장음표시 사용
471쪽
LIBRI SECUNDI, PARS II. l COROLLA RI V M.
Hinc ergo ccm periri poterunt singulae quantitates irrationa les: ut si velim,excmpli gratia, comperire irrationalem quantitalcm, sua: Maior Vocatur, ser praecedcntem, inu niam quarium binc mum : & per praesentcm, ipsus bin m ij radicem , quae, ut orin sum est, Maior erit. Et similitet per reliquas binomiorum species rc liquas irrationales im
Sex irrationalium quantitatum, scilicet Sinomii, Timediast primi, B Medialis secundi, Asaioris, Totentis rationale ac medi D, Totentisi duo mediatia, singulartim per ordinim, sinula quadrata sunt singulae thecies Sinom: . Haec est conuersa pretcedentis. Pers stam tamen in eadem descriptione, ac suppositis. Ponaturque m n. binomium, vel aliqua ex irrationaliabus pradictis. ita ut m n. sint mcmbra ipsus irrationalis iuxta eius dissinitioncm considerata: ut habeam ipsius m n. quadratum,sonam ipsus m. quadratum a l. & ipsius n.minoris membri quadratum l b. item eius, quod fit ex m.in n. duplum ipsam b c. Eritque per quartam secundi Elementorum,tota a c. quadratum totius m n. Dc monstrandum est igitur, qudd ii ponatur m n. aliqua ex dictis sex quantitatiab= irrationalib' : erit. & a c. aliqua ex speciebus binomij: "a m n. in Ordine sex irrationalium , tota& ac.in ordine specierum binom ij. Namque ex conditionibus membrorum mn. componentium ipsam irrationalem, sequitur conditio membroru ab. b c. constituentium foeciem bino-m ij. Sic existente ni n. Dinomi' , vel Bi mediali primo, vel Bi mediali secundo,iam per dissin. a l. l b. quae sunt ipsorum m n. quadrata, sunt inuicem comensurabiles. Vnde per 6 huius, sequitur ut El. sit ipsis a l. l b. & tota a b. commensurabilis. Cumque h. sit radicis ipsius d s. dimidium , erit talis radix commensurabilis ipsi a b. Igitur a b. potentior qu m b c. in ipsa d f. quadrato scilicet radicis sibi commensurabilis. Existente au tem in n. Maiori, Potenti rationale ac mediale, potentive duo mediatia , tunc per earum distin .a l. tb sunt inuicem in commensurabiles : unde per huius sequitur, ut El. sit ipsis a l. I b.& toti a b.in commensurabilis: utque xl. hoc est h. ipsius radicis d s. dimidium,& pcr- inde iis a radix sit ipsi a b. in commensurabilis. Quo fit, ut a b. potent or sit, quam b c. in ipsi d f. cuius radix est ipsi
472쪽
ab. in comensurabilis. Item, qm Admate in n. binomio, vel Maioti,ab.est rationalis: bc.veris potentia tantum est ratio- malis. Existente autem m n. Bimodiali primo, ves potente rationale, Mediale, a b.est potentia tantum rationalis,l, vero rationalis. Existente tandem in n. Bi mediali secundo, vel potente bina mediatia, tam a b. quam b c. est potetia tinrationalis. Priterea,quoniam existete m n.binomio, Bim diali primo, Maiori, vel potente rationale & mediate ipsarsia b.b c. altera est indignitudine, altera potentialiter tantdmetationalis .atque ideo a b b c. sunt potentialiter tantum co-- mensurabiles. Existente autem in n. Bi mediali 1' cum per primam sexti, in ad n .lit sicut quadratu in .ad rectanguluirini n. hoc cst, sicut a l. ad dimidiu ipsius b c. atque in n. lintincommensurabiles.& ideo a l.& dimidium ipsius b c. sine incommensurabiles per 8 huius: Cumq; quoniam a l.l b. inter se commensurabiles,ideoq; tota aib. ipsi a l. commensurabilis est, iam tota a b.dianidio ipsius b c. Et ideo toti b c. per s' huius, sit incommentii rabilis: sint , a b b c. potentialiter commensurabiles: qa potetia rationalis ex dim. dicti Bimediatis secundi .Existente tandem in n.potente duo inedia lia,cum a b.bc. distin. ipsius, sint in commensurabiles: ac potentialiter tantum commensurabiles,quia scilicer,p tiarationales, ficut omnia ex distinitionibus ipsarum irrationalium constat. Propterea,con syderat: s sex specierum bi . nomi) conditionibus, eXistente i
