장음표시 사용
491쪽
quantitas sit potentialiter in infinitum irrationalis, constabit sc .Sit talis quantitas a. eius quadratum b.eiusdem quadratum secundum c. cius quadratum tertium d. & dei ceps in infinitum. Quando igitur quantitas a. bimembris est, tunc per quinquagesimam octauam b. erit binomium, atque c. α d.catcraque in infinitum quadrata semper binomia prima. Quς cam irrationalia sint, constat propositum. Quando verb quantitas a. residualis supponitur, tunc per sexagesima prima b. erit residuum. Inde autem c.& d.& si quiantia semper quadrata residua prima, dc perinde irrationalia, quemadmodum demonstrandum proponitur.
Pinomlamoresiduum non solum inter se magUtudine, sed
etiam primo,secundo, ct omni deinceps in infinitum quadrato in-co1nmensurabilia suu L. Sit a. quod uis binomium. b. autem quodlibet residuum. Aio,quin a b.& simpliciter, de potentialiter in infinitum in commensurabilia sunt. Nam si b. ipsi a. commensurabilis esset,cum a. sit binomium,ellet & b. binomium per sexagesimam quartam huius : quod est contra hyp. Non sunt igitur a b. commensurabiles, sed incommensurabiles Deinde sunto ipsorum a b. prima quidem quadrata cd. secunda e f. & deinceps sequentia. Erunq; per quinquagesimam octauam & sexagesimam primam huius,c.bia nomium, d. alitem residuum primi ordinis. Et similiter αbinomium , & f. residuum eiusdem ordinis , quae sunt inuicem, hoc est, tam c d. quam e f. de deinceps, incominensurabiles: quoniam scilicet binomium Residuo in commensurabile ludum ostensum est. Igitur potentiae ipsorum a b. prim , secundar&sequentes in cominensurabiles ad inurucem, sicut proponitur.
Timembris quantitas ct residualis non solum inter se magnitudine sed etiam potent aliter in infinitum incommensurabiles sint. Sit a. qu cunque bimembris, b. vero quaelibet Residualis. Aio quod a b. in commensurabiles ad inuicem sunt: sicus enim per sexagesimam quartam huius,cllent eiusdem generis i quod est contra hypothesim. Deinde sint ipsarum a b.quadrata nima c. . secunda e f. & deinceps : eruntquerer quinquagesimam octauam, & sexagesimam primam c.
492쪽
binomium, & d.res tuum : item e. binomium primum, &'s. rcsduum primum : igitur, pcrptat cedentcm,ta ipsi cd. inter se , quam es. inter se, & deinceps sequentia inter se, incommensurabilia sunt. Quare ipsbrum a b. tam primae, qυam secundae quam sequentos in infinitum potentia sunt in commensurabiles, sicut demonstrandum proponitur.
Manifestum est igitur , quod sicut omnis bimembris denumero sex generum quantitatis i primum quadratum est binomium : secundum vero, tertium & omne sequens in infinitum , semper est binomium primum : ita omnis reta dualis ex alio senario quantitatis primum quadratum resi-cbium t secundum vero, tertium "cunoue deincep semper est residuum primum . Quiad non est parua admia ratione dignum. PROPOsITro 97 .
Quadrata portionum nrratisimilis LMae bimembris,quae maiore appellatur,sunt binomium coe residuum quartae steciei. Constati hoc aperte in descriptione & ilicoria quinquagesimς octas uet huius, quando ab c. est binomium quartum in n. est. h maior. suit autem ibi a h. potentior quam L L in eo, quta fit ex a l. l b. hoc est, in quarta parte ipsius e s. hoc est,in quadrato, qίod ex dimidio ipsus bc. quod dimidium incommensurabile est ipsi a k. quoniam corum dupla, scilicet a b. b c. membra binom ij sunt incoiinmensurabnia : quo fit, uta k. rationalis potentior sit, quam kl potentialiter tantum rationalis in quadrato radicis sibi in commensurabilis: Atque ideo, perdissinitionem, alii. sit binomium quartum
ex membris a L. kl. constans e vique t b. eorundem mcmbrorum excessiis si residuum quartum. Erat verb a l. qu dratum ipsius m. atque i b. quadratum ipsus n. quς sunt membra maioris prς lictς , hoc cst m. membrum maius:& n. membrum minus. Igitur quadrata talium membrorum , sunt binomium quartum , ct residuum quaIium. quod fuit demonstrand uni.
