장음표시 사용
31쪽
incidentes sic mutilo secatit ; incidentiumque situs permutatur in rcicactis non minus, ac si sectio contingeret sine roti actione. 9. Omnis refractio fit secundum lineas Rectas , adeoque radius resia aus in medio refractivo recta procedit, non secus ac radius directus extra medium reseactivum. io. Si lux luci de color similis smili colori similiterque in eodem sit jecto superaddantur, lucidius & coloratius ciscitur Oboectum inhaesionis. it. Coloris diversi species diversi coloris speciei supcraddita , mutavspeciem, de confisionem inducit. ia Lux maior luci minori , vel vice versa, si perius a facit lucem majorem absque confisione : sit peraddita speciei a colore delatae aut omnino extingi iit illam speciein, aut mixtionem quandam aliam coloris apparentis causat, vel certe ita obliterat, ne vitiis illam colorationem dii cornat. 13. Cum quodlibet obiecti pii iactum radiet in sphaeram, radiabit obiectum totum in totam leniis oppositae si perficiei ii : item quo ilibet scus punctum in tot im eandem si aperticiem , & singula ejusdem superficiei puncta. Unde in prima qualibet lente objecto Opposita erit totius ob)ecti ina go confuso, quia quodvis punctum ab ol ecto radians erit in tota lente, de qualibet eius parte. 1 . Operationes naturae ad perpendicularem limi fortiores , Se tanto debiliores, quanto a perpendiculari remotioreS.
Lentium con exarmn proprietatos Dio
trico-Mathematica Proponuntur ta demonstrantur.
De simplici Unica Refractione, quae sit, dum Radii paralleli
incidunt ad convexam superficiem vitream in continuarita soliditate. . Mute omnia praemittere oportet uvionem T diorum para telorum cum axe considerata tantum uica Re actione,
qua fieret in vitro, si post convexam ejus superficiem con tinuaretur eadem sollitas.
Omni Radius ari pa Lelm incidens in supersciem conet exam si ricam quocunque loco fruit angulum inclinationis aequalem angulo , quies ad centrum ranimitatis, cT ab arcu in superficie phaerica inter axem c punctum incidentiae , hoe es, ab axe c perpendiculari Midentia comprehenditur. 'et in
32쪽
It enim radius D E axi I CG parallelus incidens in puncto E ad convexam superficiem, A CEB. Dico angulum inclinationis DEFaequalem esse angulo C G E, qui ab arcu C E
comprehendi ruri Demonstratio. Educatur enim ex centro con- Dem
vexitatis G ad punctium incidentiae E perpendicu- ω laris GEF. Quia igitur ex hypothesi de constructione IC G Ac DEH parallelae ; fient anguli per 19. primi Euclid. DEF & IGE aequales , quod
D dius parasielua incidens in superficiem convexam diaphani densorutranstu frangitur , T cum axe concurrit ultra centrum. SIt radius luminis D E ex aere incidens insuperficiem convcxam A E C B medii dei sioris , ipsique axi IC parallelus. Dico Radium D E in transitu ad punctiim E ita
refringendum , ut uniatur cum axe IΚ ultra centrum G. Demonstratio. Ducatur enim ex Centro
G recta GEF quae erit perpendicularis per suppos. I. supra. M D E F erit angulus incidentiae , cui per praecedentem aequalis angulus E G C. Non procurrit autem radius incidens DE ex E in G, quia per x. supposit. incidens est in
clinatus, ac consequenter etiam per conversam
suppos i. non poterit per centrum G transire. Neque etiam procedet in H per suppos 3. cum medium supponatur densitus, unde ad ingressum medii in E ad perpendicularem EG frangitur , M per axioma ii, primi Euclid. inter parallelas ΕΗ & CGH ad axem IC GK aliqua do ad punctiim L concurret: Sed punetiam Κ est ultra centrum G , ergo R dius parallelus mi incidens in superficiem convexam diaphani densio-im in transitu frangitur , de cum axe concurrit ultra centrum quod erat ostendendum.
33쪽
mundumentum II. Mathematico Dioptracum.
Coroliarium Angulus ergo ΕΚ G sive angulus, quem facit radius r fractus in medio densiore ad axem , cum incidens in parallelus , per a 9. primi Euclid. erit aequalis angulo HEΚ, hoc est, angulo Refractionis. Propositio III. Theoremae.
