장음표시 사용
51쪽
Fundamentum II. ruatbematico-Dioptris .
De praestantiori Lentium con Y Πm e ffectu , quies, imaginum per pluro radios ab objectis antea
dilesimode dispersos post Lento mero in una basi
disinctionis eos Das stormatio. Implices radios hactenus tam parallelos axi quam oblique in
convexas quaslibet Lentes incidentes una cum concursu radio. rum ad axem post ipsas ceu loco principali proposuimus & d monstravimus. Iam plures radios, sive totius objecti radiati nem per conos seu pyramides radiosas in Lentes convexas deductas una cum collectione radiorum refractorum seu aliorum conorum dispositione Post ipsas expendere volumus, ut imaginum per radiosos hosce conos sive pyramides in una basi ordinata collocatos estomiatio , de quae ad cam Pe cinent, pleno intelligi queant.
In Lente plano contera rasi plures inter se parasicli quomodocunquὸ incidentes uniuntur in aliquo puncto ad dilantiam
diametra DE Radiis axi parallelis sive directe in I entem Coia vexo-planam incidentibus patet ex supra demonstratis propos 6. liuius. Porro, quod etiam radii plures inter se quidem paralleli, sed oblique incidentes in Lentem plano convexam post dupliccna retractionem uniantur ad Hi stantiam diametri, jam venit demonstrandum. Sit cnim I cns plano-coH-Vexa ABG, quae primo obvertat planam superisciem A B ad ob ectum :sintque duo radii paralleli CD & EF oblique incidentes in superficiem planam AB. Dico, post lentem uniendos hos radios ad distantiam dia metri G Κ vel aequalis HL. Demonstratio. Cum enim anguli E FB & C D B sint aequales, elici in anguli inclinationis erunt aequales, adeoque iisdem angulis aequalibus etiam in ipsa Lente anguli Refractionum aequales respondebunt, ii iique radii r Dachi DH & F G ex aequo inter se procedent, eruntque paralleli. Comporro tot sint radii refiacti intra Lentem, ut eam totam occupent, aliquis igitur radius ex iisdem productus per Leutis centrum I. transibit. Sit igitur
52쪽
hic radius H D, qui utrinque producatur in I & L. Cum itaque hic sit perpendicularis ad superficiem A G B per Axioma I. silpra ,
irrefractus transbit, ac consequenter in egressu Lentis nullam patietur Retractionem. Conssideretur jam alter radius refractus F G,
& refractio quae sit dum radius F G puncto Gegreditur a vitro in aerem. Erit ergo angulus inclinationis in vitro F G I aequalis alterno G I H: & angulus Resi actus Κ G L, qui debet una tertia creucere & esse sesquialter ipsius F GI vel ei aequalis G IH. Intelligatur lana triangulum I GL. In hoc triangulocum ita sit latus L I ad L G ut sinus anguli L G Κ ad sinum anguli LIG, & ut sinus, ita etiam anguli, cum sint valdὰ acuti: Latus ergo LI erit sesquialierum lateris L G seu L H: cumque HI sit semidiameter, erit H Lduplum illius, & consequenter aequale diametro , quod erat demonstrandum. Sit secundo Lens eadem AB quae obvertat superficiem convexam ad luminos ina, incidantque in eam plures radii, velut EF ac CD inter se paralleli oblique tamen ad axem. Dico fore sinuliter, ut uniantur praedicti radii in aliquo puncto distante post Lentem diametro convexitati S. Demonstratio. Inter radios paralleloth in Lentem inciden- stiati
tes cogitetur unus productus per I centrum convexitatis, sitque hic EFIx; fiet per coroll. . hujus vi primae refractionis, ut quicunque alia radii huic paralleli incidentes in cam superficiem convexam uniantur ad
punctum L nempe distantiam iesquidiametri, ita ut F K sit ses quialtera diametri. Ducatur jam ex V ad superficiem planam A B perpendicularis KN,& ductus ab N radius N O intelligatur reliquis F E & D Cparallelus. Hic ipsie etiam ON vi primae refractionis diligetur ad punctum L : ac quia in Lente radius N M perpendicularis est ad superficiem planam ΑΒ, irrefractus procedit per
M L: aslumpto audem quocunque alio refracto velut FH ostendain vi secundae refracti nis refringendum in L. Du-F 1 catur
53쪽