493쪽
LIBRI sΕCvNDI, PARS II. I 63 D COROLLARIUM.
i Vnde manifestum est, quod tales portiones, quς consti tuunt Maiorem, sunt etiam ipse irratici ai s Maior, & Mianor. Hoc est, magna portio est irrationalis, quae Maior appellatur : pania vero portio, irrationalis , quς Minor dicitur. Nam, cam quadratum magnet portionis iit binomium quartum , iam pcr quinquagesimam septimam ipsa magna portio eri t irrationalis, quς Maior. Cumque quadratum paruς porrionis sit residuum quartum: iam per sexagesima, ipsa paru i portio erit irrationalis , quς Minor. Atque liccus causa,quod tales irrationales, Maior, de Minor vocantur: quoniam earum membra singula cadunt sub diibnitionem compositi: unde& membra singula rursus in portiones ho
mogeneas, & sic deinceps in inpiritum squod mirabile est
, PRO Pos Tro 98 .cuadrata portionum Totentιs rationale, ae mediais sunt a Sinomium ac residuum aliquando quintae aluiua D sexta speciei. --.Nam in descriptione quinquagesimς septimc huius , quan- do a b c. est binomium quintum, tunc m n. est potens m-conale ac mediate. Quadratum autem portionis m. est a l. quadratum autem portionis n. est I b. contigit autem a l. vile binomium quintum vel sextum. atque i b. essu residuum quintum, vel sextum: quod sit patet. Clim a b c. sit binomium quintum, iam a b. est rationalis potentia tantlim,& idcirco a k. eius dimidium rationalis potentia nin illim. Itaque si h l. sit rationalis, quod tunc contingit,cum d s est numerus quadratus, perinde g. ipsius d i. quarta pars numerus quadratus : tunc a l. est binomium quintum. Sit autem hil. st potentia tantlim rationalis, quando videlicet d L& perinde ipsius quadrans g. non est numerus qua dratus: Tunc E l. est binomium sextum. Et eodem modo variatiir ib. de residuo quinto in sextum, cum sit excelsus smembrorum dicti binomij.Constat ergo propositum. ,
494쪽
Quadrata potentis duo midialia portionum, sunt etiam bino mium, etiam Residuum,quiniue quinta quinque sextae opeciei. Haec constat eodem penitus modo,quo praemilia in eadem quinquagesimae solet descriptione.
Vnde manifestum est, quod tam potentis rationale aemediale, qu1m potentis duo medialia portiones sunt qii rue potens rationale ac mediate: Atque cum rationali me. tale potens : de quinque sunt Potens duo mediatia : Atq; cum mediali mediale potens. Quod corollarium constat ex quinquagesima septima, & 6o'.& ex duabus praemissis.
omnis quantitas potentia rationalis diuisa in binomium, ex bibet in quotiente domis. Quantitas a. potentialiter rationalis diuidatur per binomium b. &proueniat c. Aio, PQ residuum est. Sit enim quadratum iesius a. quantitas d. quq rationalis erit. Item,quadratum ipsius b. site.quod per quinquagesimam octauam huius,erit binomium primum. Deinde diuidatur . . perie. & proueniat s. quae per septuas mam octauam huius,erit residuum nominum commensurabilium nominibus ipsius e .& proportionalium, & perinde Residuum primum. Sed per corollarium duodecimae huius f. est quadratum ipsius c. hoc est c. radix est ipsius s. Residui primi: igitur, per sexagesimam huius c. residuum est Quod fuit demonstrandum.