Etiam radius parasi lus ex medio densori sphaerico erumpens in medium
raram , σ incidens in concatam Nus seupersciim concurrit cum axe, cui parasielus est.
sitque radius incidens H E erumpensin aurem. Dico, radium H E per retractionem uniendum cum axe L LDemonstratio. Linea G E F perpendicularis est ad superficiem AEC B, cum per centrum ejus G transcat. Quare angulus inclinationis est H E G. Recedit autem
in egrestit si radius H E a perpendiculari E F per suppos 3. supra, dum fit transitus a medio densiori ad rarius : igitur radius Refractus magis recedet a linea E D , sed E D est parallela axi I K ; M E I inter p. rallelas E D & I C procurrit ; ergo neces
sirio iterum cum axe Κ I debebit concuserere per idem Axioma I i. prim. Euolad. quod erat ostendendum.
Grostarium. Etiam angulus EI C quem faciet ad axem Radius refractus El, erit aequalis angulo rcfractionis DEI, per ean-dcm et s. primi Euclid. Propositio IV. Theorematac Vm rasus axi parasitam in diutinum sphaeriotim incidit, Gr deinde
Vl factio in lapham ὐnsiori cum axe concurrit, est ut suus a NARU actionis a laum auguli inclinationis, ita sum tetus sve radius aussemidiameter conmeritaris ad Rudium refractum sumptum inque ad comcusum cum axeproducto. Sit
34쪽
S ut a m a J. Caput IV. It Radius incidens D E ab E autem Refractus transeat in Κ, dico ita esse, radium GE live sonuit ametrum convexitatis ad radium refractum KE, retractionis HEL ad angulum inclinationis D EF Ducatur enam ex centro si X E ra dio refracto parallela G d,item ex punctis E N: d ducantur perpendiculares ad aXem,nempe L a,& a b.
Demonstratio. Angulus EG C per Demon- primam huius erit aequalis angulo incidentiae DEF , & angulus ELC aequalis angulo Rciis actionis H EX per corollari secundae hujus. Cum itaque etiam ipsi ELC sit aequalis d G C per a9. primi Euclid. de anguli Ea G, db Grecti, erunt
etiam reliqui anguli aequales: unde consequenter triangula erunt aequi angula.
Sed per . sext. Euclid. ut bii sinus anguli JG C aequalis angulo Refractionis ad a E sinum aequalem angulo incidentiae , ita est dG vel ei aequalis EG Radius aut sinus totus ad E K Radium refractum. Ergo cum radius parallelus incidit ad dia-phanum sphaericum & deinde refractus
cum axe concurrit, ut sinus anguli Re-
fractionis est ad sinum anguli inclinationis , ita est sinus totus ad radium retractum, quod erat demonstrandum.
Corostam . Cum per hypoth. . angulus Refractionis in vitro usque ad 3o. gradum
inclinationis sit quam proxime r ima pars inclinationis in aere, icquitur vi parallesus primae Rc fractionis radios ex aere in vitrum convexum incidentes uniendos i ad sesquidiametrum ut molius litoria exemplo dclnonstratur. . in Sit angulus inclinationis Gra d. i s angulus refractus crit Grad. s. semidia--α- hoacter autem sit r. pedis Romani: si et It 89 o 3 o Logorith. sin. Rcfracti Gr.3 .s ad 9 I3oo. Logorith. si- eone inadnuSinclinat. Grad. is. ita i i 1 Logor. sin. Tot. sive Radii ad aliud : Milou in facta operatione provcni et Logorith. I9498α, cui proxime respondet in tabulis 19 93'. Logorith. Num. 8 . paulo latinor Numero 'o. sive sesqui- Arithmeti- diametro cui in ta b. respondet I ogor. ivs 2 . qui ςst maior invento. Verum hoc ipsi mi adhuc inclius invenitur, Radios scit .cxacre in vitrum convexum incidentes ad ses liridiainctrum liniri, si nempe fiat ut sinus an
suli Refractionis ad sinum anguli Restacti, ita semidiameter , sive sinus to tus fiat ad reliquum. Nam quia angulus Refractionis est dimidia pars anguli refracti, ut iis pradocuimus, & refractus angulus est duplus anguli Rese inoni respondenunt sinus proportionales, sive latera opposta proportionalia ; Hinc angulo Refracto duplum latus ejus quod angulo Retractionis sub- D tenditur.
