장음표시 사용
481쪽
snt&co mensurabilia, &exductu a.in b. fiat c. Aio, quod C. rationale est. Ponatur ipsi binomio aequalia nomina habensae residuum: & ex a. in L fiat e. quod per praecedentem erit rationale. Cum autem bd. sicut reliciua proportionalium& commensurabilium nominum, erunt K d. inter se commensurebilia : sed per primam sexti, sicut b.ad d. sic c. ad e. Igitur per quadragesimam octauam huius, c. commensurabilia ipsi e. Cumque e. sit rationalis,erit & c. rationalis.SLcut demonstrandum fuit.
o s I T r o 76'. si Sinomium multiplicans aliquam quantitatem, roduxerit quantitatem rationalem: multiplicata quantitas residuum est, euius nomina proportionalia, ct commensurabiliasunt binomii nominibus. Binomium a. multiplicet b. quantitatem , α producat c. rationalem.Aio,quod b.Residuum,est cuius no- minx proportionalia sunt & commensurabilia ipsius a. binomij nominibus. Ponantur enim d. Residuum eorundem nominum , siue commensurabi Ilum, & proportionalium cum nominibus a. binom ij. &ex a. in d. fiat e. erit luet per iraecedentem, vel ante praemissam ipsa e Rationalis.Sed per primam sexti, sicut c.ad e. sic αad d. commensurabilis: est alitem c. ipsi e. quia sunt rationales. Ergo per quadragesinam octauam huius, b. commensurabilis ipsi d. Fuit autem d. residuum i igitur per 6 & baesiduum & commensur bilium nominum ipsi LSed nomina ipsius L mmensar bilia nominibus ipsius a. binomij, & proportionalia: itaq; de ipsius b.residui erunt eisdem commensurabiliae de proportionalia: quod fuit demonstrandum.
PRo vos IT Io 77 si Residuum multiplicans aliquim quantitatem fecerit qua i tatem rationalem , multi l cata quantitas binomimm est, cuius nomina proportionalia sunt, ct commensurabilia residui nominibus. Haec in eadem omnino descriptione di eodem processu demonstratur: Hoc excepto, quod ubi ponebatur bis notum, Ponatur residuum, & e contrario.
482쪽
Omnis ratis his quantitas diuisi in binomium,exhibet in quot me residuum, cuius nomina commensurabilia fum, O propo tionalia ipsius binomii nominibus Exempli gratia, rationalis quantitas c. diuidatur per a. bincinium ,& proueniat b. Aio, quod b. residuum est, cuius nomina commensurabilia sunt & proportionalia ipsius a- binom ij nominibus. Nam cum diuisor a. in quotientem b. producat diuisam
c. sitque binomium,&c. rationalis : iam, perpes praeco dentem, b. residuum erit nominum cc minensurabilium &proportionalium ipsius a binomit nominibus. quod est. propositum. PRoros I τ Io 79'.
Omnis rationalis quantitas diuisa in residuum, exhibet is quo time binomium, cuius nomina incommensurabilia sunt σproportionalia ipsius resol nominibus . Sicut praecedens per
Pinomia, quarem radi ces habent inuicem proportionalis Oeommensurabilia nomina , sortiuntur quoque proportionalia ii iter feer commensurabilia nomina. Sint, exempli gratia, a b c.
- de fbinomia tertia , quorum maiora membra a b.d cim in ra verὁ b c. e s deinde sumantur horum binomiorum in
ta secunda: Sinr ergo talium bimedialium membra, mai ra quidem g h. l m- minora Vero, hk-m n. Et supponatui vigh. ipsi Im-Atque ii h. ipsi m n. com ratum, propo tionalia sint&commensurabilia. Dico hinc, quod & bino-miorum ab cides ipsum membrum a b. ipsi de. atque ipsum b c. ipsi e f. comparatum , proportionalia sunt de commensurabilia ; quod sic ostenditu Quoniam quantitas gk. t n. habent membra commensurabiliae, & . proportionalia , maiuς maiori, & minus minori,erund niunctim di totum toti proportionalia, & per quadragesimam octis uam huius, commensurabilia-Igitur, per quinquagesimam' secundam huius, ipsorum g h. t n. quadrata, scilicet, a c. ds erunt sicut numerus quadratus ad numerum quadrarum inter se,& ideo commensurabilia: & idcirco per sex seumam
483쪽
gesimam quartam huius, habebunt membra inuicem pro-ἱortionalia&commensurabilia, scilicet a b. ipsi de. atque c. ipsi es quod in propositum. Similiter in cetteris bin nomiis,& eorum radicibus con habit id, quod demonstrandum proponitur. P Ropos IT Io 8 i . Tesidua,quorum radices habent inuicem proportionalia ct c mensurabilia nomina sortiuntur cliam proportionalia inter se et commensurabilia nomina. Quod in praecedenti de binom ijs eorumque radicibus, quae sunt bimembres quantitates, ostensum fuit: hic similiter penitus demonstrabitur de rosidii is, eorumque radicibus, quae sunt Residuales quanti--tares. Quandoquidem eadem sunt Residualium, quae Bia membrium nomina; quae coniuncta,bimembres; ablata v ao minus 1 maiori residuales quantitates siciunt.