omnis quantitas potentia rationalis diuisa in residuum, exi, bet in quotiente binomium. . Haec propositio constat eo modo, quo praecedens. Ita ut loco binomij, Residuum; & pro Residuo, binomium ponatur; & pro se vigesima octauacitetur septuagesima nona: quandoquidem d. rationalis diauidenda est per e. Residuum primum. & pro quinquagesima octaua ni matur sexagesima prima,quae loquitur de quadratis residualium. PR
495쪽
P Ropos I Tio tox . Omius quantitas potentialiter rat Onalis, diu: sa in binowla D, reddit in qΜonente resed eis co ruaturam: Diu se vero in re dualem, reddit in quolim e binomyialem corresativam. idem .disendum de quantitate simpli iter . rationali. Exempli gratia, Quantitas. a. rationalis simpliciter, siue rantum potcntialia ter, diuidatur per b. bimediate secundum , dc prouemat c. aio, quod c. erit residuunt mediate secundum. Sit enim ipsius a.quadratum . . quae rationadis crit: itcni ipsius b. tu dratum e. quod per sexasesimam primam huius, erit bino-mium tertitim. Deinde secetur d. per c.& proueniat s. Eritq; per septuagesimam peritiam huius s. Res suum tertium. Sed per corollar. duodecimae huius, c. radix .est ipsius figitur per sexagesimam huius, ta erit Reliduum mediate secudum: quod est propositum. Similiter pro caeteris binominalibus procedemus. Quod si ponaturquantitas a. rationalis diu di, exempli causa, per b. residuum mediate secundum, a Nque ex diuisione prouenire p. eodem modo ostendetur Hle bimediate secundum: sed tunc,pro sexagesima prima Cia tabitur quinquagesima octaua, & pro septuasestina octauacitabitur septuasesina nona , de pro sexageuma citabitur quinquagesima leptima, ut suppositis congruit. P R o p o s I T a o
Omnis quant talis fecundum extremam,mediamis rationemi diuiscutraque portio Ac duum G,maior sciticetquiritum, minor autem primum . Agam per lincas, a quibus argum cntum transferri potast ad quodvis quantitatis genus. Pona' tur linea rationalis a b. quae perpendicularis .sit ad ipsa e b d. iiii que b c. dimidium ipsius a b. coniunctaque a cironatur ipsi a c. aequalis c. . re abscindatur de ipsa a tali sit bd. aequalis b e. Quod feri potest: nam a b. bc. simul maius sint, quam a c. hoc est quais c d. Sit ergo per undecimam secundi Elementorum, linea a b. secetur in puncto e. Ita ut rectangulum ba. a e. aequale sit quadratob α& perinde a b. be. ea. sint continue proportionales: hoc est, ut tota a b. ad maiorem portionem b e. talem habeat rationem, qualem ipsa be. ad minorem portionem c a. Ost indendum itaque est, quod existente a b. rationali be.
496쪽
erit Residuum quintum : Mea. Residuum primum, sici Quoniam a b. dupla est ad bc. ideo quadratum ipsius a b. quadruplum erit ad quadratum ipsus bc. Sed per penultimam primi Elementorum, quadratum ipsius a c. aequale est quadratis a b. b c. simul sumptis Igitur quadratum ipsus a c. & ideo ipsus c. . quincuplum erit ad quadratum ipsius bc. Cumque b c. per hyp. sit rationalis r erunt d c. potcntia tantum rationalis : & h c. longitudine rationalis: quare, per distin. harum, occisus bd. Residuum quintum erit: quandoquidem is c. potcntior quam c b. in quadrato' liniue sibi in commensura tali : igitur S be. ipsi bd. aequalis Nesdmim quintum erit. Atque ideo, per sexagesimam primam huius,quadratum ipsius b e. ciit residuum primum. Fit autem quadratum ipsius b e.aequale rectangulo b a. a gitur quod fit ex ba. in ipsam a e. residuum primum est. Sed quod fit ex b a. in a e. si uis una in b a. rationalem, exhibet ipsam ae. Ergo,per sexagesimam quintam huius,a e. quotieris diuisionis,est comi Mnsurabilis & cognominis ips di- uice, hoc est, quod fit ex b a. in a e. quod est residuum priamum : Itaque a e. Residuum primum est: quod restabat demonstrandum. Quae demonstratio , ad omnem quantitatem transfertur: scii t infert rropoli tio.