Maiori -- Pote te rationale, mediu I; - Potente duo medialia
an Omne a regatum quadratorum inaequalium excedit duplum producti 'radicum in quadrato dissercntra radicum . . . Secetur quantitas a b. per inaequalia apud c. & maiori portionea c.abscindatur ipsi b c.aequalis c d. Atq; ita ostendendu est, quod congeries quadratorum a c. cb. supererat duplum ipsius rectanguli' a c. cb. in quadrato ipsius d a. quod a Campano in decimo Elementorum ostentum est. Por 'ua tam secundi, quadratum a c. & quadratum c b. cum duplo rectanguli
473쪽
rectanguli a c. e b. simul qualia sunt qoadrato a b.Quod per octauam secundi,aequale, est quadratoid a. cum quadruplo rectanguli a c. cb. Auseratur utrinque duplum rectangulia c. c b. dc supererunt quadratum a C. & quadratum c b. sumul aequalia quadratori a. de duplo rectanguli a c.c b. Haec aurem est dcmonstratio.
Singularum residui 'ecierum radices,sunt ira singulae irrationales residuales quantitates per ordinem: videlicet Residuum, Residuum mediale primum, Residuum mediate secundum, tau nor, cum rationali mediale totum potens, eum V ediali mediale totum potens. Repetam delcriptionem, supposita de is monstrata s77 praecedentis. Hoc solam mutato, ut pro aggregato membrorum a b. bc. sumatur eorundem disserenistia,qua valet maius membrana a b. excedit minus b c. min si aggregatum supponitur binomium : iam per dissin .diis ventia erit Residuum .eiusdem speciei. Item pro aggregat' portionum in n. quod aggregatum erat radix ipsius a b c binom ij) sumatur differentia. earundem ni n. qua scilicermaior porto m. superat minorem ii. Quae diti rentia erit irrationalis quantitas residualis illiu ς quantitatis, quam c flabant portiones m n. per dissinitionem. Ostendam igitur, quod sciit ipsius aggregati a b c. radix fuit ipsum ag regatum in n. ita disserentiae ipsarum a b. b c. radix erit diiseren- aria ipsarum in n. Sic, cum ipsius m. quadratum sit i l .atq; ipsius n.quadatum sit i b. iam a b. erit aggregatum duorum quadrato um inaequalium , quorum radices in n. Sed b c. fuit duplum producti talium radicum : igitur, per praec dentem , ipsa a b. excedit ipsam b c. in quadrato differentiae rundem radicum, hoc est, disserentia ipsarum a b. b c. est quadratu differentiae ipsarum in n. Et perinde haec differentia erit radix illius. Q namobtein per demostrata in s zpraecedenti,
474쪽
praecedentis, si illa differentia suerit residuum primae spezita : haec differentia erit residuum. Si illa Residuum 1 speciei,haec Residou mediale-l. Si illa, Residuu 3 speciei, haec Residuit mediate Si illa Residuum specieri. haec irrationalis,quae Minor Si illa, Residuum haec cum rationali mediale potons.' Si illa,reliditum 6' ,haec cum mediali mediale potens. . Et hoc est quod demonstrandum proponebatur. et
Vnde manifestum est, quM compertis per 3 pr cedet
rem, sex irrationalibus quantitatibus praedictis, quς singulex binis membris constantinaequalibus: Iam eorundem rbrorum differentiae singulae crunt Residuales quantitat praedictarum bimembrium. Item si bimebribus sua stingui quadrata attribuantur qive binomia sunt talium binomi irum Residua erunt singula singularum dictarum Reiidui, lium quadrata. P R o P o s I T I o- 6i . sex xrrationatam quantitatum residualium, scilicet F sita iResidum mediatis primi, Residui medialis secundi, Minoris, Cui rationali mediale potentis, Cum mediati media e potentur, hi gularum per ordinem, singula quadrata sunt singula fex Pecies Te disi. Sicut praeced nis smaitur ex demostratis 19' & 17 Ita praescias propositio similiter ex ijs, quet in 19' & 18' stensa sunt, constabit.