35쪽
1 6 undamentum It mathematico. Dioptricum
tenditur. Quocirca linea GΚ angulo refracto Κ EG opposita dupla erit linea: E G, hoc cst seimidiametri convexitatis, quae opponitur angulo L. ΚGaequali angulo Refractionis HEL , ut ostendimus. Adeoque punctum unionis Lerit in distantia a C. tripla semidiametri, sive ad sesquidiametrum. Atque hoc verum est,si gradus inclinationis sint circa initium quadrantis adao.circitergradum,& quidem in vitro seu in medio codem continuato.
Cum usque ad io. adum inclinationis in ingressu alacre in mitrum amgulus refractionis Vi tertia pars an uti inclinationis in Cressu a iitro incerem angulus refra innis erit media pars an uti inclinationis. Sit vitrum ADB in cujussit perficiem radius FD inclinatus i .grad. incidat in puncto D pergatque ex Dinc; faciatque in vitro angulum refractionis H DG , qui sit grad. s. nempe tertia pars guli inclinationis C D F. as. Dico in egressu radii vitro in acrem angulum retractionis, qui erit angulus ID F, suturum dimidium inclinationis GDE. Demonstratio. Sit enim in vitro radius G D cujus ii clinatio ad superficiem AB erit io .graduum, cum ab angulo H DE aequali angulo inclinationis FDC detractus sit angulus H DG prior nempe angulus refractionis s. graduum. scd per stippo s. supra cum sit eadem refractio radiorum in ingressi, & egressu , radius G D refringetur in D , δe refracti nis angulus erit ID F, aequalis angulo H DG graduum s. igitur angulo in clinationis io. graduum respondebit angulus Refractionis graduum s. nempe dimidius hii us anguli inclinationis,quod crat ostendendum.
iis In ingressu ab acre in vitrum usque ad ΣΟ. grad. angulus inclinationis h. s L si est triplus anguli retractionis de sesquialter anguli Refracti , in egressit vero tonis: A in aerem, angulus inclinationis est duplus anguli refractionis, & angulus reti actus est sesquialter anguli inclinationis,& triplus anguli rei actionis, quod
36쪽
De Re fractione quae si in lentibus plano convexis, cum Radii incidentes sunt paralleli. Propositio V I. Theoremata
In lenti lus plano. conv/- Radii non nimis distimes at axe incidentes para eo in quamcunque supersciem concurrunt cum axe in extremitate diametri suae contexit a se quomodocunque ob inrtantur.
SIx Lens plan convexa ACB, quae primo directe secundum planam superficiem AB soli vel alteri lucido objecto satis dissito obvertatur, ita ut radii in eam incidentes veniant a longinquo , adeoque reputentur pro parallelis. Cogitetur jam radius D E axi parallelus incidens ita ut convexitas EC non sit ultra io gradus. Dico,radium refractum E Guniendum cum axe F G producto ad distantiam sere diametri in G, ita ut linea CG siti et E dupla radii sive semidiametri CF aut eidem aequalis EF. Demonstratio. Cum radius D E incidat axi DEmo,. F C parallelus, adeoque perpendicularis ad planam stratio eum sit perficiem AB in ingressu vitri manebit directus , wΣ nec frangetur, per Axioma I. supra, pertransiens au- seeutit α'tem a vitro ad acrem faciet angulum Refractionis
HEG medium ipsus anguli inclinationis D EF in 'es..hs
vitro per praecedentem. Unde procurrens ad axem uituti
productum FCG ad punctum concursus G angulum E GD faciet aequalem angulo refractionis HEG per 19. primi Euclid. Erit igitur & angulus EG C dimidius anguli inclinationis D EF Cum vero angulo inclinationis D EF per eandema'. primi Euclid. aequalis sit angulus EF C, erit angulus EF C duplus anguli EGC : adeoque cum sicut sinus ipsis oppositi, ita etiam se habeant latera iisdem opposita , idcirco latus E G oppositum angulo EF C duplum erit lateris EF, quod est
oppositum angulo EG C i sed EF est radius sive
semidiameter, eique aequalis CFι Schum EG duplum sit E F, sive C F, ut demonstratum, constituitiatus EG aequale diametro : proinda etiam quia E G non multum distata C G, erit ita C G pene a qualis EG. Concursus ergo prope G ad distantiam serme diametri convexitatis continget, quod erat demonstrandum.