4 Fundamentum II. Mathematis Dioptricum catur enim radius HL , & ad punctum egressus II ipsi LM perpendis cularis P H eritque angulus inclinationis in Lente F H cui aequalis PH L per is. primi Euclid. &huic PHΚ rursus aequalis H x L per 29. primi Euclid. Porro angulum X H L inclinationis anpulo respondere , esteque semissem PHI , vel eidem aequalis H Κ L, ita demonstro. In triangulo HLΚ ita est situs anguli HKL ad sinum anguli ΚHLut HL ad KL, seu KR sunt enim fere aequales in sed HL est sere duplax L sive KR. Ergo angulus L H L est circiter semissis anguli inclinationis P H R, cui HKL aequalis. Ergo est angulus refractionis ipsi competens. Unde radius
E F H vi secundae retractionis umetur cum radici sibi parallelo in L. Idem ostendam in dato quocunque alio radio. Ergo radii paralleli oblique inc dentes uniuntur post Lentei M in distantia diametri, quoderat Gemonstrati-
Corollarium Lia Lem. Eodem modo sacile ostendi potest in Lente planoe concava cum plana seperficies objecto lucido obvertitur , non tantum radios ini parallelos α- modo cidit Vergere ab uno puncto axis distante a Lente per diametrum; sed etiam alios di re nil quoscunque parallelos divergere ab eodem puncto alli impio irrefracto tra eunte per centrum Lentis. Item cum concavitas objecto obvertitur, simialiter ostendi potest, radios quoscunque parallelos divergere ab eodcm pun- .cto distante a Lente per diametrum. Quod tamen intelligendum de iis, qui angulum valde acutum cum axe principali comprehendunt: si enim vati de oblique incidunt in Lentem, nec fieri potest unio tam exacta, nec praecia in eadem distantia.
Pinieisso. Hinc quoque patet penicillorum sieu radiorum ad eandem objecti pa tempertinentium, de imaginem objecti exprimentium distinebonemque e cientium serinatio. Sed de hoc uberius &melius in sequentibus.
In Lentibus Conmmo conruexis radii paraneli quicunque inter se concurrunt ad aequalem ciuilesci principalis distantiam.
54쪽
SIt Lens convexo conx exa A B, cujus
convexitatis A a B centrum G, SI convexitatis A b B centrum D, axis vero
C E. Quod si incidant in Lentem lianc
quicunque radii, ita iit sint avi parallest , ex silpra demonstratis certum est eos uniri in
puncto aliquo axis post Lentem. Incidant ergo plures radii uater se quidem paralleli, oblique tamen respectu axis C E, uti simi F G & HI. Dico illos concursuros post duplicem restactionem in distantia sociprincipalis, velut hic est b M.
Demonstratio. Cum plurimi radii Demon- incidere pollini paralleli inter se in superficiem convexam Ab B, erit unus absque dubio incidens, qui ita procedat, ut pro ductus transeat per centrum D. Sit igitur hie F G transiens per centrum D , itaque
producatur in L , ut D L sit dupla ipῖu, D G. A puncto L deinde ducatur ad Ccentrum convexitatis A a B recta L C, &puncto I incidat radius H I parallelus radio F G. Certum est vi primae refractionis factae in convexitate Α b B cum G D L per centrum transeat ideoque pro axe principali assimi possit juxta Axioma I. hu)us radio; F G & H I concursuros per propos . hujus in puncto L, ad distantiam scilicet sesquidiametri. Ponatur jam secus principalis hujus Lentis, quod sit in M, ducaturque ex cen- Qtro C arcus M K secans radium L C in puncto k; fiet ut radius H I refringatur quidem ad punctum I , reseactus tamen I Κ cum sit perpendicularis ad superficiem A a 3 ex constructione ab s irres actus tendat in K ; radius vero F G d apuncto d refractus procurrat in K ibique ivitatur cum radio I K. Quod hoc contingat, ita ostendo. Ducatur ex C linea C d Perit angulus P d Daequalis angulo inclinationis G d C in vitro ; adeoque si d K vere sit retractus debebit angulus P d D esse duplus anguli D d Κ, quod sic ostendo. Supponatur radius O e parallelus axi principali C D E; hie vi primae refractionis factae in puncto e dirigetur ad punctum E , ita ut linea b Esit sesquidiameter sive tripla ipsius b D, adeoque aequalis lineae G L. Idemo e refractus ab E in N supponitur vi secundae refiactionis concurrere cum axe in puncto M soco scilicet principali ex suppositione. Quo casu necesis rio angulus inclinationis erit e N C in vitro, cui aequalis QNE; res actionis autem angulus erit E N M, adeoque primus Q N E erit duplus secundi E N M, cum restactio sit facta ex vitro in aerem. Ut autem Q N E
d E N M, ita se habet P d D ad D d Κ, quod ita demonstro.