Hinc manifestum est, qudd Binom ij, & Residui haben,
um equalia nomina, radices inter se habent etiam aequalia nomina:& e contrario, Binomium de Residuum, quoruradices habent aequalia nomini,sortiuntur etiam inter se nomina aequalia, Idemqae de nominibus proportionalibus dicendum. Nam aequalitas nominum in quadratis,facit aequalitatem nominum in radicibus : de e contrario. Proportis Vero proportionem, sicut per proceli uin demonstrationis
17' & 187 constire potest Nunc exponam Ele sex species bivnomiorum, & totidem earum radices, quae sunt sex irrati riales quan irata. ' illi
475쪽
B nomia sex Quarti radiem sunt totide irruales quantitates sbimebre .
.. in quinus, per abscissionem minoris membri a maiore. fient tam in Bino- is, quam in corum radicibus, totidem Relidua. hoe pacta. Residua sex Quotum radice dotidem Residuales irrationales scilicet.
ore trabes exempla practica eorum , quae demonstrata sunt.
Omnis quantitas rationalis metit sicans Dinomium per T diduum, producit etiam Bin iam vel Residuum eiusdem spe
ciei, ac multiplicato commensurabile . Raaiones is quantitas a.
multiplicet Binomi u b c.& producat qualitatem d e. aio,cLe. Bino mi u Ah ipsi b c binomio comesurabile,&eius de speciei. Vt s,exepli gratia, b c. sit binomiii primit: tuc de.erit binomi u pμ. Sint enim ipsius b c. binom ij inebra b ci&exa. in b. fiat d. ex a. in c. fiat e. Sic enim, per primam secudi, erit de. totu, quod fit ex a in b c. Itaque cum b c. st binomium rimmum erit per distin. b. maius membrum rationale atque Greliquum potetialiter tantum rationale: Cumq; a. rationalis in singulas bic. quantitates faciat singulas d e. ia per 9 huius, ipsa d.erit rationalis,& ipse e. potentia tantoni rati natis: S totum d e. toti b c.commensurabile. Item sit ipsus a. quadratum f. quod rationale erit: atque ipsarum b c.quadrata sint gli. Mox f. 'multiplicans ipsas gli. producat ipsas kl .eruntq; per coroll. undecimae huius, i. quadrata ipsa rad αCum'; per primam sexti, sit sicut g. ad h. sic h. ad i. erit eversim sicut g.ad excellum, quo excedit ipsam h. sic etiam k.ad excellum, quo excedit iplam l.Verdira g. ad suum exccia sum est sicut numerus quadratus ad numerum quadratu, P3 1 huius: quonia per dissinitione primi binom ij, b. portio cedit c. portionem potentialiter, excessu , cuius radix est commensurabilis ipsi n. Qui excelsus est differentia ipsarum g h. & perinde talis excellus se habet ad g. sicut numerus quadratus ad numerum quadratum per 3 1 agitur Ead iuu cedit se habebit sicut nus quadratus ad numeru quadratu. - - 4 F s Quare
476쪽
Quare per 33 ipsa d. potcntior erit quam e. cessii cu r dix est commenturabilis i pii d. Cu ipsaru d e. potentiae sint k l. Itaque per dissinitionem totum ci e. binomium primum est.ipsi tib c comensurabile, quod erat dentonstrand u. Similiter pro binomio secundo,& pro tertio pro demus. Et pro quarto & quinto & sexto ostendemus,quod maior pomtio potentior est minori in quadrato radicis sibi in comensarabilis:syllogitates per p sexti, S per portione versam. Sed per 3 Σ' & 1 3' adducemus duo corollaria sequella,quae agut incomensurabilibus: quandoquido, in ' de s ' denoni ijs, maior portio potentior est minori in quadrato radicis sibi incomensurabili sate pro tertio de s exto binom ijs,iniuibus portiones sunt ipotentia tna rationales, ad ostendena portionu ipsarum in cornensurabilitatem,citabimus 8 huius.Similiterat a. rationalis multiplicet Residuum cuius membra sunt bc. ac producat de. ostendemus Q de. est
residuum ipsib commensiuabile, eiusdem speciei. Quodem dui non stratui dς membris binomij, demonstratur de membris correllativi residui: quandoquidem in dissinitio nibus ibrtiunt easdem conditiones. Recte igitur idem de:
Vtroque proponitur demonsitandum.
