes, in se invicem ducti, genus proxime superius exhibeant . Sic per loca duo secundi

generis construenda sunt, non modo problemata generis quarti , Verum etiam ea , quae genus tertium constituunt. Atque ita quoque per locum secundi generis, alium te ei construi debent, tam problemata generis iuxti , quam quae ad quintum senus re iocantur.

Quemadmodum autem abunde liquet, id dumtaxat contingere posse in iis probi matum generibus , quae per numero impares definiuntur , sic liquido etiam patet, non in omnibus hisce generibus tale quidpiam evenire . Si enim, exempli gratia , problema sit non generis , poterit constructio ejus per loca duo generis tertii obtineri. Et adcinratione, si problema sit generis decimi quinti; nihil obstat, quin per locum tertii generiS, Scalium quinti constructio illius peragatur Contingit id ergo in iis tantummodo generibus , quorum exponentes sunt numeri primi quum notum sit,huiusmodi numeros nullos divisores admittere. M. - regula iam tradita , pro definiem

. constructionibus, quae legitimae sitiit,&

- -- naturae problematum consonae, plura modo Beehit inferre non exiguam rei , de qua Uimur, lucem allaturo. Pranio enim perspicuum

276쪽

tiplicis generis loca legitime construi sic problema duodecinii generis construere licet, Iron modo per locum generis tertii, latium quarti verum etiam per loca duo , quorum alter sit secundi generis alter funeri sexti.

Deinde liquet etiam , unumquodquo problema legitime construi posse per locum geometricum, qui sit ejusdem generis cum ipsis problemate . Nam semper ae locus alter assumitur generis primi jam duo illa loca i

ita erunt, ut eorum exponente , per se mutuo multiplicati , construendi problematis genus ostendent . Et quoniam loca primi generis sunt semper ad rectam; non aliter,quam rediae, curva alicujus intersectione , hi jusmodi constructiones erunt peragendae. Liquet demum, quod si cujusque problematis constructio circulo fieri velit , omnino necesse sit, ut locus alter geometricussit ejus generis , cujus exponens duplicatus exhibet, vel ipsum problematis genus , Vel senus proxime superius. Est enim circul , locus secundi generis . Quare, ubi una cum

ipso alter ille locus adhibetur; iam problem

construitur per loca duo, quorum expone tes , in se mutuo ducti, exhibent nobis . vel Proprium problematis genus , vel quod proxime illud subsequitur. Itaque . si problema decimi generis circulo foret construendum , oporteret, locum alium quinti generis esse nec aliter esse de- heret, si problema, cireulo construendum,

277쪽

,ro ECTIO NuM CONICA RuM ratione , tam problema generis undecimi, quam quod ad duodecimum genus revocatur . non aliter recte circulo construitur quam assumpto in constructione loco alio, qui sit generis sexti. Hinc , quotiescumque problemata circulo construi debent, lex ipsius constructi ni intra duas dimensiones eadem semper perseverat. Atque liac de cauti distinctio pt inmatum Cartesiana , quae per duplicem d-

mensionem procedit, probari potius , quam reiici deberet. Nam Juxta eam, locus alter, quem in constructione oporteret assumere,s et semper ejusdem generis cum ipso problemate construendo. xi XI. Caeterum haud dissicile mit, eodere

thv ies in coli structione problematis adhibenda, debent singulas ejus conditiones seorsim 't continere . Quare, tunc quidem legitima erit

constructio, matura problematis consona, quum simpliciora loca adhibentur , quae omnes illius conditiones seors complectuntur. Hinc ,ut praefatae regulae veritas constet, duo quidem sunt nobis ostendenda . Primum est , ut omnes alicujus problematis conditio nes contineri possint in duobus locis geometricis , quorum exponentes , in se mutuo ducti , exhibent , vel ipsum problemati genus. vel genus proxime superius . Alterum est, ut loca , quorum exponentes, per se invicem