si maior portio quantitatis secund w extremam mediam irationem diuisaesurrit rationalis; minor erit Residuum quintum. Sit quantitas Q. ut proponitur, diuisa in partes s h. lig. ronaturque s h. maior portio rationalis. Dico, qudd reliqua g h. erit Residuum quintum. Ponatur enim rationalis ruantitas a b. sic diuisa in partes b e. e a. Eritque per Praec entem, maior pars b e. residuum quintum,& reliqua ea. res suum primum . Cumque, propter proportionem simialem, si sicut b a. ad ipsam i, e. sic sti. ad ipsam h g. & permutatim, sicut ba. ad ipsam sit. sic b e. ad ipsam h g. atqueb a. & sh. sint inter se commensurabiles, quia rationales ;erunt per quadragesimam octauam huius, ipsis b e. h g. inter se commensurabilcs: Sed b e. residuum quintum. Igitur per sexagesimam quartam huius h g. rcsiduum quintum erit. Quod suit demonstrandum.
497쪽
P Rodosi Ti o. Ior. si mitior portio quantitatis secundum extromam mediam irationcm diuise, uerit rationalis,minor erit binamium quintum. sSit quantitas fg ut proponitur, diuisa in partes s h. h g. po- ' naturque minor portio gli. rationalis. Dico tunc, quod sit. maior portio erit binomium quintum. Panatur enim quantitas kl. similiter diuisa, in Em. in I. cuius maior portio k m. sit rationalis : eritque, per praecedentem, i m. reliqua portio residuum quintum. Sed propter similem proporti
nem . sicut i m ad ipsam ni k. sic gh. ad ipsam h f. Ergo per decimam quintam se ii, quod fit ex l m. li f. aequale est ei, quod fit ex m k g h. rationale autem , quod o m h. g h. quandoquidem ipsae rationales. Igitur quod ex l m. h fra timnale est. Sic ergo i m. Residuum quintum multiplicans ipsann his pro Aucit quantitatem rationalem. Q lare, per septuagesimam septimam ipsam,h s. multiplicata quantitas erit binomium quintum: quod ostendendia proponebatur.
Hinc inanifesti im est, qu id si tota linea sic diuisa , sineutralibet portionum ponatur potentia tantiim rationalis, adhuc portiones erunt, quae diste sunt, irrationales, scilicet Residua, & binomium . Nam si dii et lineae, una rationat is, & altera potentialiter tant dira rationalis sic diuis; fuerint, propter proportionem eandem; portiones huius, portionibus illius. per quadragesimam octauam, commensurabiles poteritialiter ount: & idcirco per sexagesimam septimam, eiu tem generis cum illig. Similiter. si portio maior illius rationalis,ac portio maior huius potentia tantum rationalis ponatur, tunc reliquς portiones erunt residua Si vero iminor portio illius rationalis, ac minor huius potentia tan ida, rationalis sit, tunc maiores binomia erunt: sicut inseri corollarium. Pnopos IT io ios . si circulus: cuius diameter rationatis circumscribat triau lum,7 abatum, hexagonum aequilaterum: f tum latus hexagoni rationale es: latus vero tam triauruli, quam q ibati
498쪽
Potentialiter tantam rationale di longitudine 'ineommensurabile ipsius circuli diametro . Patet: nam latus hexag ni aequale est semidiametro circuli circumscribentis, ut in quarto Elementorum ostensum cst. Latus autem trianguli potentialiter triplum ; latus ver uadrati potentialiter di plum est ad semidiametrum:quae rationes cana nequaquὶ in sint, sicut numeri quadrati ad numerum, quadratum , iami per secundum Corollarium quinqirigesimaetertiae huius imiter a talia in comini ensurabilia iunt. semidiametro, & perin de diametro: sicut proponitur . Talis autem laterum ratio
Et mitifestum est simul, quod latus triaguli ad latus quar drati in eodem circulo descriptorum potentialiter est ses tquialterum,& perinde incommensurabile. i
