장음표시 사용
461쪽
tentia tantum .um inmensurati Lbus Q Bimediale mimum.vel Residuuna mediale primum..irandia pomonum quadratoirura antegatum m diale pio ductum rationale . simembris .int in ua
Chimeditae secundum vel Resditum mediare secundu quando potiionum c dratorum aggregatum med se producium mediate inuleem incoin uenturabiti. Maior, vel minor. quando paratum quadratorum ae gregatum rationale de ma iam mediate. Erotemialiter etia1n luctarabilib
potem rationale ae mediate.ves eum rationali media e potens. quando partium quadratotum aggregatum mediate de moductu latronale .l Potens duo medialia..el eum mediali mediale potem. ι Rri paritum quaeratois aggregatu mediale, di noductu mediate inluceni incolati iaculinabilia.
PROPOSITIO. 63'. Omnis duae quantitates inuicem com ensurabiles, funt sicut num rus ad numerum. Et duae quantitates, qreae sunt sicut numerus ad n merum Junt inuicem commensurabiles. Sunto a.& b. qualitates in uice . comensurabiles: Aio,i sunt sicut numer' ad numerii. Cu enim c men surabiles sint in uice a b. erit pilissi. comensurabiliu quatitatu, is earu mensuravitue sit c. Itaq; a.diuidetur in aliquot partes singulas aquales ipsi c. Itemq; b. diuidetur in aliquot partes singulas aequales ipsi c. Quare a.& b. erunt ad inuice sicut numeri partici. Etllaec est prima pars propositi. Contra, sit a. quantitas ad b. qualitate
tas ad numerii partiti a. Sed per layrotesim a. ad b. sicut numer' par riti a .ad numerii rarti ub. Erit igitur ex aequali c. ad b. sicut unitas ad numerum partium b. Quare quoties unitas mensurat numerum E e a partium
462쪽
partium b. toties & c. quantitates minserat ipsura b. Sed cimetitur ipsam Migitur per dissin. commensurabilium qua titatum , ipsae a b. quantitates inuicem commensurabiles. Quod suit residuum propositi.
Vnde mani festum cst, quod duae quantitates inuicem incommensurabiles non sunt ad inuicem sicut numerus alia uis ad numerum aliquem. Itemque, que .l duae magnitu ines, quae non sunt ad inuicciri sicut numerus quispiam ad numerum quempiam , sivit inuicem incoincnsurabiles. Sequuntur liaec in praemissa a destructione contrariorum.
Omnes duae magnitudines et ni commensurabiles sunt inuicem commensurabiles. Duae quantitates sint a b. quae sngulae sint ipsi c.commensurabiles. Aio, quod de ipst a b. sunt ad
inuicem commensurabiles . Nam cum a c. sint commensurabiles erunt, Per praecedentcm, sicut numerus ad num
rum: & similiter, quoniam c b. commensurabiles erunt, &scut numerus ad numerunt. sumantur igitur per quartam octaui Eucl. tres muneri d en continuantes duas rationes scilicet, ut sicut est a. ad c. sic sit numerus d. ad numerum α& sciit c. ad b. sic fit numerus e. ad numerum f. & tunc ex quali erit, sicut numerus d. ad numerum f. sic quantitas a. ad quantitatem b. Igitur per secundam partem praecedentis , quantitas a b. sunt ad inuicim commensurabiles.