55쪽
ndum nium II. Mathematico-Dioptricum. Nam in triangulo NC M ita est sinus anguli QN Mad sinum anguli N M C, ut C M ad N C; de in triangulo d C Κ ita est sinus anguli P d Κad sinum anguli d Κ C, sicut Κ C ad .l C. Sunt autem NC & d C aequaleri cum sint semidiametri ejusdem convexitatis per defin. a s. prim. Euclid. Si out etiam C M S: CΚ pariter aequales, cum ejusdem arcus M A aeque semidiametri sint. Igitur ita est sinus anguli QN M ad sinum anguli N MC, sicut sinus ansuli Pu Κ ad sinum anguli dR C. Pari modo ita est sinus anguli N MC ad sinum anguli ENM, ut NEad ME, & snus anguli C s dad sinum anguli Ld L sicut d L ad A L. Sunt autem M E & L L aequales,& N E ac d L sunt etiam proxime aequales, ita ut Ela Lentis crassities dili rentiam aliquam minus computandam invehat. Ergo ita est sinus N MCad sinum anguli EN M, sicut sinus anguli dΚC ad sinum anguli Ud L ιδc ex aequo ita est sinus anguli QN M ad sinum anguli EN M, sicut sinus anguli P dA ad sinum anguli A a L. Ergo radii paralleli quicunque inter
se in lentibus convexo- convexis concurrunt ad aequalem foci principalis distantiam, quod erat demonstrandum.
Similiter demonstrari potest in Lentibus concavo- concavis radios p eois , o rallelos ctiam Oblique incidentes, de axi minime parallelos ita divergere conmis, si post duplicem refractionem in Lente factain, quasi procederent ab eodem ui puncto distante secundum distantiam foci principalis. Idem etiam in Modum obli. ni scis seu concavo-convexis ostendi potest secundum varias convexitatumviri combinationes.
Cum hist conmmae L itis datae locum c curso radiornm bile sub distinctionis cui imo nem per radios delatam pria circὸσ mechanice reperire. DAtam quamcunque Lentem convexam in loco etiam tantum subobscuro obverte parieti albo, aut chartam post cana obtende,Len temque eo usque remove , quousquc imago objecti lucidi oppositi , velut fenestrae valde nitide exprimatur : distantiam dein sc Lentis a charta vel pariete dimetire, haec indicabit locum concursiis, de basin distinctio nis quaesitam. vel Lentem convexam datam oppone solis radiis, eamque eo usqQδremove ab opposito quocunque corpore , donec lucidissimum ali ictoa punctum post se in eodem si abiccto ciso et ; quod ipsi im aliud non est , nisi imago Solis ibidem expressa diciturque ideo sociis, seu punctum com bustionis , quia Solis radii per Lentem transmissi , ibique collccti aptam concipiendi ignis materiam facile selem accendere. Eadem distantia r periri potest de nocte,cum ad lumen candelae remotiori loco collocatae Leris convexa simili modo ante chartam aut farietem album obtinetur, donec flamma cum elychnio quam fieri potest distinctissime ibidem exprimator Unde facile etiam practice colliges, Ac experimento addisces, quae s Equeri tibus corollariis indicantur. . , ' Coroia
56쪽
Lentes quae sint majoris sphaer e segmenta trabent concursum radio-rum, seu basin distinctionis magis distantem, δύ imaginem proiectam ma- ,
sorem sive ampliorem; minoris sphaerae Lentes habent minus distantem con cum aut cursuin cum minore imagine. Majoris siquide in sphaerae Lentes minus obaliquam rccipiunt radiorum ab objecto incidentiam , minoris magis ; hincist plus refringunt, illae minus: quo autem radii minus refringuntur in vitro , hoc rei hius post vitrum exeunt, Λ in sectionein mutuam serius concorrunt, ideoque longius a vitrea Lente communem concursi uri perficiunt, quam qui plus refracti fuerint. Deinde, quod etiam ampliorem M majorem imaginem praebeant, paret experientia : oc ratio a priori cst, quia radiorum concursus est obliquior in s mento ma oris sphaerae, quam minoris, ob incidentiam sic loquendo rcctiorem.
