장음표시 사용
291쪽
at SECTIONUM CONICARUM erit, substitutionis ope , a -- ge-- , sive etiam ainaa imi Sed nihil vetat , quin hujusmodi problema quandoque impossibile fiat nimirum , quum fuerit4 maior, quam a Tunc enim poni debet a Mi - --f; adeoque aequatio ultinio redum
erit Σκα af, quae construi nequit. Hic quoque in aequationum reductioniabus instituendis Geonietrae solertia dehet locum suum habere . Ita , si habeatur Ea ialis, sumi poteritfra illa in erit et in ofaequatio redum Pariterque,si fuerit eam: sat, tum si in Q cum a --b-d: ita, ut si a -- - -- L habebitur loco ejus haec alia Ea in ed.
X. Non itaque in dubium verti potest,
νώ-- cui omnia problemata secundi steneris nullo ννοι .M. negotio construantur, ubi semel constructum - est problema quod continet aequatio κα--. Et quoniam problema istud non aliud imvolvit, quam ut inter duas rectas datas media proportionalis inveniatura liquet, cuncta fecundi generis problemata per inventionem mediae alicuius proportionalis, construi posse.
Interim , si in resolutione alicuius problematis occurrat aequatio, in qua quadratum incognita adaeque duo alia quadrata cognita; tunc longe facilius , per hypothenu iam dati alicujus trianguli ru tanguli sol rit ipsus incognitae vator designari. Utis haheatur me in oldb, fiat triangulum recta gulum , cujus crus unum sit a in crus alterum λι eritque hypothenus ejusdem tria
292쪽
rentiam . quae inter duo alia quadrata cogi ita deprehetiditura tunc designari queat valor ipsius incognitae, per crus unum dati alicujus
trianguli rectanguli. Ut, si habeatur xx mia, b, , fiat triangulum rectangulum , cujusa sit hypothenusa, i crus unum Leritque crus alterum valor incognitae Et ad constituendum quidem triangulum rectangulum, cujus data sint crura satis
est , crura illa coniungere ad recto angulos, tum eorum extrema per rectam aliam connectere. Sed, ut construatur triangulum rectangulum , in quo data sit hypothenus cum crure uno;oportet primo super hypothenua, velut diametro, semicirculum describere; tum in eo aptare crus datum,quod portionem ejus semicirculi ibtendat; ac denique chordam
ducere reliquae portioniS. XI. Caeterum in constructione problema I. tum secundi generis reducendae aut eorum aequationes ad formam illam simplicissimam,
quo constructio ipsa uno circulo peragi possit. 'πid
Ut enim ostensum est, reductiones hic fiunt, u ad δεν- per constructiones problematum primi generis , quae reεtis tantum absolvuntur . Quare, reductione peracta , non alium circulum in construct ione problematis oportebit assumere , quam qui pro mediae proportionalis inventione omnino requiritur.
Interim , si hanc nobis legeni imponere itemus , etiam absque reductione unum
293쪽
αν SECTI DNuM CONICARUM quodque problema secundi generis construi poterit . Sit enim xx - - --miuatio, tesolutione problematis orta . Capiatur locus ad rectam simplicissimus 3 - c Quumqtie fiat τ' , , habebitur additione locus ad circulum si xx aax in ab hoc qui tamen non aliter potest describi, quam adhibito circulo alion quum sit in a 'ob hec , lime est media proportionalis inter liccio radius ipsius. Sit eti-- - μ' ab miorquatio ex resolutione alicuius prodimatis nata C piatur quoque locus ad rectam simpliciis mur
cuius alter adhibe itur. Juvat autem hoc Ioco notare , quod quemadmodum radices duae aequationis xxj aum ab mis fiunt imaginariae, quum ob major est , quam a ; ita ipse etiam circulus imis possibilis evadat , quotiescumque in eadem
hypothesi ob - ω major est, quam cc. Sed etsi, ob quantitatem , libitum sumptam, eludere liceat circuli impossibilitatem; comtradictionem tamen ex problemate nunquam
delere licebit: enim vero , cujuscumque Va- loris capiatur quantitam , semper maj. Ferit , quam se a- - cc). xii lI. Illud etiam nolo hic silentio pret