Omnis quantitas tionalis multiplicans quamlibellaratim natium quantitatum, siue bimembrem, me eius corestitiua re i- dualem producit ei dem generis irrationalem, de multiplicatae mmensurabilem Maec est generaIior praemissa: ibi enim de Binomio ac residuo r hic vero de qualibet duodecim irristionalium agitur. Itaque sit exempli g talia, rationalis a. quae multiplicet b.bi mediate secundum,& producat c. Aio,i c. est Bimediate secundum & ipsi b. commensurabile. Sit enim ri=sius a.quadrato d.quod rationale erit,atque ipsus b. qu ratum ut e.quo. per quinquagesi amoctauam huius, etit Dinomium tertiu : Deinde d. multiplicans e. faciat ipsam feritq; f. per Praeceden te, binoin tu tertia. Sed per corollariuri' huius f quadratum est ipsius c. ergo per s7 ius c. r
dix ipsius f. binom ij tertii,erat bimediate secundum, qd fuit
propositum. Eadem penitus argumentatione uteris pro reliquis irrationalium generibus, tam bimembribus, quam in 1id libus. Sed in residualibus, pro quinquagesima octaua,.& 17 citabis sexagesimam primam , &sexagesimam,quq de Iesiduis loquuntur: itaque constat veritas propositionis.
477쪽
, Omnis Dantitas commensurabilis cupiam ex irrationaΠum ordine, est eiusdem gene is ii rationalis. Et habet eidem protrim tiοmalia. en Arahιlia nomina. Estoa quanti ins ,' quae piam, vel potentia tantam rationalis, vel mediatis,vel bime Dris, siue residualis: ipsiq; a. cbmmensurabilis esto b. Aio, quod b. est eiusdem generis irrationalis, cuius a. Diuidatur enim b.in ipsam a di proueniat c. eritque per 3 L huius c.rationalis.Cum voro quoties in diuilo rem producat diuisum, iipari c. pauimplicans a. fici x ipsarn b. Rarionalis autem c: I:- ltur per huius, si x sit. uni membris quantitas, si bimem-hris, vel residualis, per praecedentem,erit b eiusdem generis,. cuius a. Sodem commenserabilis: quod est propositum. Quod autem b.habeat nomina proportionalia & tamen surabilia nominibus ipsius a. nstabit, si qua secatur a. eadem irone in inebra secetur de b. qd erat Propos nonis rcliqua.
