장음표시 사용
441쪽
sit: nam ipsa experientia constat in inclinatione 3 graduum potentiam pondus sustinentem esse ponderis subduplam, cum iuxta Cardanum subtripla sufficiat, cum o graduum angulus sit recti subtriplus,cuius nempe triens. Deinde in inclinatione 6 graduum i li- orae libras is sustinerent,cum tamen ilibrae proxim requirantur. Hinc etiam constat 9. propos 8.Collat.Matth. Pappi falsam esse.
Adem ratione crescit iter a pondere super inclinato plano faciendum, qua decrescit potentia 4nde tempus quo mouetur super illo plano, ad tempus quo mouetur per planum perpendicula re est in ratione reciproca potentiae per lineam perpendicularem agentis ad potentiam per inclinatum planum trahentem itaque tempora sunt inter se ut ipse plana: Si vero planum utrumque iuxta diuerses angulos fuerit inclinatum, maiorem potentiam magis inclinatum requiret, sed reciproce maius erit iter c tempus quo pondus ad aequalem altitudinem super plano magis inclinato tolletur .cres cit Vero tempus eadem ratione qua potentia minuitur nam si quid potentiae superaddendum fuerit, id in imperfectionem, siue impedimenta plani desponderis refundendum.
Cochlea resertur ad planum inclinatum, circa rotundum corpus inflexum vi postea videbitur , quemadmodum cuneus, uti iam dictum est,cum vis eadem in impellendo sub pondus plano,quam in pondere super planum trahendo requiratur.
PROPOSITl XIV. Cum linea directionis, qua pondus super inclinato plano a potentia su linetur , non es eidem plano parallela plani inclinatione o pondere datis, inuenire potentiam.
IStius propositionis casus duo cum una determinatione prius explicandi, quam ulterius progrediamur. Sit igitur pondus A super
442쪽
plano inclinato LN in figura prop. praeced.libra C A N inclina. ia sed eodem plano perpenoucularis,&libra horizontalis CF cum AF linea linea CF perpendicularis V AD plano LN parallela S. M plano horigontis LM perpendiculari. Plaeterea Tm usque ad A centrum grauitatis dati ponderis Aproducta ducatur ex puncto Niexpendiculariter super planum inclinatum L 1, occurrens horiZontali plano in puncto , ut cum opus erit Tri tunem vel lineam firmam seu inflexibilem referre queat. Constat autem linea P existente linea directionis, perquam potentia pondus A sustinet, potentiam pondex aequalem esse debere, cuius sustentatione posita, pondus nihil premet inclinatum planum LN a quod neque premetur, cum linea directionis inter A F&AYfuerit ocans lumi Aa diuiseris verbi gratia directionis linea I A non sustinebit, sed deprimet pondus quapropter nec Aa nec inter WS AT esse debet, nam exempli causa si potentia per lineam AZ agat pondus deprimetur ivbi supponendus a plano nihil impediri lineam Aet, aut alias lineas per planum idem transeuntes, vel ipsam libram C A N. Denique cum potentia per lineam AT trahit pondus in planum L, a premitur quidem planum, sed nulla ratione ponderis lapsum impedit, quantumuis potentia prematin impellat pondus contra
Duo igitur reliquos potentiae situs discutiamus,in quorum uno linea directionis est inter AF MAO, quae angulum RAO diuidit, ut cum linea directionis est & potentia in Q, vel post trochleae circumductionem in E. , In altero stu, line dircctionis potentiae est inter A O in T,qualis est A R, potentia existente in R, vel in Sirochlea beneficio. Qui quidem casus sola constructione dit Ferunt, nam utriusque demonstratio eadem omitto impulsionem dc tractionem eadem vi de linea
Primi casus explicatio δίdemons ratio.
SI A QIirectionis linea, per quam potentias vel E sustineat
datum pondus A, super inclinato plano L Na; angulus inclinationis N LM datus, α angulus OA ublinea AO Naso LN a
443쪽
parallela, WAminea,per quam trahat potentia , vel E,reperienda est haec potentIa.
