장음표시 사용
41쪽
3 et Fundament in II. Mathematico- Dioptrio m
siemonstratio. Radius incidens D ii vi
primae refractionis in vitro dirigitur ab E in ΟΚper corollar. . hujus. Ducatur jam ad punctum O egressus e vitro in acrem perpendicularis I OF, eritque incidentiae in vitro angulus EO F, &per i s. primi Euclid. aequalis 1lli LOM Describatur jam cx puncto O tanquam centro arcu, LM P, & secetur bifariam angulus LOM, & dimidia pars a M transi cratur ab M in P. Cum itaque cx vitro in acremi cir elio fieri debeat a perpendiculari per Axioni. . sit pra S angulus inclinationis sui dimidia parte crescere pcr s. huius, hocque coconstrum est factum ad punctum P. Qua propici radius OP per P productus cum axe ΓΚ concurret ad N. Sed pun him N prope est puncto sive centro G, ut figura monstrat, Maliunde etiam demonstrari potest. Nam si cogitetur ad punctum O ducta IOH parallela axi F x, erit angulus Oxca qualis H O M, pcra'. primi Euclid. Est autem a O M sive aequalis M O P sero duplo major angulo H O M aut aequali O 1 N. LIudὰ angulo LON latus oppositum KN etiam de bet esse fere duplum lateris Q N, quod opponitur angulo OX N. Si itaque linea KN dimpla suerit lineae N O , de liaec si prope aequalis
midiametro , punctumque K sit remotum ad sesquidiametrum, ut lcmonstratum, necessario LN pi ope adaequabit di metrum. Ergo prope attinget centrum G Radius igitur res misON cum axe concurret prope centrum, quod
Lens plano con vexa minor aequi alet lenti ualiter contexo Uexae duplo majori, S Lς ζζs, ex iis plano convexa ex diametro unius pedis, altera
vero sit utrinque aequaliter convexa, habeatque sitae convexitatis diam trum utrinque duorum pedum. Dico, illas lentes aequivalere M unire radios ala parallelos incidentes ad aequalem distantiam. DemomHIE c propositio ab aliis valde obscure & intricate, ita ut dissiculterin telligi queat,demonstratur. Ego pro captu cujuslibet facilius ita de
Sit Lens utrinque similiter convexa A CB, in quam incidat radius D Eaxi FC Parallelus. Dico, post duplicem refractionem siturum 'ut radius refractus O N prope centrum G convexitatis sua: A C B cum axe F con
42쪽
Demonstratio. Prima cnim Lens plano- convexa unit radios in ex nem tremitate suae diametri per 6.hujus ; altera vero convexo- convexa per prae- si cedentem unit radios ad distantiam semidiametri sive prope centrum , de cum hujus diameter sit duorum pedum , erit centrum unius pedis distantia remotum. Ergo aequivalent,quod erat ostendendum.
Lerutis tu usu et con exo con exue focum determinare,cum radii in iram in dentes su ponuntur paralleli.
Sit Lens Ex. gr. convex convexa inaequalium convexitatum, sitque convexitatis AH B semidiameter FH , convexitatis vero
ACB semidiameter GC,& huius semidiametri tripla sit linea C Κ ; radius vero inciderasaxi parallelus sit DL, qui ab E procedat in N; per . punctum vero O egressus in acrem ducatur .FOL, de ab L ex centro ducatur arcus L Psatque M P dimidius L M. Dico radium ab Oper P in Ndiustum determinare secum. Demonstratio. Nam quia per coroll. q. hujus vi primae Re fractionis Radius incidens D E dirigitur ab E in Ο Κ, de in egressit e vitro per s. huius angulus Retractionis est dimidius anguli inclinationis in vitro : NO K vero Perconstructionem factius est dimidius L OK sive ei aequalis in vitro EO F, radius ergo ON in
puncto N cum axe concurrens determinabit focum, quod erat faciendum.