Omnes etiae quantitates,quartim una commensirabissis est asi cui tertiae,reliqua vero eidem incommpsurabilis, sunt adinvicem incomminsurabiles . Exempli gratia, magnitudinum a b. nascilicet a. sit commensurabilis ipsi c. reliqua ruero b. inc mensurabilis eidem c. Aio tunc, quod ipsae a b. inuicem incommensurabiles sunt. Secus enim erunt a b. commens rabiles: sed ipsae a c. per lay p. comensurabilcs.igitur per prς- missam erunt b c. inuicem commensurabiles: quod est supposito contrarium. No igitur sunt a b. inuicem commenli1-rabiles. ergo incommensurabiles. quod est propositum. i
Cmnium duarum quantitatum inuicem incommensurabilium congeries ct excissus sunt inter se O ipsis invicem incommens rabiles. Eis coeteries et ni earum sit incommensurabilis, erit σreliqua
463쪽
LIBRI SECUNDI, PAR s, II. I 33
reliquae commensurabilis. de ipsae inter se commensurabiles. Hae conclusioncs facile constant ex hac communi sen. tentia : quoniam quantitas,quae metitur partes, metitur distu. Et,quae metitur totum &ablatum,metitur & relictu Pκopos ITIO 47'. nium duarum quantitatum riuic incommensurabiliun
eongeries ct excessus dunt inter se O UO inuicem incommens rasiles. Et si congeries set earum sit incommensurabilis, erit breliqua imo inminsurabilis. Et ipse inter se incommensurabiles.
Nam si secus ellet, tunc, per praecedentem, sequeretur comtrariu suppositi.Omnino igitur vera sunt quς proponuntur. PRO Pos I Tio 48'. t Omnes duae quantitates proportionales duabus quantitatibus quoqm modo commensurabitabus, sunt eodem modo commensurabiles. Et Vroportionales duabus aliquo modo incommensurabilibris , sani eodem modo incommensru abiles . Exempli gratia, sint quantitatesia b. t piis c d. quantitatibus in er se. commensurabilibus proportionales: hoc est sit a. adb. licui c. ad d. Aio,quod a b erunt inuicem commensurabit s.Namsi c d. sunt commensurabiles, ciunt per huius, sicut numerus ad numerum. Igitur erit a.ad b. sicut numerus ad numerum : quare per secundam partem dictae a b. sunt inter se commensurabiles.Quod si c d. sint commensurabiles, aio, qudd & a b. inter se incommensurabilcs erunt. Nam tunc, per corollar. huius, cd. non erunt sicut numerus ad numerum, & ideo neque a. ad b. erit sicut numerus adnumerum: & perinde per secundam partcni dicti corollari ja b. tunc in comensurabiles inter se erunt sicut proponitur. Item si c d. pouantur aut potentia tantlim, aut cubo tantu, aut quadrato secundo tantum commensurabiles: eodem penitus modo & ipsae a b. commensurabiles erunt. Si aurem c d. aliquo dictorum modorum ponantur incommensurabiles: eodem similiter modo &ipset a b.incommcnsurabiles erunt: Quoniam scilicet quantitatum proportionalium proportionales sunt ta quadrata, quam cubi, & quam secunda quadrata .Et idcirco sequi tur corum commensulabilitas , vel incommensurabilitas : quippe quae comitatur proportionem, adducta i' & eius corollario.
Omnis quantitas rationalis multiplicans aliqaam quantitatem, producit quantitatem multiplicata cognominem O com- E e 3 mensurabilem.
464쪽
mensurabilem . Exempli gratia , rationalis qirantitas moltiplicet quantitatem b. potentia tantum rationalem,& faciat c. Aio,quod crotentia tantii in rationalis est,& ipsi b. multiplicatae commensurabilis. Sit enim istius a. qu , adratum d & ipsus b.quadratum e.& exd. in e. sat f Eritque per coroll. underim ς huius,fquadratum ipsius c. Cumque ex dissinitionibus,quantitatum a b. ipse d. st numerus quadratus: ipse autem e. numerus non quadratus : iam corum pthductum f. per Coroll.secundae noni Eucl.non erit num rus quadratus. Igitur c. quat radix et ipsus f. per dilhn.ecit potcntia tantum rationalis. Cumque per dissin. multiplica tionis,c.productu ad b.multiplicatam, sit sicut a. multiplicans ad positam : sitque a. posita: comm cnsurabilis , qtria rationalis: iam, per praecedentem, ipsa c. ipsi b.commcnturabilis erit: scur proponitur. Similiter antem, li tacutio rantum rationalis sopponatur, ostendetur 5 ipla c. cubo tantum rationalis,& ipsi b. commensurabilis : de ii b.qu id rato secundo tant sim rationalis ponatur, S ipsa c. quadrato :ccundo tantum rationalis, de ipsi b. commentulababis ue- monstrabitur. Sicut proponitur.