Gmnis irrarionalis bimembris: quantitas multiplicans resia
Galem quantitatem eorundem,.siue proportionalium O commensuraDilium nominum . producitquantitatem potentia rati
natim, quandoque rationalem ,.Sunto, gratia exempli, a. bi-
mediate secundum : & b. residuum mediate secundum e rundem, siuσ proportionalium &commensurabilium inuicem membrorum multiplicet autem ipsa a.ipsum b.&pr ducat c. Aio, quAd c. est potentialiter rationalis, siue quandoque simpliciter rationalis Quod sic patet. Sit ipsius a.
quadratum d.& ipsius b. quadratum e. Eritque per 18 huius, Abinomium tertium. Atque e. residuum tertium perci fiat: ergo ex d. iii e. quantitas f. Et quoniam a b. habent per hyp. proportionalia & commensurabilia inuicem n mina : iam eorum quadrata d e. per pr cedentem dc ant praemissam habebunt inter se proportionalia & commensurabilia nomina. Quamobrem, per7e, vel 7 1 huius, d. binomium multiplicans e. binomium, producit quantitatem rationalem . Igitur s. rationalis est,& ideo c. quae per corollarium ti . huius, est radix ipsius f potentialiter rationalis est. Et si s fuerit quadratus numerus, tunc & c. magnitudinerationalis eriti quod fuit demonstrandum. Similiter idip-
484쪽
sum de quavis bimembri quantitate, suaque residuali ostendetur sicut propoponitur. P Ropos I v ro 83 . Sἱ binom um secetur per Residuum proportionalism ct con
mensurabilium nominum , proueniet ex diuisione Sinomiam primum . Esto a. residuum. b vero binomium t quorum nomina nominibus proportionalia & commensurabilia, maius maiori, & minus minori. Secetur autem di in istima.& proueniat c. Aio,qubd c. binomium primum etiEP natur enim d. binomium, cuius nomina ipsius a. residui nominibus, singula singulis sint aequalia et &ex L in a.pr ueniat e. eritque per scituagesimamquartam harum, e.r tionalis.Item ex d. in b. nat s critque, per septuagesima pra missam f. binomium primum : quandoquidem d b. sunt binomia 'invicem commensurabilia. Cumque per primam sexti, sicut a. addi sic e. ad s. Iam idcirco, si secetur L in αproueniat c. quae proueniebat ex diuisione ipsus b. in a. rum e. rationalis fuit,atque s binomium primum : igitur de c. per sexagesimam quintam huius, binomium primum a quod erat demonstrandum. P Ropos I Tro geon residuum secetiar per binomium proportionalium O ten, mensisabilium nominum , proueniet ex diuisione residuum priamum . Haec praesens ostenditur similiter per eadem, sicut pr mula: sed ubi in pretin illa ponitur residuum, hic ponatur binomium, & e contrario: & pro res citetur IV quae loquitur de residualibus. Quibus exceptis descriptio es,
PRO Post Tio 31 Si qmelibet bimembris quantitas secetur per residua em quantitatem proportionalium O commens rabilia nominum, prou niat ex fruisione tali Tino um Exempli gratia, sit a Residua
mediate secundum atque b. bimediate secundum proportio natium inuicem&commensurabylium membrorum.Dei de secetur b. in ipsum a.& proueniat c.Aio,quia c. bino in erit. Sunto enim ipsi ura a b. quadrata d e. eritque per 5 i
de. 8 i' primis Ias proportionalium & commensurabilium uominu Itaque secet e. in L & proueniat s. eritque pec
485쪽
Ent remissam s. binomium primum. Sed per corollar Ii finda: est e. Utur per 1 f huius c. binomium I. I . 'pyψp0situm, siMiliter, si a. quaecunque resdualis,& b. eius bimembris quantitas proportionalium de commenturabilium membrorum supponatur, semper c. bin ruium erit. Sicut demonstrandum proponitur.