294쪽
simplicissimos mi , reperire licet additionis ΣΠ ρ ope, locum alium, qui ad circulum nos ducat. Quare non aliud superest , quam ut , comPR ratione instituta , inveniatur, quinam ite
debeat valor assumpta quantitatis, quo ompertus circulus possit datum illum nobis et hibere. Si ergo xx a..- ah aequatim ex
resolutione alicujus problematis orta at Porteat , eam construere mediante circulo, cujus radius sit Capiatur locus ad rectam simplicissimus 3 αα c. Quumque fiat cc;
erit additione 'o pax ob' locus ad circuJum Jam radius huji s circuli est ). Quare ut idem possit nobis circulum datum exhiberes, oportebit . esse 1 - a fabri ce),sive etiam 'im ait '
diante circulo, cuius radius sis, necesse est, ut iocus ad rectam sis hf- - M
Nam, quum habeatur vera: F--aa-M; se additiones' ' - - axiss--aalocus ad circulum , cujus radium esses, liquet abunde . Sed perspicuum est, constru Etionem istam non semper possibilem esse. Nam si fue
295쪽
sit --aaxfab in m Sc in ejus constructione adhiberi velit circulum, cuius radiussit a fiet dii ab locus ad rectam Nam, quum habeatur Idi m ab sive div ini; erit additione dis in Mam o locus ad circuluma cuius radium esse a nemo non via
de . Hic autem locus ad restam semper realis deprehenditur.Sed non ideo constructio problematis semper possibilis erit . Nam . si su
rrit ab major quam a , sive etiam major quam ara nulla erunt utriusque loci puncta communia Ladeoque problema contradictionem involvet.
ν .ιώ- UL Denique me aliquid hic missum u. zz faciamus, quod scitu sit dignum subjung Catao mur constructiones artesiana probismatam ρ indigeseris. Itaque sproblematis aequatio induat sormam vel hujus xl----
constructio, formando prius angulum rectum δ' ABC, in quo si AB, b, SCB is a tum 3 deseribendo circulum ex puncto C, tamquana centro S intervallo CB. Nam,si deinde jungatur AC , quae circulo occurrat in punctis D in D; erunt recti AD, AE alore duo ancognitaei. Et in prima quidem aequatione, fax
erit A valor positivus, AEualor negativum enim vero , sive ponaturAD in m sive AE - - x, ope trianguli rectanguli ABC,semper aequatio illa nobis sub- orietur . Vicissim autem in secunda aequatiorim xx ax--bbimo, erit A valor posiativus , AD valor negativus , quum, ben scio
296쪽
ELEMENTA. si seio Husileni trianguli rectanguli, restituatur nobis illiusmodi aequatio , ponendo ΑΕ
Quod si autem aequatio problematis sit, vel hujus formae xxam h o,vel etiam istius xx fax χθ - construetur proinblema, si iisdem ut supra peractis , duc
tur recta ADE, parallela ipsi BC. Et hic quo Fι que fient AD , ΑΕ valores incognitae, qui tamen erunt positivi, quum habetur xx - Osin vicissilii negativi, quum m hiematis aequatio est xx laxi ιι - λIn secundo hoc casu nihil obstat, quin recta AD circulo non occurrat nimirum si fuerit AB major, quam CB. hoc est , major, quam a 2 . Sed , quum id contingit, ut nutasi sunt puncta occursus , sic problema impossibile erit. Fieri etiam potest, ut eadem recta ADE circulum tangat i scilicet, si fit xit b iis . Et tunc , coeuntibus in unum punctis D in C, aequales fient inresse valores duo incognitae X. XIV. Sed quod judirium de hisce Caru - xiv. ni confractionibus ferendum sit, nec etiam subjicere gravabimur . Quin eluceat in eis . . . a simplicitas, ae elegantia a non est dubitat et dum . Ea lanien ex formulis potius aequationum tota proficiscituriquae prosecto non ama ' ' 'plius apparebit, ubi non sermulae , sed ipsae
problematum aequationes , quae ut plurimum composita esse solent ad illas constructiones exiguntur. Jam enim pro iis constructionibus dua FI. I a.
bus tectis opus est , scilicet tangente AB a 4.