278쪽

E A. a ς queant ejusdem illius problematis conditi ines omnes seorsm comprehendere. Nescio autem , nunc horum utrumqtie sua egeat demonstratione . Ut enim vidimus supra 'tinc quidem duo loca geometrica singulas alicujus problematis conditiones scorissim includunt, quum ex eorum qilationi-hus eruere licet aequationem ex resolutione problematis ortam. Unde eo res redit, ut

ostendanius, aequationem istum haberi quidem posse per loca priora, sed non item per loca secunda. Id vero in ipsis Algebra Elementis ostenis

ditur. Nam .quum quaestio est, de extermisiai da incogia ita una , per aequationeiduas , quae

totidem incognitas comple iuntur , regula traditur in iis,ope cuius liquet abutade,aequationem, incognitam alteram continentem, posse quidem ascendere ad eum gradum, qui producitur , multiplicatis per se mutuo gradibus earum aequatio numn altius autem attolli nullimode posse. Atque hinc , alio rursus artificio , inveniri poterunt loca duo , quibus determinati

alicui iis problematis constructio peragi possit . Nimirum , capiendo indefinite loca illa, tum per eorum aequationes exterminando incognitam unam, Miluviendo aequati

nem , quae alteram tantum incognitam contii eat . Nam , instituta deinde comparatione inter aequationem istam , eam, ad quam

Problema reducitur , facili negotio quo:sita Dca definientur. xii

XII. Quum ergo iam nobis innotuerit, αμ- a quae

279쪽

αν SECTI NUM CONICARUM - quae constructiones sint legitimae , Sc natu- problematum consonae inquirendum est

.io G modi, quo rotione inter ea faciliores smώ--ορινή plicioresque dignosci possint. Et quidem iis

, gotium istud dijudicandum est ex locis, qui

bus ipsae problematum constructiones peti guntur mani, etsi loca omnia , quae quationibus eiusdem gradus des niuntur,ad idem omnino genus pertineant quin tamen interea fieri debeat discrimen aliquod non est dubitandum. Hujusmodi vero discrimen repeti primo debet ex ipss lineis, quibus loca terminam tur: in quantum non omnes eadem facilitati in plano describuntur . Sic lineae, loca secum di generis terminantes, ut supcrius vidimus, sunt circuli circumferentia in conica secti nes. Sed nulli dubium esse potest , quin circumserentia circuli longe facilius describatur

in plano , quam quaelibet sectio coni. Idem discrimen repetendum est quoque ex aequationibus eorundem locorum . Nam, eis ad eundem locum per varias statuationes possit perveniri inequit tamen in dubium rovocari quin ipsa loci compositio eo facilior, futura sit , quo minus composita est ejus aequatio. Sic loca , conicis sectionibus terminata eo quidem iacilius construuntur , quo

magis aequationes, quibus designantur ad formulas ipsorum simplicissimas accedunt. Haec autem quum ita fiat, liquet , ficMlitatem,implicitatemque constructionis gemmetricae aestimandam esse duplici ex capite; primo nempe ex faciliore ratione , qua lineae,

280쪽

E L E MAE N ' a 'loca terminautes , describuntur; secundo ex simpliciore apparatu, quo opus est, pro determinatione earundem inearum . Unde in haec duo sedulo oportet incumbere qlio ele, gans,ac valde simplex dati alicujus problamatis constructio possit haheri. Qui igitur ii construendo problemate aliquo , loco conicae sectionis , circulum suρ- stituit, non est dubitandum, quin faciliorem, simplicioremque constructionem exhibeat quandoquidem circulus in plano facilius longe describitur,quam quis Misectio conica.Et eadem ratione nulli etiam dubiuni esse potest, quin egantior futura sit dati alicujus pro-hlematis constructio , quum conica sectio, quae assumitur in ea refertur per suam aequa..tionem , vel ad ipsam diametrum , vel ad alia quam eius parallelam.

Rati eos ruendi problemata plana in medium asteraur.

inho libro propositum no--μMbis sit, dumtaxat de constructio petet Azne eorum problematum agere, quae selida R. H. Veteribus dicebantur: nihilo tamen mimas, quemadmodum, ad pleniorem eius rei intelli-δες vitur. gentiam , necessarium duximuc generatim prius explicare , quo pacto problemata geo- stetrica construantiu ; sic. ob eandum ratio-