37쪽
et s Fundamentum II. Mathematic Dioptricum
sit secundo Lens ABC cujus convexitas soli obvertatur, sitque radius D E incidens ut prilis axi o C parallelus. Dico sere ut post duplam Refractionem factam tam in ingressu vitri ad punctum p , per radium resta bini El, quam in ingressu vitri in aerema puncto I per refractum I G concurrat cum
axe o CL in extremitate diametri itempὸ puncto G. Ducatur enim cx centro F linea
gulus inclinationis, cui oppositus FE H aequalis est per is .prmi Euclid. procurrens ergo radius DE vi primae testassionis per corollarium quartae hujus unietur cum axe ad sesquidiametrum convexitatis in puncto M A- cietque angulum EL F aequalem angulo restamonis H E L per i . primi Euclid. Et
cum per Axioma ' supra angulus Restam nis sit tertia pars inclinationis ι crit ergo angulus EA F etiam tertia pars anguli DELinclinationis sive ei aequalis HEF, adeoquὰ relinquetur angulus F ΕΚ duplus anguli E s F. LInde sicut sinus angulis iisdem oppositi, sic eriint de latera opposita ; consequenter latus Fx oppositum angulo A EF duplum crit ejus lateris, nempe FE, quod opponitur angulo FK E. Cum porro Angulus L E F sit valde acutus, erassities etiam vitri haud multum impediat, Angulus autem Reseactionis a vitro in ac rem fiat dimidia pars anguli inclinationis in ipsi, vitro. Si itaque angulus ΚΕ Funa tertia jam ante minutus dividatur bifariam , & dimidia pars x G relinquatur, restabit angulus G E F. proinde sicut toti angulo LEF tota prespondebat, sic etiam dimidio angulo G EF resipondebit dimidia ipsius KF, nempe GF, eritque punetiam unionis cirea G.. Est autem FE vel FC semidiameter, & F G alterutri etiam aequalis; unde curcursiis si ad lineam semidiametri duplam,hoc est diametrum C G,qtioderat ostendendum.
Paulo aliter ultimum hoc demonstrari potest. Si ad punctii in I egre sus in aerem radii restam ducatur DH parallela NM sitque pestendicularis ad planam superficiem AB. Quia ElM de Nip per is primi Euclid. fiunt
aequales, si nempe accuratior line I cogitetur transire per punehim I, deinde etiam per praeced.angulus refraebonis a vitro in aerem sit media pars inclinationis in vitro, facile demonstrari poterit,angulum I G F siturum dimidium anguli NIR & angulos GIF&FGI fere aeouales , proindὰ paria latera iisdem debere opponi. Unde si latera CF de FI cum lineola primae Res a-ebonis I E ex aequo super axem ponantur, fiet prope, ut diametrum convexia
38쪽
SI Lens plano convexa Solis radiis otponatur, & ad distantiam diametri Lesis est
fomentum aliquod apponatur, facile ignis excitabitur : nam radii So- ira lis Cuna a longinquo veniant, & ideo censeantur paralleli ; in superficient lentis incidentes plures radii ad idem punctum concursus distantia diantetri remotum convenient, ubi se mutuo intendentes ignem iacile cxcitabunt. II.
In Lente plano convexa si lucidem in axe ponatur ad punctum conis Lucidum iae irius radiorum parallelorum antea incidentium diametri distantia remo λς venti tum, radii in lentem incidentes, ac per eam reseam transibunt paralleli: qtaria, cum enim reciprocum sit lucis iter per Axioma s. supra: si loco concursus parallelorum radiorum per lentem restactorum ponatur lucidum simili re Lactione vicissim lumen parallelum transfundet. III. In Lente plano- convexa si lucidum in axe positum minus distet ab ea quam tota diametro , radii in lentem incidentes post reseactionem diverarent; minus tamen , quam lente sublata. Nam quia tunc inclinationes tora' fiunt maiores per Axioma 3. supra etiam maiores reseactiones respondebunt. Item quia per Axioma 8. supra radii incidentes in idem punctum feeundi diaphani ulterius producti, licet refiactionem patiantur, se intersecant, idcirco radii tam aliter incidentes cum radiis expuncto diametri diastantia remoto qui soli paralleli post restactionem procedunt in non coincia doni, sed cosdem intersecabunt, de ulterius propagati ab iisdem parallelis magis recedent, adeoque longius divergent: minus tamen , quam lente sublata, quia sine lente directe progredientur ; per lentem vero transeuntes ob vitri vim refractivam , magis adhuc ad axem retinentur. Undecti aio , quanto Lucidum erit magis propinquum Semilenti, tanto radii restachi magis di vcrgent; de victissim , quanto magis radii testachi per lentem divergent, tanto lucidum erit propius lenti : & quanto minus divergent, tanto lucidum in axe positum erit inter socum de lentem remotius ab ipsa lente, donec cum paralleli transmittantur radii, Lucidum ipsum in puncto Uiametri distantia remoto consistat. IV.