N Lentis aequaliter utrinque convexae cum prehiesia
secus sit prope centrum contexitatis , Sc lentis cujuslibct plano-conVexae Lesmum circa extremitatem diametri convexitatis ; erit sociis Lentis utrinque con- con vexae inaequalium convexitatum intra centrum sive semidiametrum obtusioris de diametrum convexitatis acutioris. Nam si Lentis inaequaliter convexae acutior convexitas utrinque seret aequalis, focus esset circa centrume iisdem convexitatis per L huius. Et si ejusdem Lentis acutior convexatas foret cum plana superficie coniuncta, focus esset prope diametrum Mus convexitatis per 5. huius. Non est autem Lens inaequaliter convexa utrinque; nec aequaliter utrinque convexa, nec I an convexa , quod similiter implicat. Cum itaque ex hypothesi inaequales habeat convexitates , si acutiori convexi rati addatur alia convexitas obtusior quaecunque , non poterit secum sistere ad diametri extreminatem , nec ad centrum , unde necessario intra haec tanquam terminos. Et quidem acutiori convexitati quanto addita altera quaecunque convexitas erit conformior aut similior, tanto secum
centro prioris propiorem habebit Lens: quanto autem dissimilior , ita ut magis accedat ad stiperficiem planam, tanto socum ultra removebit M pr
43쪽
3 Rumtamentum II. Mathematico Dioptricum. pius ad extremitatem diametri acutioris convexitatis habebiti Ex quo tu sum sequitur.
Quod Lens convexo convexa inaequaster socum habeat sempera centro convexitatis obtusioris versus ipsam convexitatem obtusiorem. Nam si aequalem haberet eam utrinque convexitatem , focum babcrct prope ccimerum eiusdem per 8.hu)us. Sed cum addita convexitas altera sit acutior, erit jam focus intra centrum prioris convexitatis acutioris, de ipsam convexita tem obtusiorem.
In Lentibus inaequaliter utrinque convexis eadem ea soci distantia , quaecunque obvertatur objecto aeque dissito convexitas, quia simili modo iacile invenitur de determinatur ad eandein distantiam sociis.
De Natura Resi actionis Lentium convexarum, cum Radii ab objectis magis aut minus distantibus incidentes axi paralleli non censentur.
Radii obli- Uae hactenus proposita sunt, unice Radios incidentes axi parallelos , ' eorum in refringendo naturam concernunt. Nunc habito respectu respectu magis aut minus distantis ob ecti c)usdem radios oblique etiam incidentesqUvae o in quaslibet Lentes convexta cum subsequente Refractione pervestigare M., paucis explicare conabimur.
44쪽
, Lentibus eo exo-convexis radii ab extremitate unim diametri proximae contexitati, prodeuntes in alterius diametri aversae
convexitatis extremitate uniuntur.
SIt Lens convexo- convexa quomodocunque ABCD , diameter EB pro
ximae convexitatis ABC r aversae vero convexitatis ADC diameter sieD F. Dico, quod Lucidum positum in extremitate E diametri B E omnes radios ab E prodeuntes uniat in F extremitate diametri DF averta convexia talis ADC. Demonstratio. Nam per corollari secundum 6.hujus in semilentibus cum Demo Lucidum ponitur in axe ad punctum in extremitate diametri radii in ipsis,& inde dum rursus egrediuntur, pergunt paralleli. Item per eandem 6.husus, cum radii in semilentem incidunt paralleli, egressi deinde uniuntur in extrenutate diametri convexitatis eiusdem. Si itaque cogitentur duae semilentes sibi ita conjungi, ut unam lentem convex convexam conficiant; planum est,radios ab extremitate . . unius diametri proximae convexitatis in ipsa Lente fieri parallelos: & quia dum radii paralleli in semilente alterius convexitatis aversae fuerint in egressii sunt coniunetendi in extremitate diametri ejusdem convexitatis per Chuius. Quocirca radii a Duncto E prodeuntes per Lentem convex convexam deducti in puncto D concurrent: aut e contra, cum a puncto F prodierint, in puncto E convenient. Quod erat demonstrandum.