Si productum fuerit commensurabile multiplicatae quantitat timc multiplicans est rationalis. Visi a. multiplicans b. Ω-ciat c. ipsi b. cc mensurabit aio, qHod a. rationalis est Nam per diffii .multiplicationis, erit, sicut c.ad b. sic a. ad postam. Cumque per hypo. c. sit commensurabilis ipsib.erit per anteprae millain a.commensurabilis positae, quare Ι erdiffin.aa ationalis: quod est propolitum. PROPOSITI Omnis quantitas diuisa ter quantitatem sibi commensurab Iem,ohibet in quotiextequ ntitatem rationalim. Sint a b. quantitarcs commensurabit inter se, &diuidatur b. pietipsam a. & prem niat c. Aio , quod c. quantitas rationalis et L Nam, per disson. diuisonis, erit,sicut a. dimidens ad W sitam,scb. diuisa ad c. prouenim tem. Et permutatim, sicuta.ad b. sc posita ad c. Sed a. per hypo t. commensurabilis est ipsi b. ergo per ηs' pra miliam .& posita comm cnsurabi-j s ipsi c. Ergo c. rationalis: quod est piopositum. Hoc idem ex praecedenti ostendi P0ις α ει
465쪽
o PosrTIO 12 Omnium duarum quantitatum inuticem commensurabilium quadrata sunt adinvicem sicut quadrati numcri: ct cubi admu . cem, sit ut cubi numeri: O secunda quadrata ,sicut bis quadrati numeri: Vt si sint a b. quantitates inuicem commensurabiles , quaru quadrata sint C d. cubi aut e f. secunda aute qR1 dratas h. Aio,quod c d .crunt sicut quadrati numeri admui--cem: & e s. sicut cubi numeri: & gh sicut bis quadrati numeri. Nam, pCr huius,a b.quantitates erunt ad inuicem, . sicut numerus ad numerum; sed tam in quiritatibus,quam: in numeris quadrata sunt in dupla : cubi in tripha : secunda - quadrata in quadrupla ratione radicia. Igitur c d. ni Sportionales quadratis talium numerorum. Et es proportionales cubis talium numerosum:& gh. proportionales bisqu*dratis talium numerorum. Et hoc est propositum.
Omnes duae quantitates,quarum quadrata sunt adinvicem mmi quadrati numeri i zel quarum cubi sunt adin cemsit ut cubii numeri e vel quarum fecunda quadrata sunt admurcem cur bis quadrati numeri, sunt inter se commensurabi 'es. Exempli gra-- tia in t dux quantitares a b. quarum.quadratac d.& quatu bic f. & quarum secunda quadrata gli. Aio, quod, si c d. suerint adinvicem. sicut quadrati numeri r vel si e L fuerint Minui na, sicut cabi numeri; vel f gh. fuerint ad inuicem, sicut bis quadrati numeri : Tunc in omni tali casu, ipsi e .