omnis quantitas irrationalis diuisa per qumriuis rationalem, exhibet in quotiente quantitatem sibi cognominem O commemsurabilem. Exempli gratia,b.quantitas irrationalis, siue uni membris, sue bimembris, sine residualis, diuidatur per c. rationalem, Δ proueniat a. Dico,quod a. est eiusdem gen iis, cuius b. & ipsi commensurabilis. Nam cum diuisor in quotietem producat diuisum tiam c.in a.dum,faciet ipsam
b. Ducatur ipitur c. in ipsam d. sibi aequalem , ac producat
ipsam e.etitque e. rationalis: & per primam sexti, sicut d ad a. sc e. ad b.Et permutatim, sciit d.ad e sic a.ad b. Com memsurabilis autem est d.ipsi e. quoniam utraque rationalis. Igitur per 3 huius,& a. commensurabilis ipsi b. quare , peri prece sentem,erit &a.eiusdem emeris, cuius ipsa b. supponebatur. quod erat demonstrandum.
Omnes duae quantitates inuicem commensisabiles comunctae, eonficiunt eusdem generis quantitatem O sibi commensurabile. Sunto a b. quantitates inuicem commensurabiles : Aio, quod totum a b. erit quantitas eiusdem generis, & utrique ipsarum ah. commensurabctis. Quod enim a b. totum ipsis a b. singulis est commensurabile, constat, per quadra stamam sextam huius. Quod autem eiusdem generis cum ipsis. constat per pretinis iam sexagesimam quartania constat ergo tutum propositum.
478쪽
Unde manifestum est, quod aegregatum ex qthicunque quantitatibus Inuicem commensurabilibus,est i insulis par tibiis commensurabile & ciuidem generis cum eisdem. PRO post Tio 67 .
ni s quantitas pol nrialiter commensurabilis alicui extinrat Ones bur, ' eius m e ncris quantitas. Sit exempli gratia, quanti ras a.bi mediate iecitdum: sitq; ipsi a.potentialiter comen fiam bilis ipsa b. Aio,quM b. est etiam Di inediale secundum. Sunto enim quadrata ipsius a. ipsa c. atque ipsus b. ip-s d.Eritque per si, huius, c. binomium tertium: commentiurabilis autem est per hyp. ipsi c. ipsa d. Igitur ret 6 huius
d.binimium tertium est. Sed ipsus d. radix ipsa b.est. Ergo, per 17 b.bi mediate secundum erit. quod fuit demon strandum. Similiter in caeteris irrationalibus, tam bimembrib quam r residualibus constabit propositum.
Omnis quantitas potentia rationalis multiplicans aliquam ex irrationalibus, producit eiusdem generis quantitatem . Exempli gratia,a. quantitas potentia rationalis multiplicet b. bi- mediate secundum,& producat c. Aio,qiubd. c.in bimedia lesecundum. Nam, per disti. muli iplicationis, sicut est a. mul. tiplicans ad positam rationalem, sic c.productum ad b. multiplicatam. Sed a. potentialiter commensurabilis est postae
ter commensurabilis est. mq, b. st bimediate secundum, crit, per praecedentem,& c. bimediate secundum. quod sitie ostendendum. Non aliter in singulis caeteris utriusque ordinis irrationalibus constat propositum. PRorosi TIO G .
Omnis quantitas irrationalis diuisa in quantitatem potentia rationalem, bibet in quotiente quantitatem sibi cognominem . Exempli gratia,quantitas a .rotelia tna rationalis,dividat b. bimediale primum , & proueniat c. aio , v c. est bimediate Primum.Nam pcr distin .diuisionis, sicut est diuisor ad positam rationalem, sic est b. diuisa, ad c. quotientem . Sed a. potentialiter commensurabilis est positae rationali per hypotesm : ergo & b. potentialiter commensurabilis est
479쪽
est ipsi e per s huius. Sed b.bimediale primum. Igitur ut Eb mediale primum per 56 praemissam. quod fuit Ostς dendum. Et eodem syllogisno per sngula irrationalium
Senera rUctito, constat propositum. PROPOSITIO TO' - Quae quantitates bimembres eiusdem generis inuicem eo mis
ensurabiles, per ordinem sex irrationalium sumptae, inter se multiplicatae,producunt singulas binomis species. Quod 1 8' pro
postio de quadrato,baec de producto irrationalium concludit. Sunto, exempli gratia, a b. singulae quantitates trime-dtalia secunda, inuicem commensurabilia. Quarum punctum sic.aio,quod c. est binomium tertium. Sit enim ipsi aequalis quantitas d. & ex a. in d. fiat e. Eritq; e.quadratum ipsius a.& perinde binomium tertiu per 38 huius. Et quoniam, per primam sexti, sicut b. ad d. sicc.ad e. de ipsa b. ipsi
ipsie. commensurabilis erit: Sede.binomium tertium: ergo, per οὐ&c. binomium tertium est. quod fuit demonstrandum. Quod si ab.ponamur binomia commensurabilia,erit c. binomiti primu .Si autem aba binaedialia prima commensurabilia: hince.binomium secundum. Si maiores,binomiuquartum. Si potentes rationale ac mediate, binom tu quintum e si volentes duo mediatia, binomium sextum essed monstrabitur : sicut proposito concludit.