45쪽
36 Fundamentum II. ruathematico Dioptricum.
Expressius idipsum videtur in a. figura : ubi duae se lentes sint invicem semotae, quae quomodocunque removentur aut admoventur, semper continget, post secundam convexitatem in extremitate diametri radios uniari , si Lucidum fuerit positum in extremitate diametri primae convexitatis.
ab exciemiis rate unius diametri eum sensi verius lenia
Si Lucidum ab extremitate unius diametri sensim propius Lenti admo veatur , concursus radiorum ab F sensim etiam magis protrudetur, donecdum Lucidum venerit ad G centrum primae convexitatis, tunc enim r mittentur radii paralleli. Et cum adhuc propius Lenti post centrum GLucidum fuerit positum, radii fient divergentes, tantoque magis, quanto in centro G Lucidum Lenti prorinquius extiterit. E contra, si Lucidum fiterit ante vel ultra E pulictum extremitatis diametri , adeoque remotius a Lente collocatum ἔ accedet concursus radiorum ab F versiis H centrum, de tanto propius, quanto Lucidum fuerit magis elongatum ab L. Numquam tamen concursus radiorum mathematice in ipsb puncto H fieri po-zerit , cum tanta requiratur distantia Lucidi ab E , ut radii inde egressi etiam mathematice sint paralleli , quod fieri repugnat. Unde nunquam ad ipsit in punctum H mathematice loquendo, concursus fieri poterit.
In Lentibus plan convexu, ut es excesso distantiae olim fura diu me rum ad diametrum con exitatis, ita es Hylamia si ii dii a L me ad distantiam foci.
46쪽
SIt Lens plano convexa ED C , cujus semidiameter F E vel ei aequalis F D , diameter autem sit D B , sitque ob; ectum luminosum in A. Si porro fiat, ut AB ad BD , ita AD ad D Κ. Dico, punctum K csse distantiam foci. Demonstratio. Fiat enim Κ L dimidia lineae DX, sicut FDest dimidia DB ; erit ut AB ad B F , ita A D ad D L. Unde vi primae Re fractionis radius A E dirigi debet ad pum tu in L. Cum enim ita sit A B ad B F ut A D ad D L ,
erit componendo AF ad BF triplam semidiametri F E, aut ei aequalis FD , ut tota A L ad D L etiam triplam ipsus A D. l'orro radius incidens cum sit AE, erit angulus inclinationis GEA; radius idcirco A E vi primae Reuactionis refringetur in L: nain angulus H E L erit tertia pars anguli inclinationis G E A,vel ei aequalis per i . primi Euclid. HEF. Consequenter erit angulus Refractionis tali inclinationi competens per Axioma 7 sit pra. Nam in triangulo AEL, cum ita sit A L ad L E seu LD , ut unus anguli AE L stipplementi eius HEL ad sinum anguli Α : ut autem sinus, ita & anguli, cum sint valde acuti: M ut A L ad D L , ita A F ad BF triplam radii FE : emo ut angulus HELad angulum A , ita A F ad triplam F E; & ut triplus anguli H E L ad angulum A , ita A F ad radium F E : sed in triangulo A E F ita est A Fad FE , sicut sinus angulorum oppositorum , nempe, ut sinus anguli AEF seu GE A ad angulum A. Ergo ita se habet triplus anguli HELad angulum A, sicut angulus GE A ad eundem A. Igitur vere res actio prima dirigetur ad punctum L,quod erat primo demonstrandum. Ducatur jam linea M E N axi parallela: erit haec perpendicularis ad sit perficiem E C; unde inclinationis angulus NE L erit aequalis ci , qui fit in vitro, fietque angulus Refractionis LEU; angulus Refractus NE L , quem ostendo est e triplum anguli Refractionis LE K. Nam ita est Demon in triangulo LEΚ linea I E seu LD ad Lx , sicut sinus anguli E KF , seu alterni NE K ad sinum anguli LEU: ut autem sinus, ita de anguli, & LΚ per constructionem facta est tertia pars lineae L D. Ergo angulus NER est triplus LEX: ergo angulus L E X est angulus Refractionis tali inclinationi competens. Ergo si sit . ut AB ad BD, ita AD ad DK, refractio fiet . in X. Si ergo Lucidum fiterit in A, &secus in 'x, ita erit AB ad BD , sicut distantia A D ad D x distantiam foci, quod erat secundo demonstrandum.
47쪽
mundamentum II. ruathematico-Dioptricum.
L . U , si objectum in distantia fuerit,quae sit dupla diametri,focus etiam erit in
a.=i1 ἡ . distantia dupla diametri, dein hoc casu objecti, Ze soci distantiae sunt aequales mini, ubi Si oriectum sit in distantia diametri nempe in B, cum nullus sit excessus supra ψ - diametrum, etiam uultus erit focus, adeoque radii remittentur parallicli
Resulano Cum Lentes utrinque convexae idem praestare postini, quod Lentes .... '' plan convexae per hujus , ad inveniendum focum universaliter servit haec regula ; In disserenita distantia objecti se a distantiam fori ordinariam, nempe quae est respectu radiorum parallelorum , ita distantia objecti ad quai rum: habebitur distantia foci. Quae regula etiam valet pro Menistis.