I leoque B ducatura puncto Clinea in perpendicularis, quae cadet inter Q&A, quod anguli QC, Q AC sint acuti; eritque
data C B ob datum triagulum AB, cuius C A per con structionem, datur, angulus B rectus, langulus Gam anguli A complementum. Sit etiam, data BC ad datum CF, ita pondus A datum ad potentiam , vel E, quae data erit.
Cum enim inpotentia per A O lineam plano tam parallelam trahens sustineat pondus A super praedicto plano, vel superlibra C A, omnia se habent ut in praecedente propos. Erit igitur potentiae ad Apondus eadem ratio quae Cilinea ad lineam C A ex praecedente prop. pondus A ad potentiam vel E, ita C Bad CF per construct igitur, per aequalem pereurbatae proportionis rationem, O potentia est ad Q vel Epotentiam, vi Cm ad C A. Sed vel Epotentia trahens per Q Alibrae in brachio obliquum, eodem modo trahit ac per l, librae brachium reserenatem,cui C lineadirectionis Ba perpendicularis et t. Cum igitur potentias et E perpendicularis trahit super C B,&Opotentia super A,&est proportio reciproca potentiae ad potentiam Meli,& distantiae G perquam trahit Q vel Ebad GA
distantiam, per quam O potentiat ahent, potentiae trahent aequaliter per 6 lib. I. mechan Archim.
Sed potentia per A trahens facit libram Cin aequilibrem cum A pondere super planoam et, eiusque lapsum impedit, per prae cc- dentem pro igitur vel Epotentia per B vel Cadistantiam trahens libram C A aequilibrem conseruabit, a ponderis lapsum tin- pedit. linisque I centro ponderis A infixa libram exonerabit, . quae manebit inutilis. Igitur .rel Eper QA funem trahens datum pondus A sustinet super L N et plano,cuius LM angulus inclinati nis datus est et E potentia data, quod postulabatur.
SItAR direc tionis linea per quam potenti xvel S sustinet porris diis A datum, super plano sitque datus an oulus O AR, caeterisquevi antea superest R vel S potentia reperienda. Angulus C AC rectus est, gitur CAR angulus obtusus dabitur: sic recta R A veis in usque ad I punctum producta, in quod CDPer.
444쪽
pendicularis cadit, triangulus C AI,4 perpendicularis CI dabitur. Fiat igitur ut C Irecta data ad GF datam, ita pondus datum Aad R vel S potentiam, quae prout requirebatur data erit.
IN hac propos praesertim in illius secundo casu maxime notandum est unem RAsitum hunc habere posse, ut perpendicularisCI sit aequalis, vel minor GF in ratione data, atque adeo pondus Aaequale potentiae , aut S, vel illo minor in ratione data, ut maior potentia quam A requiratur, ut super Naplano linea directionis ei minime parallela, trahendo, vel pellendo sustineatur quod oritur ex eo quod vis maior requiratur ad pondus trahendum per lineam
quae plano parallela non est. Qus d facile probatur ex eo quod primo casu sit minor ratio C ad CF est enim CB minor C A. at qui ut AE ad CF, ita pondus A ad Q. vel Epotentiam DS ut C A ad GF, ita pondus A ad O potentiam, est igitur ponderis A ad vael Epotentiam ratio minor quam ponderis A ad potentiam, quare potentia minor est potentia Qvel E. In secundo casu a perpendicularis minor est ipsa inca CA, igitur minor est C I ad C Fratio, quam C A ad GF, ut in primo casu.
Plano inclinato o pondere ei superposito existentibuουν deni, quo directionis linea maiorem cum illo plano faciet angulum δεῖ maior ad pon sustinendum potentia requiritur.