si Lueidum in aYe postum distet a semilente plus quam diametro tueuem
eonvexitatis ejus scin , radii ad Semilentem incidentes, perque eandem re adii convergent, de in eodem physicὸ puncto concurrent. Nam per idem mino. Axioma 8. supra, cum radii se debeant ad idem punctum incidentiae inter secare , nec possint procedere paralleli cum iis tantum radiis ex puncto diametri distantia remoto exortis hoc conveniati nequὸ nos sint divergere, cum id pollini soli radii ex punctis inter secum & semilentem prognati necellario ergo aliquando convergent, atque in eodem physice puncto concurrent: dc quidem , quanto Lucidum erit remotius a soco in axe pilitum , tanto propius post punctum diametri sive post secum semissenti concurrent. Quanto vero vicimus erit Lucidum ipsi soco, tanto concuria
39쪽
3o Rundamentum II. Mathematico Dioptricum. sus remotius continget: & vicissim, quanto radii longius in axe post secum concurrent, tanto Lucidum propius erit positum ad secum in axe , de quanto propius ad secum post ipsi uri tamen, ut semper intelligendum, radii concurrent; tanto Lucidum crit longius in axea Acorc motum.
De Res actione quae sit in Lenti 3 utri in
que convexis cum Radii incidentes rixi sunt parasteti.
ANtequam ulterius procedatur, opportunc praemoneri debet ingenuus Lector, ut Demonstrationes, quae hic adducuntur, in rigore Mathematico tion alliinaci aut disquirat: dum enim in materia physica Mathesin applicamus, latitudo aliqua permittenda est. Nam, licet stipponatur, angulum Refractionis ab aere in vitrum esse tertiam partem anguli inclinationis usquc ad 2 o. gradus ; omnino tamen praecise & Mathemati iacertum non est : siquidcm , si post illos gradus aliter refractio contingat ;etiam ante dictos sensim certe immutari debet. Deinde ob vitri ipsius naturam aliquid indu Vndum : sicut enim, uti non dubito, unum vitrum alio densius cst, prout caus materia magis aut minus suerit caecocta ac Praeparata; ita cliana unum alio naagis aut latinus restactivum erit. Cum denique etiam crassities maior aut minor negligenda non sit, illamque praecise determinare nimis foret exquisiti ini, hinc omnia'raetci propterintelligenda volumus , ita ut quidquid circa hanc materiam concludi possit, cum aliqua latitudine physica si acceptandum. His praemonitis sit
40쪽
Synt 'ra DC put In ai Propositio VII. Theorema.
Radiorum inciuentium axi parat lorum is quamcimquὸ Lentem
fit in sys intia ire Diori, quam sit tilriin1M cotet GSix Len utrinque convexa aequaliter sive
ina qualiter perinde est, AC BL , ad quam incidat radius D E axi FC parallelus ; Dico quod radius dum incidit insuperficiem convexam A C B post secundam
rcia actionem cum axe post lentem concurrat
in distantia minori, quam sit diameter C H. Demonstratio. Nam quia pcr praece- Demonfidentem radii pariaticli in Lente plano-convexa concurrunt ad axem in extremitate diametri : si jam intelligatur in Lente convexo convexa plana su perficies A aB , de ad punctum aegrestus e vitro perpendicularis bac, erit in vitro prius quam radius Ea egrederetur planam superficiem A a B angulus inclinationis Ea b, cui per praxedentem deberet respondere radius refractus a H. Addatur jam altera convexitas ALB rcum igitur idem medium permaneat; procurret in vitro radius prius incidens DE ab Ein e,lioc est, ab E in cΚ per corollar. q.hUJUS.
Ducatur jam ad punctum e perpendicularis Fe I, fiet in vitro angulus inclinationis hia rised hic angulus ina or est angulo Eab ; ergo etiam per Axioma 3 supr. major refractio sequi debet ab egrestu e vitro in acrem. Ergo
dum magis retractus secunda refractione refringetur, citius cum axe concurret, adeoquci
incidens Radius axi parallelus post secundam refractionem unietur cum axe in distantia , quae es h minor diametro CH convexitatis ACB, in quam incidit, nempe in G, quod erat demonstrandum. Similiter cliam obversa altera convexitate ALB ostendam, quod radius
in cam incidens axi parallelus citius diametro suae convexitatis cum axe concurrat. Ergo.