장음표시 사용
281쪽
aν SECTI NUM COM CR Ru Mnem praemittenda est quoquc constructio problematum . quae iidem Veteres plana vocabant quunt ipsa solida pi oblemata nullini Habsque ea construi possint Plana igitur problemata ut praecedenti capite dictum est , vocabant Veteres ea, quin recta in circulo construi possunt . Unde, juxta Recentiorum distinctionem , non alia problemata tale nomen merentur, quam qme, tam ad primum , cum ad fecundum genus re contur . Istorum enim problematum aequationes secundum gradum non excedunt.
Quare eadem problemata per ea imper loca geometrica construere licebit , quae recta, α circuli circumferentia terminantur. Et illa quidem problemata quae primi sunt
generis , nec etiam circulo opus habent, sed rectis tantum construi possim . Assumenda est autem circuli circumferentia , in constructione eorum problematum quae secun
di sunt generis . Nam numerus binarius, per quem istorum genus ostenditur, non alia ter potest oriri , quam multiplicando unita .
tem per eundem numerum binarium; ademque omnino necesse est , ut talia problemata construantur per loca tio , quorum alter sit seneri primi, alter generis secundi. Quamquam vero loca primi generis rectis semper teriminentur Pea anaen , quae se, cundi sunt generis,non modo circuli circum .
ferentia, sed omnibus coni sectionibus pos sunt circumscribi . Hinc problemata , quae s
cundum gelius constituunt, tam tecta ,
circulo, recta in qualibet coni sedit
282쪽
tam problematum orta illisue limple , ut D, αι, iubeaturis mira tunc nulla arte opus sit, pro
elus constructione; quum nihil facilius dari a - rossit quam ut recta , alter data aequalis, / capiatur monstructionem ergo istiusmodiri lematis velut postulatum in hoc negotio assumemus: eoque magis, quod eadem sit, lati fundamentum omnium constructionum i metricarum. Verum, si concedenda est nobἰ constructio hujus aequationis xiis, ratio exigit, ut concedantur pariter constructiones
fucressive super eadem assumere licebit CD i , , DE - c,&EF d. Unde, quemadmodum valor incognitae, in aequatione maest Aa se erit AD in aequatione x ad b,
Eadem autem ratione neque etiam dem-ganda est nobis constructio lilius problematis,ex quo suborta est aequatIo ina. . Jam enim , progrediendo ex A versus B , capi po Fio. test super A portio AC. a.Quare ,redeun IO9.
283쪽
α SvCTIO NuM CONICARUM producta si opus,capi portio CD-b Quumque hoe pacto fiat AD - -- F, erit eadem AD valor, quem h4bet incognita, in aeq-tione x Atque hinc ulterius nec item alleui dic ficultati obnoxia esse debet constructio ejus Problematis , ex quo nata est aequatio via is δ' c--. d. Si enim quaerantur rectae dua, quae duabus summis alci' id sint aequalet; eae , ut vidimus, ultro nobis concedi deben ιUnde, si eaedem dicanturj aequatio fimmis g, cujus quidum constructio nequi: nobis denegari. iii Ill Constructionibus himee praejactis, λπι .ai, potius praesuppositis , facile modo erit,
risu a -- conseruere unumquodque aliud problema, quoι2 primi sit generis . Ut vero ordine progredi σμα Τμω m his , sit primum mei ab c aequatio , cre------ 1olutione problematis orta damque, si locus
ad rectam simplicissimus, i s capiatur; fiet perfibstitutionem x xiv c, sive etiam, cx o, quae quidem aequatio similiter ad Gesam nos ducit. Hinc problema , contentum in aequatione αα ab c , construi poterit duobus hisce loci geoinetricis γ - a, Scyrras; ut quae
non modo singulas eius conditiones seorsim continent, sed ambo etiam lineis rectis termi-Fio nantur. Hunc in finem sit AB recta, per cuius ric. portiones A designantii in utroque ioco valores incognitae, . AC ea, cui in uir que pariter loco aequid istantes esse debent va. lares alterilis incognitae F.