a b. quantitates erit necidines cani at mensarabiles. Nam 1 src d. sint inter se, sicut quadrati muneri; cum talibus nu- . meris intersit unus mcdius numerus proportionalis, in te crit ipsis c d. una media qumitata' propcritionalis, quae sit h. . erunque clad. quantitates, talibus tribas numeris propo i tionales i cumque quadrara sin I in dopla ratiotio radicum: erit sciit c. ad h. sicut a. ad b. Sed c. ad h. sic tu numerus ad numerian : i iriir a. qu b. sicu u rus ad numerum: quare per secundam partein 3 huius, a b. inuicem commensurabiles: quiod est propositum. Si autem est si ut in-.ter se sicut cubi numeri tunc, qiua talibus numeris intem sunt duo numeri medii proportionales , intererunt ip
a . bc. h. de . l. m. fg. n. o. p. h et . 34. 6. 98. I 2. I 8. 27
466쪽
l m. erunt lite e t m s qua titates talibus quatuor numeris proportionales.& quoniam cubi sunt in tripla proportione radicum: si sicut a. ad h. sic e.ad l.sed α ad i. scut numerus ad numerum: Igitur sicut numerus adnumeru, sica ad b.&ideo per se naei partem 43' ab inuicem commensurabiles. Si deritum g h sint inter se, sicut bis quadrati numeri : tunc quoniam ia libus numeris intererunt tris numeri medij proportionales, intererunt &ipsis gh. tres mediae proportiona-lPs quantitates : quae sint n o p. eruntque gnoph. quantita- tes talibus quinque numeris proportionales:& quoniam se da quadrata sunt in quadrupla ratione radicum: erit iama.ad b. sicut g. ad n . Sed g. ad n . sicut numerus ad numerum: igitur sicut numerus ad numerum, sic a. ad , qua re per socundam partem' 3 ab inuicem eommensurabiles, sicut lucrat a principio demon Ilrandum.
Ex his manis tu est,quod omnium duarum quantitatum inuicem incommesurabiliam, neq; quadrata sunt ad inuice, sicut quadrati numeri: ncque cubi, sicut cubi numeri,neque secunda quadrata, sicut bis quadrati numeri.
Contra,& omnes duς quantitates, quarum quadrata non sunt ad inuicem , sicut quadrati numeri : vel quarum cubii non sunt ad inuicem, sicut cubi numeri: vel quarum secun- da quadrata non sunt ad inuicem, sicut bis quadrati num ri : sunt inter se commensurabiles. Nam haec duo co- 'ollaria conflant ex duobus praecedentibus propositionibus, adistinctione contrariorum. t. ii . COROLLARIUM. 16. Praeterea manifestum est, quod quantitates inter se comensurabiles, sunt omnino, etiam tam quadrato, quam cubo, quamque secundo quadrato commensurabiles ;'non autem E conuerso. Nam quantit ites, siue quadrato, siue cabo, siue secundo quadrato commensurabiles, non sunt omnino
Vnde sequitur, ut quantitas ranonalis sit etiam potentia,& cubo,& quadrato secundo,& sic in infinitum rationalis:& non E conue O. Nim quantitas siue potentia siue cubo. siue quadrato secundo, rationalis non omnino est magnu
467쪽
' Contri,quantitates in tet se incommensurabiles non omnino sunt de potentia, aut cubo, aut quadrato secundo incommensurabiles. At quantitates potentia, vel cubo, vel quadrato secundo incommensurabiles omnino sunt& --. gnitudine inter se commensurabiles.
Vnde sequitur, ut quantitas irrationalis no omnino sit&potentia,aut cubo,aut quadrato secundo irrationalis. Quantitas veta potentia, vel cubo, vel quadrato secundo irrationalis omnino sit, de magnitudine irrationalis. Quae corollλ-
ria gradatim sequuntur alterum ex altero, ut etiam per exempla numeralium terminorum constat. . . ili P R o P O S I T l O Fψ' . a ne productum duarum quantitatum potentia tantum rationalium inuicem commensurabilium, es rationale . Exempli' gratia, a b. quantitates potentia tantlim rationales inuicem scommensurabiles multiplicatae inuicem faciant ipsam c. a. Aio, quod c. qua' titas rationalis est. Sit enim ipsi a. aequalis d.& a.dmota in d. hoc est in se ipsam faciat e. quae iam ra- btionalis est, cum a. sit potentia rationalis per hyi'. sed per gprimam sol sicut d. ad b. sic e. ad c. commensurabilis est. autem perhu PO. ipsa Lipsi b.ergo, per 8'huius, ipsa e. commensurabilis erit ipsi c. Rationalis est autem e. rationalis e go per dissin.& c quod fuit demonstrandum. Aliter de pul- chreis c. Sit ipsius a. quadratum ipsa s. Se ipsius b.quadra-
. tum: ipsa quantitas g. critque per sa' praecedentem fadg. sicut numerus quadris adnumerum quadratum. Ducatur
ergo f in g. & proueniat h. critque h. numerus quadratus: quandoquidem Q. per vigesimam octaui, sunt plani simi- . les. Sed per corciliari ii undecimae huius li. est quadratum ipsus c. ergo ta rationalis , quandoquidem radix est ipsius h.