I primo casus potentia per funem A QIrahat, cum A
linea faciat angulum AR Deinde trahat potentia I per sv nem A s. iacia cum AO angulum incis maiorem angulo O ARMA is linea magis quam ' ad lineam AF accedat:&tam potentias quam is sustinere possit A pondus super inclinato plano Net, erit potentia is maior potentia inducta enim super Ais Perpendicularicas , constat pondus A esse ali potentiam ut G ἐad Ci,4 pondus A ad Q. potentiam esse ut C B af F. Atqui ratio
445쪽
Cis ad CF minor est ratione Bad CF, cum C is minor sit C Bline, Ponderis igitur Aad Is potentiam ratio minor est ratione ponderis A ad Q potentiam; igitur 3 potentia maior est potentia Q. In secundo casu,potentia Rper' lineam agat, angulum RA Ocum D faciat deinde potentia I per chordam Acio trahens fa ciat cum AO linea Io AO angulum angulo RAO maiorem , sed TA O minorem,ut Acio, linea ut, quam R, lineae AT plano L Naperpendiculari vicinior tam quam Io potentia sustinere valeat pondus super plano praedicto,erit potentia Io maior; potentia, nam a puncto C super io utcumque producta AIoversius Α, Cta perpendicularis demittatur, constat A pondus esse ada potentiam ut PC ad C F, ad potentiam io ut m ad GF atqui ratio I maior est quam C 1 ad F, quia Ic maior est C ii. Igitur ponderis A ad' potontiam ratio maior est quam ponderis A ad potentiam Io, quaret potentia minor est potentia Io.
PROPOSITIO XV. Datis plano inclinato , pondere , potentia, quaesit maior minore pondus datum super datum planum suctinente, lineam directionis inuenire per quam data potentia pondus idem super eodem plano δει stinebit; dare angulum quem hacinea cum plano faciet.
SI rursus datum planum inclinatum L et , super quo pondus ,
deturque potentia maiori vel 3 potentia, omnium A super plano scistinentium minima itque reperienda linea directionis per quasndata potentia super LN pondus A sustineat is linea directionis ponderis , libra C perpendicularis plano AN a Cisupera A&caeterae sint ut anteas erit igitur ex dictis O potentia ad A potentiam ut CF ad C A. sed data potentia maior est O potentia igitur illius maior erit ad A pondus quam C F ad C ratio,in consequenter, I minor erit C A. Si data potentia sit aequalis ponderi linea Cis aequalis erit CF; si maior fuerit, imminor crit C F,sin minor fuerit C I9 minor crit. CR
446쪽
lam vero centro C, interuallo C, circulus II', I deseribatur, qui Q in eam secabit inter puncta C, F, cum i maior erit CF, vel inpunino F, cum Ci aequalis erit CF: alioquin idem circulus
C lineam inter C, F secabit. Vt ut suerit a puncto A ponderis centro duae circulum tangentes Ai8 &AI, nec non lineae CIS,&CI ducantur Tangens ii pro due a lineae Cini punctoi occurrit quod quidem punctum si culi is, i secantis lineam ct inter puncta F, 3, vel in puncto P, vel inter CF, leges sequetur, erit quippe similiter inter eadem puncta,vel in F puncto. . Si cadat punctum 1 inter F sci potentia ducta pondus A trahat persunem ci , sustinebit A super plano L N et, cum sit C 1 perpendicularis ad GF, ut A pondus ad datam potentiam. Si cadat in F,vel inter C F, potentia erit ad eam partem inutili neque seruiet nisi sim dato pondere minor fuerit. Tangens A producatur versus partem Acin R,&periunem AR data potentiali, vel trahat, quae pondus A super plano sustinebit, eum ex constructione perpendicularis I sit ad Ci lineam ut A pondus ad datam Ruel Spotentiam. Et in utroque casu 17ΑOvel RAO innotescet,ut plastulabatur.
EX dictis colligitur datam potentiam iuxta quamcumque rationem, pondere maiorem esse posse nec ullam esse quantumuis magnam,quae,dum trahit per senem AT plano LN perpendicularcio, A pondus super praedicto plano sustinere, aut ipsius lapsum impedire possit, per lineam G pellendo,vel premendo.