OPOSIT io 86 si quaelibet residualis quantitas secetur per bimembrem quantia ratem proportionalium est commensurabilium nominum: proueniet ex diuisione tali residuum. Ostendetur haec non aliter, quam praecedens. Sed ubi in premisi a proponitur residualis quantitas, hic ponatur bimembris,dc e contrario:& pro 3 1 α 57 citandae sint, 33 & 6o', & descriptio maneat eadem. 27'. P Ropos ITIO
pol dile est,binomiam alibi, quam insis puncto diuidi,sem
rura membrorum di nitione . Esto binomium constans ex membris a b. maiori, b c. minori, vidissinitio exigit. Aio,q, impossibile est ipsum a c. binomium alibi, quimin pum: Ob. secari, utpote in puncto d. ita via d. d c. membra sint rationalia & potentialiter tantum commensurabilia. Quod sic constat. Sit binomium a c.primum, secundum, quartum, vel quintum : in quo una portionum a b.b c. rationalis est: di tunc, si punctum d. suerit in portione rationali, erit iam portio ad. rationalis r sed dc. bimembris, nam constabit exd b. rationali, & b c. potentialiter tantum rationali: non igitur erit it c. potentia rationalis, ut postulat binom ij dissi. Si vero punctum d. fuerit in portione b c. potentia tantum rationali: cogetur aduersarius facere ipsam a d. rationalem : Vnde b d. rationalis erit, cum a b. sit per hyp. rationalis. Sed b c. potentia tantum retionalis : ergo d c. r siduum, & nequaquam potcntia rationalis. Hoc autem pro binomiis primo ac quarto, in quibus portio maior a b. rationalis supponitur. Pro secundo aut ac 1' in quibus b c. portio minor rationalis supponitur transferes syllogis mum. Pro tertio autem & sexto binomijs,in quibus utraque iportio potentialiter tantum rationalis est, sic procedam . Ponant a
486쪽
Ponantur membrorum a b.bc.quadrata simul sumpta con- ficere quantitatem e s. duplum autem eius, quod fit ex a b. in b c. sit quantitas fg. Vnde per quartam secundi Elementorum, totum e g. erit quadratum ipsius a c. Vnde, cuma c.sit binomium, erit, per 383 huius,en binomium primit. Itaque si a b c. binomium suscipit in alto,quam b. puncto, ut in d. diuisionem : tunc aggregatum quadratorum a d. d c. sit e h. eritque reliquum h g. duplum eius,quod ex ad. in . c. Cumque ex demonstratione 38Mutius, eli. h p. sint membra ipiis e g. binomij: sequetur, ut ipsum e g. bria mium primum secetur in alio, quam f. puncto : quod dudum impossibile ostensum Dit. Quae demonstratio non l lum pro aertio, α sexto, sed etiam Pro cάteris inferi binomijs. PROPOSITIO Sῖ .
Impossibile est, quamsi bet Oeterarum quinque bimembitam quantitatem alibi quam in suos emino distinguiseruata di Ἀ-tim e . Quod de binomio praemilla concludit, hoc prauens de bimediali primo,secundo, caeterisque tribus irrationalibus proponit. Sit in exemplum ab c. bimediate secundum: S cuius maius membrum a b. minus autem b c. Aio, quoa impossibile est ipsum a c. bimodiale secundum , alibi quam in puncto b. ut pote in puncto d. ita secari, Vt a d. d c. pom . tiones sint eiusdem distinitionis, cuius erant iplae ab . bc. Quod sc conitat. Ponarii r ipsus a b c. bimediatis secundi quadratum e fg. ita,ut e f. sit cumulus ex quadratis a b.b ci& fg. duplu producti ex ab.inb cieritque ex demon stratione 1 83 huius,es binomium tertium, cuius membra es s g. Quod si a b c. bimediate secundum alibi quam in b.puncto, ut in d. patitur diuisionem : Iunc per 5 7' ponetur aggrega- tum ex quadratis a d. dc. ipsum e h. ci residuum sn dii plum eius, quod ex a b. in b c. ita Vt ipsum e g. binomium' tertium alibi,quam in spuncto in membra suae distinitionis distinguatur,quod,perpΠecedentem,est impossibile. Et perinde impossibile erit ipsum a b c.bi mediate secundum alibi quam in b. puncto distingui. quod suit propositum. Quod& de reliquis residualibus similiter constabit.