Quum situr aequatio primi loci sit '
284쪽
ine Aoma, dumq,per punctum D resia DE, ipsi AC paulleia , fiat Eiso, Se iungatur
ΑΕ. umque aequatio secundi loci sit, i, fiet alterius hujus loci constructio absciis lendo ex AC portionem AP in ducendo perpundium F reeiam FH , alteri A parallelam. Jam rectae duae AE, FH, omnino ne eesse est , ut sibi mutuo occurrant Fiat itaque earum oecursus in puncto M at , d
missa exinde super AB recta MN, ipsi AC p rahela; erit A valor, quem habet incognita x in aequatione dira ab e Ponatur enim ΑN in x. Et quoniam ob triangula qui angula ADE, AN M, AD est ad DE, ut AN ad NM , sive AP erit, ut a ad c , uix ad propterea erit , --: IV. Exhibita constructione problematis, IV. contenti in aequatione x -- e iam i aius , --iosia, qua primisunt gra ero. η struere licebit; quum facile sit , ea mediante, .n.'z. aequationes omnes primi gradus ad formam et . t uillam revocare. Ita , si aequati problemati re un-. sexti abcydes capiendo si ab: d, fiet, τα συι Et si aequatio sit de m ahcd eis; sumendo, tam -- abii, quam n - cd: f, habebis
Fieri autem potest, ut incognita, phis res huiusmodi quantitates adaequet . Et tini eas seorsim reperiendi, adhuc problemaco strui poterit. Sed, si habeatur, α abes cl/, vel miselam se ), fiet constructio, ponendos loco ipsius et L. vel c-- ιις quum sic 'quatio evad u fAtquc iis quoquo,
285쪽
a SECTIONUM CONICΛRura si fueritis αἰ abi: de bd , capiatu emiuide sis boran habebitiir, Σαbc:m. Praetera , si in resolutione alicujus problematis per telituit sit ad aequationem -- cini nil vi, construetur illud , ea piendo fram fiet quum hac ratione hab. tur aequatio a se ab flidus quae jam construi potest . Pariterque , si aequatio proble
ων; Se habebitur loco ejus haec alia aequatiope :biti Vii, quam similiter constru reiicet. opus est autem solerti Geometri Inaequationiam reductionibus instituendis , equae contrahi quandoque possunt . Ita si habeatur aequatio xum saabes 4bec)i abe facillime fiet ejus. reducti , capiendod vidi hc a . Nam , quum sit ad in he, , adsi 4bce substitutione peracta,habebitur, in
mi a se cum χαιι fas fiet x naequatio reducta v. Non igitur dubitari potest, quin omnia problemata primi generis nullo negotio construantur, tibi semel constructum est problema , quod exhibet aequatio a m ab c. Et
quoniam problema istud non aliud involuit, quam iit, datis tribus rectis lineis, quarta proportionalis inveniatur a liquet , cuam primi generis problemata, per insentimemqugnae alicuius proportionalis , construi posse. Sed notetur hoc loco velim, ejusdem itatius problematis , quod continetur in aequa.
286쪽
superius allata est i tum quia est omnium lim . pucissima tum etiam, quia affinis est illi, qua usus est Euclides in suis Elementis, pro in venienda quarta proportionali post tres Octas lineas datas. Plane enim , si quemadmodum aequatio
construenda est xii ab is, sive cx tam ab , ita capiatur aequatio ad rectam xii ex si vudx abi, fiet, addendo eas simul cxl dxtra
ob hum, quae militer ad rectam nos ducit Unde aequatio ex in ab construi quoque γ' terit, adhibitis duobus hisce locis geometria ei dx-ο ex frie αα ablv. Quin etiam , si aequatio assumpta d Eea subducatur ex ipsa Hi ab habebitur tertius locus ad rectam ex ah -- v. Unde ejusdem illius aequationis constructio fieri pariter poterit , tum ope locorum dimetu, &ως - αα ab --ο cum ope isto
a . Interim , si fuerit c d , ex prini ha .rum constructionum rursus superior orietur. VI. istensa constructione problematum L primi generis , videamus modo , qua ratioκ : Iz Ines,quae fecundi funt generis construi debeant ama Et simplicior quidem aequatio, quae ex aliquo .i. horum problematum potest oriri, est καπον Quumque eo res redeat , ut inter duρ μω .-riti, rect statas media proportionalis inveniatur, ' construi poterit illiusnodi problema eo quidem artificio,quo utitur Euclides in Elememtis pro mediae proportionali inventione. . . . .
287쪽
Σ ECTIONUM CONICA Ru MVerum, ut methodo nostro tale artificium inquiramus , capiatur locus ud rectam simplicissimus o in c. Et quoniam habet , tum xx mob, curri II mcc; se additione πιλο ab G . Quemadmodum autem haec aequatio ad circulum nos ducit, quum valore incognitarum redios angulos continent ita, ut descriptio hujus circuli problema primi generi fiat, oportebit,quantitatem obloc quadratum esse perfectum quo radix qua , quae circuli radium refert, rationalis oriatur.