PROPOSITIO XVI. Cochlea qua pondera mouentur , s aqua sursum attollitur naturam vires explicare,s ad planum inclinatum reducere ostendere num ascenda aqua per cochleam, qu)d descendat.
ochlea dicitur a mechanicis cylindrus , circa quem elices conuoluuntur vel cylindrus spiratim constructus,qualis in praelo
447쪽
s N M anc)lindrus A B; facile vero reperitur cuius ibet helicis su
per horizontem inclinatio, si ab initio datae helicis,ut a puncto B,per mediam elicem recta BC ducatur, nam inter illam & horizontem BD circunferenti Cm teriecta dabit inclinationem lineae B in verbi causa o graduum , qui testantur pondus duplo facilius Imper planum
BC moueri , quam per lineam perpendicularema Dad C ductam Helicibus vero, seu planis inclinatis additur vectis,
vel manubrium N , quo cylindrus in facilius
IK, qualis est uuarum massa ut vinum exprimatur' prematur fortius: quanquam tollendis in altum corporibus idem
cylindrus adhiberi possit. Vires autem praeli, aliarum machinarum similium ex spiralium latitudine, manubri longitudine definiuntur, si enim, exem'pli gratia latitudo cuiuslibet helicis sit unius digiti vi manubrii longitudo sit ad cylindri semidiametrum ut unus digitus ad I pedes,hoc est vii ad 8 , necessarium erit qualibet manubri conuersione trabem superiorem H D ad LM trabem digiti spatium accederes cumque punctum manubri N integra sua versione circumferentiam 1 pedum seu 16 digitorum describat, eodem tempore quo digiti spatium cochlea descendit, vis hominis non soleat esse minor olibris equitur manum puncto manubri H adhibitam tantumdem premere, ac 'ro libras. Vnde quispiam concludere potest quae ratio debeat esse helicis ad manubrium ut hoc instrumento vel pondus datum tollatur,vel datis viribus aliquid prematur. Quemadmodum ver lindrus D circumuolatas habet helices,quas possis appellare coitu as,ita FG tignum transuersum con-
448쪽
cauas habet,quibus congruant convexa,adeout FG, si mobile fueri , manubrii conuersione parallelum tigno D H descendere, vel etiam ascendere possit. Vulgo tamen est immobile, S cum rectis tignis F , G S sirmiter compaginatum , quemadmodum trabs inferior L M, superior vero Hi mobilis est , ut attollatur , atque depri
Porro cylindrus concauus in medio trabis FG latens mater aut scemina cochleae, vel tylus appellatur, Gallisu'ecroux , ut coc EleaAEDia vid, vectis N arbre. Ali helicis convexa supremum apicem striam, concauum strigem appellant, de cylindrum in helices efformatum clauiculatim,spirulatim dc capreolatim striatum appellant, quo praelum H invertigine
demittatur,vel tollatur. Helix autem cylindro circumuoluta retertur ad cuneum, seu planum inclinatum vel etiam ad vectem, ut ipse cuneus Licet autem
ista cochlea horizonti perpendicularis intelligatur, atque adeo manubrium, seu vectis N sua conuersione praelum H D sursum tollat& deorsum demittat sit tamen supponatur horizonti parallela, dextrorsum,vel sinistrorsum, vel retrorsum & antrorsum idem praelum, vel illius loco pondus mouebit. Qui plura volet,G.Vbaldum habet de colitea pluribus dicterentem, ultimo lib. Mechanicorum tractatu qui cum . libros de alia cochlea Archimedi tributa scripserit,pauca solii r de ea subiungo. Sit igitur cochlea. vel t Athenaeus loquitur Cochlion,quod Diodorus in usu finit docet apud Egyptios , quippequi lacunas Niloessiuente repletas hoc instrumento cxsiccarent MI ST cylindrus
super planum inclinatus, circa quem helix in , Y de ac , cilc. circumuoluatur, ut aquassuuh, lacus, lacunae,aut alterius loci P trans seratur Nascendat ad datam altitudinem S, essiuatque per V. Quod fiet manubri hi versione aqua enim P perpunctum Q ingrediens descendet ad R, deinde ad Y ascendet a quo descendet iterum ad , a quo ad . ab a ad e,desita de reliquis helicibus, donec ad extremum, ultima ,hoc est ad iunctum pervcnerit Cochlea potest etiam cono adplicari, qualis est conus QT, cuius helices erunt QR, Z&, bc, e, donec ut prius aqua perueniat ad iunctum.