Dua quantitates residuales eiusdem generis inu cem commensurabiles, per ordinem sex generum sumpta, inter se multiplicat producunt singulas residui Ppecies. Quod 6i' propositio de quadrato, hoec praesens de producto residualium concludit. Itaque sic t praecedens ostensa est per 18'& 8'& 6 3. ita praesens propositio per 61' 8' & 6 eodem processu de descriptione demonstrabit.
Duae quantitates bimembres eiusdem generis potentialiter inuicem comm stirabiles,lucr se multiplicatae, producunt blaomia. Exempli gratia, sunto a. & b. bimedialia secunda potentialiter inter se commensurabilia, & ex a. in b. fiat c. aio, quod c.binomium est Ponatur enim d. ipsi aequalis, & ex a.
480쪽
in d. fiat e. quod per 18' erit binomium.Verum per primari sexti, sicut brad d.sic c.ad . V b. commensurabilis potentialiter ipsi d. igitur,per 8- α c. commensurabilis poten tialia ter ipsi di Sede. binomium et ergp, per o7 huius, c. bino- natum erit: quod fuit osundendum. Similitet sue a b. sint binomia, siue bim di alia prima, siue ex itibus generibus reliquis esse supponantur, semper c. binomium demo
P Rosos ITI 73'. Duae quantitates residuales eiusdem generis inuicem potentiscerem murabiles, inter se multiplicatae , residuum producunt . Exempli gratia, a. & b. residua medialia secunda inuicem . potentialiter commensurabilia e & ex a. in b. fiat α Aio, me residuum est.Ostenditur hςc omnino sicut praecedens: hoc
excepto, quod pro IS citanda est 6ioquippe quae de residualibus agit.
PRO pos ITIO 74'. Omne binomium in Residuum eorun em nominum multipliaeatum, producit quantitatem rationalenta. Esto binomium, cuius maius membrum a b.minus vero b c.Vox ipsi cb.a qualis esto b d .etitque ad residuum eorundem nominum , hoc C est excelsiis eorundem membrorum. Itaque ostendendum est, quδd s c a. binomium multiplicetur in a d. producetur quantitas rationalis. Cum enim a c. sit aggregatum quantiatatum duarum a b. bc. atque ad. st differentia eorundem, constatque per quintam lecundi Elementorum , quia ex ductu aggregati radicum iu differentiam eorum producatur differentia quadratorum : Iam illud, qudd suit ex a c.in i sim a d .etit excessus,quo T. ipsius a b. excedit quadratum
ipsus B c. Verum, per dissin. binom ij huiusmodi quadrata
rationalia sunt; igitur talis excessiis rationalis est. Quare rationale est, quod fit ex ac. in a d. quod suis demo strandum. P Ropos ITIO TI'. ne bincmitim in Residuum proportionalium ct commem, furabilitim nominum multi natum,producit quantitatem rati narem. Sumo duo binomia & residuum a. & b. quorum nomina maius maiori, & minus minori proportionalia