487쪽
membrorum sci uata eius di nitione . Sunto residui me bra. maius quidem a b. minus verb b c. ita ut eorum excessus c a. sit ipsum residuum. Aio igitur,qubd a c. non potest e .
se excellus aliorum membrorum quam a b.b c. ita ut membra talia snt rationalia, & potentialiter commensurabilia. Sint enim, si possibile est, talia membra a d. dc. ut e rum excelsias ; sit dictum a c. residuum. Et tunc si maius membrum a d. st rationale, sicut in primo, Vci quarto residuo , cum & a d. vi supponitur, rationale sit; erit eorum differentia b d. rationalis: verom b c. potentia tanti
rationalis per dissinitione binomij primi vel quarti. Igitur
dc. binomium est, non autem potentia rationalis, quod est supposito contrarium. Astruitur ergo propositum .Quod si minus membrum b c. sit rationalis, ut in secundo, &quinto residuo , tunc rursus b d. rationalis: sed a b.poten- etia tantum rationale, per distin . secundi, vel quinti bin mij: ergo a d. binomium, non potentialiter rationalis est.
Quod supposito contradicit. Constat igitur proposita impossibilitas i & hoc, quando a d. ponitur maior,quam a b. Quando vero minor, scilicet com punctum d. ponitur inter puncta b c. tunc arguetur similiter, vel a d. vel d e. esse residuum : quod similiter supposito aduersari; refragatur. Sic quo ad primum, secundum, quartum, & quin- tum residuum , constit propositum. Quo ad tertium v r sextumque residuum, sic procedam.Ponam e f. aggregatum ex quadratis ipsarum a b. b c. Item Q. duplum eius, quod sit ex ab. inti c. Eritque per quinquagesimam n nam huius, e g. quadratum ipsius a c. siue, quod idem est,ac. radix ipsus e g. Cumque a c. st tertium, vel sextum roresiduum,erit, per soagesimam primam e g. residuum primum. Itaque, si a c. residuum fit per alia, quam a b. b c. membra, utpote per a d. d c. tunc aggregatum ex quadratis ipsorum a d. d c. sit e h. duplum vero eius, quod ex a d. incita sit hg. Cumque ex demonstratione sexagesimaeprimae,
tunc ipsus e g. residui primi membra sint e h. h g. sequitur, ut ipsum e g. residuum primum constet per excessum aliorum
488쪽
aliorum, qu m cs. sg. membrorum: quod dudum impos.sbile fuit ostensum. Ruς ilimo istratio non solam tertio de sexto,sed etiam caeteris residuis usu venit. Sic constat renixu , quod proponitur.
Impegibile cst quamlibet Oeterarum quinq; residualium quo
titutum isse excelsum aliorum,quam suorum membrorum,seruata dis initione . Quod praemisia de Residuo conclusi, haedfraeiens de residuo mediali primo, secundo, caeterisque tria is residualibus' hiantitatibus proponit. Vt si sit, exempli gratia, Residuum modiale secundum , cuius nomen maiuς ab . minus vero b c. ita ut residuum ipsum mediate secundum sit a c. Aio igitur, quod a c. non potest este excellus aliorum,quim a b. b c. membrorum, ut puta ipsorum a d. d c.ita ut a d. d c.habeant codi tiones diis nitionis ipsus ines dialis, quas habent a b. b e. Si enim hoc possibile est: tune aggregatum ex quadtatis ipsorum a b. b c. si es dupli insvero eius, quod fit ex a b.in bc. st fg. Eritque per 19 lui- ius a c. radix ipsius e g. Cumque a c. si tresduum media lesecundum , erit, per sexagesimam primam es Residuum tertium. Itaque si a c. resilinum mediate secundum esses o-test excelsus aliorum,quam a b.b c utpote ipsenim a d.d α' memb&rum: tunc aggregatum ex quadratis ipsorum ad dc. duplum vero eius, quod ex ad. in d c.stet h. Eruntque ex demonstitatione sexagesimae primae tunc ipsius e g. residui tertij membra e h. h g. Quare sequetur, ut ipsum es. Resta duum tertium fiat per excellam aliorum,quam e s fg. mem brorum : quod per praecedentem impossibile est. Et perinde impossibile erit ipsunt a c. Residuum mediate seces iadum elle aliorum qu 'a b. b c. propriorum membrorum excestum, seruatis diffinitionis conditionibus. quod fuit demonstrandum . quae demonstratio similiter ad reliquas r sduales quantitates transfertur. Sic constat penitus P postum P Ropos et Tio si
Omnis medialis quantitas multiplicans aliquam irranonatim de numerosea generum,sive bim brem siue si lues ducit
489쪽