Imago sic expressa valde vivida est, eo quod plurimos radios ejusdem I to pams obiecti transmissos colligat in unum physice punctum, & quo minus ' 'hoc punctum existit, hoc acutius d tersius simulacrum totum evadit. Item disti iusta est imago, quod sinξulae partes alios radios respuant. Magis vero vivida, & distincta est, quae a Minoris, quam quae a Majoris sphaerae Lentibus provenit, tum quia illae breviori distantia , ideoque sortiorum radio
rum Concursiam parant, neca Luminis alterius incursu multum obliterantur;
tum etiam maxime, quod Lentes minoris sphaerae plures gradus convexitatis contineant, sicque etiam radios plures ad idem physice punctum colligant, atque ita pyramides radiosas in vertices acutiores desinentes et rinent.
Concursus hic non aestimatur in indivissibili: nam inprimis experimen- c.,Evicesto id constat, dum mota etiam paulisper Lente vel charta post eam vix radiorum discerna possit , quandonam vivacillima de distinistissima imago chartae op si : Positae adhaereat. Deinde, cum omnis linearum sectio aliquam in rebuς '' physicis habeat laxitatem, ita ut non sit necesse ipsi im seopum in puncto inclinationis centralis mathematice attingere , sed sufficiat sensu saltem a veritate non multum aberrare , adeoque etsi mathematicδ fiat sectio in indi visibili, sensu tamen discerni non potest , aut parum refert. Hoc modo praesens duarum linearum obliqua sectio satis notabilem amplitudinem habet, ut cernere est in lineis AB dc CD, quorum sectio communis sensibiliter spectata
57쪽
s Atindumentum II. Mathematis mio risum.
matice in medio puncto a consistat. Nam tanto spatio mutuam illarum di vergentiam sensus discernere non valet. Igiturcum physice adsensitim comcursum hunc spectemus, in indivisibili eum requirere necesse non est
Lentes qua- Inter Lentes aequales quoad magnitudinem illae minus comburunt , ebiubis. . quae sunt maloris sphaerae segmenta , de longius concursum radiorum essi ' ciunt: quoties enim totidem radii magis aut minus congrcgantur,eo etiam est mnor aut minor intensio caloris ; in aequalibus vero Lentibus quoad magnitudinem cum totidem radii excipiantur, ac porro in maJoris sphaerae Lentibus radii minus uniantur cum latiorem Solis exprimant imaginem minor neceste est, ut intensio caloris sequatur, adeoque hujusmodi Lentes ad comburendum prae minoris sphaericitatis Lentibus sint ineptiores.
Imago quaecunque post Lentes convexas in charta opposta expres, nonnihil convexa est. Patet experientia. Nam in charta planissima post Lentes posita dum mediae partes circa axem nitide exprimuntur,obscurius praesentantur laterales: & contra, dum extremae latcrales vivacius comparent , minus distinguuntur mediae : & ita fieri debere facile potest doduci ac demonstrari per praecedentem. Imago ramen Caetctis paribus qualiscunque per Lentes convexas in opposita charta expressa seinper distinactior& vivacior comparct circa medium, quam Circa partes quovis modo longius ab axe remotas , cum imago circa medium per plures radios minus refractos, ideoque sortiores & ordinatiores deponatur dc exprimatur.
Praecipuum quarumlinet Lentium conmerarum se dum qui es ima oper radios as oberis lucidis trajector, σ mi Lentium refractos certos modo collectos ae in basin quandam communem ordinatos si mauo) genuine explicare. Sic
58쪽
plano-convexa aut mixta, in qua praevalet convexitas , perinde est ἔ sitque opposita situ parallelo objecto lucido DEF. Diaco ad certam distantiam, velut hic signaturin G HI tanquam ad communem ordinatam basin , ut constat ex praecedenti, imaginem obiecti valde dilute M nitide depingendam. Quomodo autem hoc contingat , ita de
Demonstratio. In obiecto visibili lucido Demo DEF, quia quodlibet illius pum tum ex se
emittit sphaeram radiosam , ut patet ex Fund. I. Syntag.3. C I. Item Axiona Is. supra. Si itaquἡ in exemplum allii mantur tria puncta spectabilia D EF non est dubium ex D calliros radios infinitos in totam Lentis ACB convexam superficiem, qui sint Exempli causa , A DA, D C , D B & omnes possibiles intermedii,&sic unicum punctum D ei stam est in totam superficiem convexam ACB. Eodem modo pumitum visibile E radioso silio penicillo E A C B occupat candem superficiem ACB. Similiter quoquὰ pumitum F mittit conum radiosum F A B. Et quia radiationes istae non si in t figmenta phantastica, scd veris limae S natural cs specierum visibilium ex obiecto effusiones sive emanationes : llinc veris .