297쪽
- SECTIONUM CONIEARuM radio eliculi CB. Ex his autem posterior CB, quum sui uiden adaeque coessicientis cundi turmini, sumper per problema primi generis potest defiiiiii seduluantum ad priorem AB , raro quidem evenit, ut per probi ma secundi generis determi irari non debeat; quum Ju quadratum ultimo aequationis termino su aequale. Hinc artesianae constructiones probleniatuni secundi generis ponendae sunt ii ter eas , mrus hibet admitteres, etsi non uno circulo si in . Qua autem ratiotis eas detex tit Auctor id quidem minime nobis explicare digitatus est. Sed iobabile est , in eas incidisse , considerando expressitones valorum, quos in singulis iis brmulis hahet incognita δquum non aliter earum critatem ostendat,
quam quia rectae iliae AD AE eodem modo oriuimur expre . Illud etiam nolo hic reticere , constri ctionibus suis Cartesium exhibuisse tantum
valores positivos, non item negati vos. Istud autem vitio ei verti non debet. Nam, etsi, beneficio earundem construditionum, habeantur quoque valores negativi;eos tamen negligendos esse putavit, quia non adhue ostenderat, posse mirationes utriusque generis valores admittere. Et inde pariter, Am,ut e strictio quartae formulae omnino apud ipsum
298쪽
mata solida generatim Osenditur
i, otio problemata vocabant Veis L, res ea, quae construi non pos Σ
sunt . nisi adhibita aliqua coni sectione solida, 1. x Talia autem , iuxta Recentiorum diu in amisaι, ctionem fuit problemata tua , qua sive tertium sive ad quartum genus revocantur.
Debent quidem hujusmodi problemata per loca duo secundi generis construi . Quare omnino necesse est, in eorum constructione aliquam coni sectionein assumere Neque enim esse potest ad circulum uterque locus. Nam, etsi circulus sit locus se cundi generis in per aequationem secundi
gradus definiatur ex duabus tamen aequatio-inibus ad circulum, in quibus incognitae eundem anguluit continent , numquam licebit, aequationem determinatam eruere, quae ad tertium , quartumve gradum ascendatri nee
proinde unquam poterit constructio probismatis tertii, vel quarti generis intersectione
duoruni circulorum obtilieri. Ponamus etenim primo,incognitas duas In utroque ad circulum loco rectum angulum continere. Et quoniam in isto casu nequit in
eorum aequationibus roperiri productum ip-
299쪽
rameto. Qtiare,exterminando unam incognit Tuni, nunquan poterit incognita alia ad tres, aut quatilo dimensiones ascendere. Ponamus secundo, incognitas duas otiis quum angulum continere , ita ut in aequati
nibus , loca ad circulum designantibus, resuriatur produEtum ipsarum incognitarum . Aquoniam obliquus ille angulus debet esse
idem in utroque loco, induent eorum qua tioncs in hoc casu, vel formas istarum a f
minata incognita una, nec etiam incognita alia ad tres , aut quatuor dimensiones pol rit attolli. ii. II. Non itaque in dubium verti potest,
quin , iuxta Recentior uin distin tionem , ea νονινmatum quidem Problemata sint solida , quae tum: zzis, tertium , cum ad quartum genu revoca Dιονα se tur. Hujusmodi autem problemata constru
..., licebit , tam duabus coni sectionibus quam circulo, in coni sectione. Sed proti, strendae sunt semperiae constructiones , quas circulus ingreditura quandoquidem circulus in plano longe facilius describitur,quam quaelibet sectio coni. Potest vero cum circulo conjungi quaecumque sectio conicaa quia ex aequationibu
300쪽
E I. Em A. Problematum solidorum omnes secundi ge neris locorum species erui possunt. Et quoniam , comparatis locis geometricis, naturae problematum consonis , constructiones ipsis nullo negotio peraguntur istendemus potissimum hoc capite sua ratisne ex folii alia
cujus probis malis aequatione singuia speciei corum secundi generis colligi queant. Et autem aequationes problematum idorum possint, tum ad tertium, cum ad quartum gradum attolli , nihilo tamen misnus , quae hic a nobis in exemplum si
rentur,ad quatuor semper dimensiones ascendent . Id vero multum abest , ut difficultatem facere debeat. Nam quum aequatio quar ti gradus deprimatur ad tertium, ubi ultinius
ejus terminus Zero aequalis supponitur , considerari poterit aequatio tertii gradus velut alia quarti , postremo termino carens. Potius diserimen seri debet inter aequa,tiones, secundo termino praeditas , a eas , in quibus idem ille terminus deest . Nam longe
aliter eruenda sunt loca secundi generis,quum aequatio problematis solidi secundo termino caret , quam quum eodem illo termino est referti. Et quamquam facillimum sic delere secundum terminum ex quacumque aequati ne ue construere tamen praeparatione ista problemata blida , non semper sibinde sicile de .
III. Primo igitur ostendemus , quo pano erui debeant species omnes ocorum fecundige V 2,. n.