In Lente ano- eonvexa, s objectum ponatur inter focum σlentem, ita erit dilantia offecti i centro Lentis ad Hamurum Lentis, ut dilantia ejus a me ad risantiam foci λδ narit. SIt enim Lens plano- convexa E D C, cum
ius semidiameter F E : ob)ectum autem lucidum sit in A, sitque A D minor quam lentis diameter D L , qui est sociis naturalis nempe radiorum paralleIorum. Certum est, Quod si est et obiectum in K extremitate diametri , refractus citet L R parallelus axi per coroll. 1. sextae hujus. Sed radius Refractus erit divergens E H, qui ita procedit, ac si v niret expuncto Κ , hunc voco secum virtualem. Dico ergo sicut se habet A F ad diame trum convexitatis , ita esse AD ad AK: a que si hoc ita sit, ut lineae hae ita se habeant, ostendam radium incidentem A E post duplicem Refractionem ita refringi de propagari per L H, ac si recta veniret ex puncto L.
Sit enim KL tertia pars lineae DK , vi rimae refractionis radius A E refringetur in G , quasi procederet ex puncto L. Duc tur jam FE A radius parallelus MER ;producanturque radii A E in I, KE in H, 3eLE in G ι cum sit ut A F ad diametrum seu duplam FD, ita AD ad Α Κ, crit etiam, ut AF ad sesquidiametrum seu triplam FD , ita
AD ad D LDemonstratio. Nam in triansulo AFE, ita est A F ad Ε F, ut sinus anguli FE A seu suppi
48쪽
supplementi ejus Q ΕΑ adsinti manguli E AF ut autem siniis, ita & anguli, eum sint valde acuti. Ergo ita est angulus inclinationis Q E A ad angulum L A F, sicut A p ad p E seu F D, ergo ut tertia pars anguli Q E A adlum EA F; ita A Fad triplam pD seu sesquidiametruini sed ut A Fquidiametrum , ita Α D seii E A ad L D ieu L E 1 M in triangulo L E A ita est AE ad L E, seut angulus L seu alterniis M EI ad angulum E AF. Ero ita est tertia pars anguli My A ad angulum E A F, sicut MEL seu illi oppo situs G E R ad eundem EA F. Unde angulus GER est angulus Refractio
nis respondens angulo inclinationis QE A in ingrestu ac aere in vitrum. Ergo per primam retractionem divergit in EG, quati procederet ex L, quod erat primo ostcndendurn. Secundo dico, vi sectindat Retractionis radium Α Ε dirigendum in Ebi, quasi procederet ex M. Cum enim Κ L sit tertia pars lineae L D seu L E & in trianguloΚ E Lita sit A L ad L E, ut angulus LE A ad angulum ΕΑ F. seu alternum M EL; erit angulus M E E seu oppositus HER triplus anguli LEl , leuoppositi HEG. Sed in egrcitu vitri in aerem angulus Refractus triplus in anguli Refractionis, At consequenter sesquialter anguli inclinationis per corollar. s. hujus. Ergo angulus R E H est angulus refractus respondens inia clinationi GER. Ergo radius dirigitur in Iri, quasi procederet ex Κ, quod
panes ad Quod dicitur hic de Lente plano convexa, intel ligendum etiam est de Lente convexa utrinque, aut de Menisco, allia mendo pro diametro distan tiam soci ordinarii; M pro distantia objecti a centro Lentis, distantiam ob jechii semifoco. Nempe, scut in hac propositione primus terminus fuit Ilianea AF composita ex distantia objecti a Lente , S semidiametro F D, quae est semidi stantia soci ordinarit: in aliis Lentibus fiat linea composita ex diasta tia obiecti a Lente, S: ex distantia semisoci,non habita ratione diametri.