Licet autem Vitruvius lib. io. cap. o. hanc describens machinatia velit eam ita super horizontem inclinari, ut cathetus V sit triuinyarrium,qualium g basis 4 Si hypothenus Na quinque ob trian-auli Prili gorici excellentiam, illud tamen minime necessarium ac
449쪽
c., baldusia monstrat qua ratione inueniantur helices cochlearmiocurnque modo constitutae datoque cylindro ad horizontem inclinato, quomodo helix constitui debeat, ut aquae super ipsum fluere possit cuius tertiam proposlib.terti praesertim legere debeas. Solum addo cochleam horizonti perpendiculare,aut parallela inutilem, S quo magis fuerit inclinata,comatorc aqua copiam attollere, sed tardius quo per eande cochleam diuersimode inclinata maior attollitur aqua copia,ed maius tempus insumi. quo minore potentia per cochleam eodemodo inclinatam aqua tollitur,eo maius tempus requiri. Porro describit lineam
qu a omnes hclices a dato puncto secundum datam logitudine sunt aequales, quam cylindroqua ranrem appellat,ut lib. q. pro p. I. videre est. Sunt autem duo puncta
in helice qualibet, nempe supremum , vel V vel a &infimum, qu lem, , c, e , quae praesertim spectanda sunt, quandoquidem aqua censetur ascendere per lineam X per omnia puncta infima transeuntem.
Licet vero solis lineis GR. 8ic helices descripserim, intelligendi sunt tubi caui,quibus aqua permngrediens semper de '
tineatur ne effluat donec adaperuenerit. Cum autem ipse G. Vbal dus cum aliis existimet aquam in istis helicibus ascendere quia desecendit, ut ex illius in rae cochlea libris constat in quibus similia quaedam velut artis icientiae miracula commemorat, verbi gratia, quod axioma sequens ubi datur maius is inus, aequale datur,non sitvndcquaque verum,cum angulo rectilineo mixtus ex circumserentiao recta linea maior dc minor detur, neque tamen dari possit aequalis;
450쪽
qua de re Cardanus sus prop. is'. lib. I. de proport. quod duae lineae
ad se inuicem semper accedere possint,neque tamen unquam conuenient,ut in conco idibus ad lineam rectam accedentibus,&inassymptotis videre cst: cum, inquam, omnes sere credant non aliam efferationem, ob quam ascendat aqua a puncto Q. vel ad punctum T.
nisi quia descendit, mutabunt sentcntiam si cogitent plani inclinati X punctum' verbi gratia,manubrij li cylindri v versura,
seu conuersione idem pati, vel agere, ac si globus aqueus, vel aliud corpus continuo pelleretur super inclinato plano X T. Quod etiam ipsum ex parte vidisse constat ex prop.3. lib. 3 pag. I 2 . Videatur Cardanus lib.I. de subtilit ubi de hac cochlea fuse, quique credit aquam perpetuo descendere, S tamen in fine altiorem euadere Machinam etiam Augustanam pluribus instructam cochleis describit, quam typis elegantiolibus Apiario . Bettinus delineauit ut in dato spatio ad datam altitudinem grauia per cochleam extolli posse demonstraret.
gua potentia pondus quodlibet per qualibet inclinata
plana ducatur, vel trahatur, in cochlea gratiam iterum explicare.
SIt in hac figura planum horizontalea B, perpendiculare DI, vel
O, in B planum durissimum,&planissimusta iridi ligatur,vento quolibet corpus quantumuis graue,durinthiat, istum iobest mihi-ma vi moueri poterit; quod ut per planum inclinatum C F moueatur, vim maiorem requirit, S hac maiorem ut per planum C G ducatur, donec in plano verticali D, vi toti ponderi aequali sustineatur. Quanto autem vis maiori uino quam in altero plano requiratur, ex lineis ad horizontem perpendicularibus punctis F, G.&c ductis innotescit, quandoquidem potentiae corpus super plana tranentes, sunt ad inuicem ut illae perpendiculares ad inclinata plana.
Exempli causa, linea perpendicularis PH planta C dupla est, quapropter vis duplo minor corpus graue super plano F quam super, vel in plano verticali DC sustinebit. Similiter perpendicularis GI quae est ad suum planum G G vG ad , testatur potentiam pondus super C tenentem esse ad potentiam illud in plano verticali sustinentem ad 8. Idemque penitus dicendum de planis inclinatis infinitis quae in quadrante circuli Ac duci possum .