ducit omnino aliquam de numero earundem. Exempli gratia: a. quantitas mediatis multiplicet ipsam b. maiorem, Sc faciat
ior,videlicet ait binomium, aut bimediale primum, aut secundum,& cinera. Ponatur enim i plius a quadratu d.quod
erit potentia rationale, per dissinitionem Mediatis. Sit etiam ipsius b.quadratum e. quo i per quinquagesimam octauam huius erit binomium quartum. Itaque ipsa d. multiplicet ipsam e. & proueniat feritques per 6s' harum binomium. Sed per corollarium undecim ς huius fest quadratum ipsius c. Igitur per quinquagesimam septimam huius c. radix ipsius f. binomis erit una ex irrationalibus bimembribus sex gen rum , quod fuit demonstrandum. Similiter sib. ponatur binomium , aut bimediate utrumlibet, aut altera ex duabus reliquis ; semper s. ostendetur este binomiam:& perinde ciuna sex generitim bimembrium. Non aliter pici residualibus argumentaberis : sed pro s8' citabis sexagesima prima : &pro quinquagesima septima citabis sexages mam ,quae de residuis agunt.Quam ob rem si posuilles S. Minorem, aut qualibet caeterarum quinque residualium, ostendisses s. esse residuum:& perinde c.unum ex residualium generum numer quemadmodum demonstrandum Proponitu
Omnis mediatis quantitas dissidens a liquam ex irrationalibus, siue bimembribus, siue residualibus, praestat in quotiente aliqua
denumero eorundem. Haec similitet omnino demonstratur iacui praemisia: verum,loco sexagesimae octauae citabis sexage. simam nonam,quae loquitur de diuisione. Et pro corollari Undecimae adduces corollarium duodecimae,&. pro mulsi, plicatione utere diuisione, sicut proponituta tPRo post Tro 93'
Omnis quantitas secundo quadrato commensurabilis alicia Prationari 9iue de numero b membrium siue residualium, est etia
a de numero earundem. Exempli gratia, sit a.Bi mediale primm: dc qirantitas b.ipsi a.commensurabilis in quadrato seMIndo. Aio, quod b. est etiam una sex generum, ex quibus bimediale primum. Sit em ipsius a.quadratum c.& ipsius b. quadratum.
490쪽
quadratum d. Eruntque cd. potentialiter commensumis
biles, quandoquidem earum quadrata sunt secunda quadrata ipsarum a b. per hyp.commensurabilia. Sed c. binomium secundum est, per quinquagesimam octauam harum : ergo& per sexageumam septimam binomiiim crit. Quare ipsius d. radix ipsa b. per quinquagesimam septimam, erit aliqua sex bimembrium. quod erat demonstrandum. Similitersi a. ponatur binomium, vel bimediate secundum, vel aliqua ex tribus reliquis r semper d. binomium cile arguetur, α perinde b. una sex generum, in quibus binomium numer tur. Eodem sillogismo uteris pro residualibus, dum loco quinquagesinae octauae citetur sexagesima prima, & loco quinquagesimae sertimae vocetur sexagesima,quae de residuis loquitur, sicut in antepraemissa.l PRO FOSITIO pQ. Omnis irrationalis quantitas siue de numero sit bimembruem 'stae residuassism,non soli m magnitudine ac potentia irrationalis
est,boc est, quo ad primum quadratum; sed etiam quo ad secum dum , quo ad tertium , ct quo adsequentia in infinita quadrata. Nam, quo ad binomium primum, secundum, quartum, requintum,in quibus una portionum rationalis, reliqua ire tionalis est,. patet propositum I cum enim partes sint inter se incommensi irabiles , erit per quadragesimam septimam huius, tam congeries, quam excessus in commensurebilis toti, & perinde rotum irrationale : & quoniam excellus incommensurabilis partibus, erit & excessius etiam irration
lis. Qtio fit, ut ram binomium , quam residuuum primum, secundum , quartum, de quintum irrationale sit. Sed pro binomio tertio, & sexto, suoque residuo, ac prae caeteris bis membrium , aut resiuiualium generibus sic procedam. Sit a. bimediale primum, aio, quod a. irrationale est magnitudiane. Exponatur enim eius quadratum b. quod per quinquagesimamoctauam huius, erit binomium secundum: sed b
nomium secundum dudum irrationale sitit. Igitur a.pote
tia irrationalis est: quare & magnitudine per postremum corollarium quinquagesimae tertiς huius. Et iuniliter sa-ciam de caeteris generibus tam bimemembribus , quam re-- sidualibus t loco tamen quinquagesimae octauae adducta oi'. Quod autem omnis tam bimembris quam resdualis' quantitas