Jam quantitas illi talis esse non potest, nisi adaequet e semissem differentiae inarum n,
Sue. Nam , ponendo a majorem esse , quam , fiet a 2 - adeoque, quum sit cc ab ad b, 44 erit ab hecaa 4 Fabi ad b, 4 miri ex duobus locis geometricis , quibus construendum est problema,contentum in aequatione xx --,erit a. - locus ad rectam an in 'γγ- ' ubi fib locus ad circulum. Fio. sit igitur AB recta, super qua sumi d
hent valores incognitae x. Et quoniam aequatio circuli nulla eget reductione erit e
trum illius ipsum punctum A , adeoque , abscissa exin portione AD M a a 4 2 , si et A ejusdem circuli radius a rigatur deinde superis perpendicularis C. Jamque, si e . auferatur portio AE - a: a Ma
per punctum E ducatur recta GH, ipsi AB
parallela terminabitur recta ista GH locus
288쪽
qui describit ut centro A intervalloque AD, iii duobus punctis Quare , demissis exinde super Amperpendicularibus N,ΟR, fient AN . A valores duo , quos trahet incognita, in aequatione xxi ab;eritque AN valor positivus , in valor negativus.
Ponatur squidem Nin re. Et umniam inter se sunt aequales , tam duae AM.AD, quam duae MN , AE erit AM 22 a Da
gulum NM , rectangulum iam , quadratum ex A est aequale duobus quadratis AN, NM simul sumptis. Itaque erit xx haa: - ab zathbet. zaa: hab albR. un- de infertur aequatio problematis xxtra M. Ponatur quoque ARα - x. Et quia pariter sunt aequales inter se, tam duae ΛΟ, AD , quam duae o , AEa erit A in a a
eruitur aequatio problematis xx b. . Quod autem haec constructi reeidat in eam , qua utitur Euclides , pro mediae pro portionalis inventione, non est dubitandum.
Si enim circuli circumferentia , quae describitur centro A , intervalloque in secet reis
289쪽
is AEECTIO NuM CONICA Ru MEuclide constructionem in nostra contineriam. Vili. sed notetur hoc loco velim, quod 'φzzz.s aequati problimati sit xx -- ab uno
iatiatio etiam confructione erat re licebit . Nam , asia - sumpto rursus lisco ad rectam simplicissimo festi saeclocus ad circulum in veraco. ab . Unde oportebit, essu in hoc casu quadratum perfectum, non quidem quantitatem eis ab sedec ab. Talis vero haec quantita esse non potest, nisi semisummae ipsarum a b sit equalis . Nam , semper ac habetur e mo alh a fiet ccxmoa fabis ad hyi 4; ademque erit instat ob et M q. . Hinc ex duobus locis geometricis, quibus problema construi debet , erit dicita a b aiocus ad rerum in xx ' γα aa: --ob: alueue locus ad circulum. pio. Sit itaque rursu AB recta . super quali. sumi debent valores incognitae x. Et quoniam aequatio circuli hic pariter uua eget reductione, erit adhuc punctum A centrum illius.
Unde, abscissa exin portione AD - ara. Ra fiet Dradius ejusdum. Erigatur deinde super An perpendicularis AC, ex qua auferatur portio AE M a: th: .Quumque
tur ille . ducendo per punctum E rectam GH, ipsi AB parallelam. Patet autem, rectam istam CH nullo pacto secari posse cum circumferentia circuli,
quae describitur centro intersallo AD;
290쪽
E . - A. x ν quandoquidem eius a centro distantia maior est ipsa AD. Undu, quemadmodum construdita loca nulla habent puncta communia ita
nec etiam dari poterunt valore tales inc gnitae x,qui utriusque loci conditiones adimia Pleant proindeque problema , quod simul continet eas conditiones , omnino contradictionem involvet
IX. Constructo problemate. quod con IX. etinet aequatio meum σὲ iam , ve Hui, Mimia fra :zolia, qua se Misim Deneris , - reo si β--ν - - cebita quum facile st, aequationes omnes se zia zza:
cundi eradus , per constructiones problema.
tum prini generis ad ioimam Illam revocarL. amur.
Ita , si aequatio problematis sit xx, ab sed; capiendo fim 'id a fiet asta ab dicit a que adeo erit xxtra af Et, aequatio stκκια
Fieri autem potest, ut aequatio problematis oriatur affecta AE contineat quoque secundum terminum . Sed quum facile sit , terminum illum ex aequatione delere adhue
quident eodem artificio problema construi' poterit. Ita , si aequatio problematis sit, εaaxab; faciendo κ=a - , erit xx finaxm ae Unde, per substitutionem, erit -- aue, sive etiam eam abloa, quae quidem aequatio iam construi potest.
Eadem ratione , si in resolutione alicuisau problematis perventum sit ad aequati nem-. xx --, ponendum eritis , o G a Nam, quum labeatur βα----