quae per numerum quadratum repraesentatur. Et radix qua- .drari nuru eri rationalis quantitas est, quia cognitus, dc scitus numetrus, sicut proponitur ostendendum. PRO Post Tio si .
ne productum duarum quantitatum rationalium O pot&tialiter tantum inter se commensurabilium, e)ὶ potentia tantum a
rationale:quod tamen ab Gςlide et o tW mediate Stanto ab . quantitates rationales, hociest ambae potentia tantum. ratio---o. nales
468쪽
nales,vel una rationalis iii magnitudine, altera vero tantum forentia. inuice potentialiter tin comesurabiles,quq intere multiplicatae sectant ipsem c. Aio,v c.est qualitas potetiatim iacionalis. Fiant enim ea, qu in praecedentu eritque per eadem, sicut d. ad b. sce. adc. eumq: per hyp.ipia d. ip: ib. st potentialiter tantum coinenturab: Iis: erit Per 8 huriis, ipsa e. quς ra tionalis est poterialiter iiii comesurabilis ipsi c. Igitur per dissin .c. potentia tni rationalis est, quod est pr postum. In altera vero demonstiatione rit per coroll. 13 p cedentis,s ad n non sicut quadratus numerus ait quadratum numerum & : idcirco fg. per acin Delaui non erunt adinvicem plani numeri similes Quirin per prima noni, ipse h. ipsorum is productu non erit quadratus numerus perinde c.ipti' h. radix potetia tna Pitionali su st sicut Pponitur.
Illud autem notandum, quod piatlaium productum quantitatum rationali ii ab Euclide vocatur mediatis qua iras, siue Me italis area: quoniam gignitur ex ductu laterum, atq; ira intelligendae sunt dissini: tiones irrationalium magnitudinum, ut i de areis mentio fit.Lineam vero in talem aream potentem, hoc est, cuius quadratum est talisama , mediatis dicitur. PRO Pos I Tio s6
Membra binomissis residuidunt radices duorum numeroris, quorum maior ad excessum supra minorem sese habet sicut numerus quadratus ad numerum quadratum, stant tres primae sp
ries. Si aatem secus, funt tres reliquae steries Binomii, sine Remul. Item si maior ex numeris dictis iis quadratus, tunc fit priama vel quarta species. Si minor sit quadratus numerus, fres cunda vel quintas neuter sit quadratus numerus diei tertia vel sexta species. Exempli gratia, 0.& s. numeri sunt quadrati
membrorum primi Binomii, siue Residui. Numeri Ia.dc v. . secundi. Numeri S.& 6. terti I. Numeri 2 1.dc ao.quarii. Numeri i . & 0.quinti. Numeri io. dc 7. sexti. Vnde talium specierii radices sic se habent: ut earu dissinitiones exposcuti
Binomium 3μ-r 8 p r.6. species residuorum .