Si circulus, cuius diameter rationalis circumscribat de go num,pentagonum,octogonum, atque dodec agonum aequilaterum: tunc latus de Ioni e: it 'siduum quintum latus pentago-mminor,iatus octogomminor, latus do ecagoai residuus t . De lateribus de goni. & pentagoni ostensum, est in decimo tertio Elementorum ede lateribus autem octogoni de dodecagoni ostensum est in speculationibus nostris sed ex his demonstrationibus hae regulae deducuntur. . '
Vando triangulum, quadrim'. hexagonum; de go anum, pentagonum,octogonum, loderagonum in cirri culo, maius diameter rationalis, describuntur, hae sunt regulae inueniendi huiusmodi figurarum latera singula. Quadratum, lateris, trianguli triplui est vi quadratum isemidiametri. adratum lateris quadrati, hoc est, ipsum quadratum: des cliptum duplum eli ad quadratum semidiametri. Latus hexagoni aequale est ipsi semidiametro. Latur
499쪽
Latus decagoni est residuum quintum, cuius maior portio potentialiter sesquiquarta est ad semidiametrum: Minori A portio est dimidium semidiametri. Quid ratum lateris pentagoni est residuum quartum,cuius maior portio est dupla sesquialtera ad quadratum semidiametri : mitior vero portio potentialiter sequis quarta ad quadratum semidiametri. Vnde latus ipsum linea irrationalis erit, quς, M l NOR Quia ratum lateris octogoni est etiam Residuum qua tum , cuius maior portio dupla est ad quadratum semidiametri r minor ver , portio potentialiter dupla ad quadratum semidiametri: Vnde latus ipsum octogoni sicut pentagoni, irrationalis erit, quae, MINOR. tus dotica ni est residuum sextum, cuius maior po tio potentialiter ὐesquialtera est ad semidiametrum: minor vero potentialiter sub dupla eiusdem semidiametri,
ritat fi haera,cuius diameter rationesis, circumscribat quinque Ita a regulania riam' pyramidis; quam octahedri ct cubi latu; potentia tantum rationale esta sis diametro longitudine incommensurabile: latus autem icosistati, minor dilatus ver ὐ dodeca. hedri. Residuum sextum. Patet: nam latus pyramidis ad serimidiametriana potentia est, sicut 8.ad . latus octahedri duplum. latus cubi sesquitertium, latera duorum reliquorumi irrationalia; sicut in tertiodecimo Elementorum ostensanti est. Vnde mulae sequento i I . . Eli
O Vand9 Pyramis, octilied tam , cubus, icosahedrum,.
dode hedrum in sphaera, cuius diameter rationalis, . describuntur; hae sunt regulet inueniendi huiusnodi solidorum latera singula: Qii ad ratum lateris pyramidis duplum superpartiens ditas tertias est ad quadratum. semidiametri. Quadratum
500쪽
Quadratum lateris octahedri, duplum est ad quadratum
Quadratum uteris cubi, sesquitertium est ad quadratum semidiametri.
Vnde manifestum est,qubd latus Pyramidis ad latus o hedri potentia sesquitertium : ad latus, cubi: duplum, delatus octahedri ad latus cubi sesquialteriun. Quadratum lateris icosahedri est residuum quartum,c ius maior portio dupla est ad quadratum semidiametri: in inor vero portio potentiali ter subses a uiquarta ad quadratum semidiametri. Vnde latus ipsum erit irrationalis,quae
tus dodera hedri est Residitum sex tum, cuius maior portio est poten fiat i ter superpartiens duas tertias ad semidiametrum ; minor vero portio subtripta eiusdem semidiametri. Ex quo calculo sequitur, Ingeniosissime Lector , ut sieue uadrarum lateris hexagoni, liue semidiametri cum qu rato lateris de soni coniunctum conflat quadratum lateris pentagoni; sic & in solidis in eadem sphamr descruitus, quadratum lateria pyramidis, cum quadrato cubicitateris simul acceptum, constituit quadratum sparticae di tmetri. Item sicut in circulo, semidiametro, siue latere. hexagoni secundum extremam, mediamque rationem diuisa, maior portio est decagoni latus: ira in sphaeo , latere cubi similiter diuiso, maior portio erit dode hedri latus. Quae omnia quamquam demonstrata sunt in Elementis Geometricis , tamen ex ipso calculo apertissime notescunt. Quorum exempla hic subhcio. i T i i