αnucunque Radius quomodocunquὸ ex aere intrans vitreum
quod sinperscier habet paralgetis, si ve restingatim in eo,
49쪽
invicem parallelas. Sitque primo radius C Eperpendiculariter incia
Axioma I. hujus, irrci eius transbit ab L in .s ,& rursiis incidens in a rem,sive egrediens Mimani in ptincto d, perget rursus irrefractiis in L, adeoque similiter ac incidit, egre
Sit secundo Radius D E oblique incidens an gulo inclinationis DECihili perficiem Aa puncto E. Dico, etiam post duplicem Restactionem in E de F talam egresturum similiter ac incidit, angulo scilicet aequali Demonstratio. Cum enim angulo inclinationis D E C in prima refroctione respondere debeat angulus Retractus d EF una tertia minor angulo inclinationis DEC : atque hic se ad angulum Re ctum habere, ut 3. ad i. per Coroll x hu)us. Radius igitur D E. vi primae refractionis dirigetur in F Puncto F ducatur ipsi LE C parallela A FI; fiet angulus E FI, scilicet inclita nationis in vitro aequalis ipsi d EF per a'. primi Euclid. Porro dum in
egressu e vitro in aerem ructus angulus Refractus fieri debeat una tertia in 3or, angulusque inclinationis in vitro ad Rc fractum in aere se habere, ut a. ad 3. Angulus itaque KF H aequalis nempe inclinationis angulo E F I in vitro per i s. priini Euclid. Crescens una tertia fiet angulus A G F iterum aequalis angulo incidentiae primae DEC, qui similiter una tertia major erat angulod EF, vel aequali E FI. Itaque anguli A FG dc DEC erunt aequales. R dus igitur D E, obliquo incidens in vitrum quod habet superficies parali Ias, a vitro in aerem smiliter egreditur, quod erat demonstrandum Idem hoc ostendimus sit pra. Fund. i. Syntagm. r. cap. q. prop. s.
Cvinambi Radius quiscunque oblique incidens in vitrum cu)us ambae seperficies, sit ut parallela, post dupli sicin Resi actionem restituitur parallelus: quare pr
scies sint LV inui Lar para Helus t quare pro
ν, iii 1ἡ uno radio sere sumi potest intercedente selum dii rentia, quae tamen simul
radi obli- to minor, quam crassities vitri aut Lentis. Hoc facile ostenditur dum pro
T. - ducto radio GF in M&DE in N patebit fieri angulos alternos M F E, M. itiis pini F E N, adeoque radios GFADE Verc cile parallelos, per 29. primi Euclid.
. . .. Etiam si du* superficies in vitro fuerint concentricae velut in menistis, ε ἡ - quorum cavitas de convexitas ex aequali radio sive semidiametro in radii ficio sunt quiscunque quomodocunque incidens similiter egreditur.
50쪽
In Lentibus quoque plano-con-Veris, aut plano-concavis radii incidentes & per verticem transeuntes Radii ac similiter egrediuntur , aut post dupli- 'z. cem Refractionem remittuntur paral- in Lente leti. Si enim sit Lens plano convexa ABC, de radius E B incidat in veriaticem B, hic radius eodem modo restingetur per Lentem , atque rcfiingeretur, f; incideret in planam superficiem ab contingentem Lentem in puncto B. Similiter fieret, si radius FB incideret in Lentem plano-COncavam ABC: nam ita in puncto B verticis incidet, ac si ad planam stuperficiem aB b incideret i cum deinde M alia plana superficies parallela sequatur, necessario similiter egredi debebit ex hic demonstratis. Atque consi ieratio hu)us necessaria est ad determinandam basim distinctionis, e usque magnitudinem.
Etiam in Lentibus convexo-convexis & compositis quibuslibet Lentibus aliquis radius non longe a vertice in Lentem oblique incidens habet resta tum correspondentem post duplicem Refiactionem sibi parallelum , ideoque egreditur similiter. Nam sumptis duobus aliquibus Radiis C D & F G parallelis ac oblique incidentibus , cum 'inter ipsos infiniti radii cadan erit aliquis, cujus radius, velut hic OI hinc inde a cus aequales vel similes OD & IH abascindet , adeoque constituet refractum OI duobus aliis refractis DE , & GH parallelum. Cum ergo si radius OI ponatur incidens, hoc ca Luminosum stin vitro verb.gr. in centro P, fiant aequales
anguli Res actionis hinc inde M O N , de
LIΚ, cum sit eadem inclinatio, erunt an
guli MOI & OIL aequales, qui cum sint altana, erunt radii MO,&IL paralleli.