469쪽
PRo post T Io 17 .s ngularum π. nomij θecierum radices, sunt 'ecis linguis irrationales quantitates per ordinem, scilicet, Binomium, Bi- mediale primum , S: mediate secundum , Maior, Potens rationale ac mediate. potens duo medialia. Paucis 1 ropos tum demonstrabo. Etlo Bin omium , cuius membra a b. bc. Sit i psius a b. quadratum d e. dc ipsius B c. quadratum e f. quorum disserent a s d. cuius disserentiae quarta pars lit g. & iplius g. radix sit h. Mox lecta per aequalia quantita 'a b apud h. punctum , ponatur ipsi h. aequalis k l. Post haec , totius a k l. radix sit m. Relicti autem l b. radix sit n. Aio iam, quM totum m n. radix est bin mii a b c. Deinde ostendam , quod ii a b c. sit binomium
primum , tunc m n. erit binomium. Si ab c. binomium latandum, tunc m n. erit Bimediale primum. Si ab c. binomium tertium, tunc m n. erit bimediate secundum. Si ab c. bincinium quartum, tunc m n. erit maior. Si ab c. binomium quintum ; tunc m n. Potens rationale ac modiale. Si demum ab c. binomium sextum , tunc m n. PO-tcns duo medialia. Nam cum a b. s.cetur aequaliter apud
L. & in qualiter apud l. iam per qui utam secundi Et mentorum Rectangulum a l. lo. cum quadrato k l. hoc est cum g. aequalia sunt quadrato a h. hoc est, quadranti ipsius de. Sed quadratum ipsius kl. hoc cst se fuit qu: drans ipsius d f. igitur reliquum quadrans reliqui, hoc est, rectangulum a l. ib. erit quadrans ipsius es. Quare per coroll. undecimae huius, rectangulum in n. crit radix quartae partis ipsius e f. hoc est dimiqium ipsius bc. ergo duplum ipsius rectanguli in n.aequi ualet totum b c. Cumque per hyp. a l. sit quadratum ipsius m & I b. quadratum ipsius n. crunt quadratum m. quadratum n cum duplo r elanguli m n. simul aequalia toti a c. Sed per quartam secundi : eadem simul componunt quadratum totius m n. Igirur totum in n. radix est totius ac quod erat primum ex demonstrandis . Rcliquum palo ex condit lonibusiosarum specierum binomi j : fit enim , ut exeunte ab c. nomio primo, tunc a l. l b sint rationale , Exeunte autema c. binomio secundo, vel tertio, si, ut a l. l b. sint potcntia tantum rationales .Quare exeunte a c. binomio primo,erunt
470쪽
m n. potentia rationales. Exeunte autem a c. binomio socundo,uel tertio, erunt in n. mediates : quandoquidem a Ll b quadrata ipsarum m n. potentia tantum rationalia. Et
hoc,quoniam, per dissin binomii primi, secundi, & tertij, radix ipsius d f. & ideo radix ipsius g. hoc est h. hoc est k l. commensurabilis est ipsi a b. & ideo ipsi a h. vel k b. ipsisque a l. l b. cumque, per primam sexti, m .ad n. sit sicut quadratum m. ad rectangulum m n. hoc est scutia i ii ad dimidium bc. Ideo tunc per quadragesimam octaua in lhuius , constat ipsis in n. esse potentia tantam commensii- , abiles. Existente autem a c. binomio quarto, quinto Vet. sexto, fit via l. l b. sint inuicem incommenturabiles : quo- .niam scilicet, per dissin. talium binomiorum , radix ipsius d f. S perinde radix ipsius g. hoc est ipsa h. S ipsa kl. in lcommensurabilis est ipsi a b. & idcirco ipsi a k ct ipsis a L. I b.. quare, per quadragesimam septimam huius, ipse a l. l b.
inuicem incommensu abitus . Vnde Constat ipsas in n. . tunc elle potentia in commensurabiles. Item Cum rectan-sulum in n. sit dimidium ipsius b c. atque exeunte a c. binomio primo, tertio, quarto, vel sexto ipsa b c. sit potentia tantu ratiotialis : ideo tunc rectangulum mn. erit in diale. Exeunte vero a c. binomio secundo, vel quinto b c. erit magnitudine rationalis*quare tunc rectangulum m n. erit rationale. Praeterea cum quadrata in n. consciant i tam a b. atque exeunte a c. binomio primo Vel quarto ab. st magnitudine rationalis : Exeunte vero a c. binomio secundo , tertio, quinto, Vel sexto, a b. sit potentia tantum rationalis. Idcirco exeunte a c. binomio primo vel quarto, quadrata m n. conficiunt rationale. Exeunte vero a c. binomio secundo, tertio, quinto,Vel sinis, quadrata in n. conficiunt mediate. Ex quibus quidem, cons yderatis irration lium quantitatum dissinitionibus,c6stabit quod exeunte a c.