simum est, quodvis punctum visibilis objecti DEF esse cum alio quovis insit perficie ACB,ς omnia rursius ac singula collecta cum quolibet. Quae res haud dubie simulacrorum visibilium si immani confusionem parit ἔ unde etiam ob omnigenam istam specierum colluviem haec statio prima confiitionis dici meruit, propterea, quod omnium prima sit,quae ab oblecto proce)at& eisiciatur, sicut in ipsis objecto est omnium prima ordinatissimas litio earundem. Pari modo , quia totum obiectum D EF mittit conum vel pyramidem radiosum in quodvis punitium superficiei convexa: ACB, cujus conisiue pyramidis balas sit visa ob ecti superficies DEF, vertex autem quodlibet punishum, uti sunt A vel C vel B superficiei eiusdem ; hinc rursus necesse est totum obiectum D EF convenire in unum punctum A per radios DA, EA, F A, S: quoslibet alios intermedios coni ra)iosi DEFAD. Neque aliter idem totuin objectum D EF assiliet in punctum C radiis DC , EC, FC, & quibuslibet alias intermediis coni radiosi DC FED. Pari ratione idem objectum colligetur in puncto B beneficio coni radiosi DBFED isicque totum objectum a vivet in totam superficiem ACB, M in singulas ejus Partes possibiles adeoque obsectum ita erit totum in tota Lentis superficie, M totum in qualibet ejusdem si aperficiei parte, cum summa, ut dictum, visibilium specierum consussione.
59쪽
so Gundamentum II. Mathematico Dioptritum. Porro cum Lens convexa diaphana A C B sit clensior aere utrinque circumstante , radii quoque ad earn allapsi plerique incidant oblique in ejus superficiem A C B, & intersectione facta post Lentem procurrant ulterius , set, ut post duplicem refractionem per hactenus denion strata ad invicem convergant, ac in certa basi seu statione uniantur. Sic radius D A post Lentem perget ad punctum I, quo etiam radii DC & DB ulterius post iLentem progressi procurrent δί unientur: adeoque totus conus radiosus cum quibuscunque radiis in se conclusis ad punctum I colligetur. Simili modo omnes radii ab E propressi colligentur in H, de omnes radii ab F in Lentem ACB prolapsi ibique dispersi colligentur in G : sicque omnes radiosi singulorum punctorum visibilium penicilli qui suerunt in Lente A C B confusi&per totam Lentem dissipati ejusdem reii actionis beneficio iterum situ ordinatissimo disponentur in unam basin communem cum imagine distinctissisima, quam imitari nullus pictor poterit. Sicut autem liaec tria puncta as. Qsi impia post primam confusionis stationem in Lente A C B ibctam in partes contrarias si immo ordine atque clegantia disponuntur , ita de singulis at- que omnibus aliis intermedi .s inter D & E , ac si de F ratiocinandum est. Totum ergo objectum per Lentem convexam qualemcunque radians in Muna basi communi collectu in ipsius ob ecti imaginem perfectissimam exhibbet, quod erat explicandum.
i malo Imago obiecti in basi distinctionis se depicta inverso de conversi, stri I
' exprimitur, ita ut stiperiora appareant inferiora , &interiora superiora, iii liter dextra repraesententur sinistra , de vicissim.
Foci ad Qtiaecunqtie de coco seu concursu radiorum hactenus sunt demonar, dix de hac basi distinctionis intelligenda sunt; ut quia probavimus radios pa-
μ' tallelos axi in Lente plano-convexa uniri ad distantiam diametri, in con- veXo- convexa aequaliter ad distantiam semidiametri. Hinc objecta ita di sita, ut radii ab iis procedentes paralleli habeantur , imaginem expriment post Lentem plano- convexam ad distantiam diametri; in convexo-convexa aequaliter utrinque, ad distantiam s Mnidiametri, secundum ea quae supra suae demonstrata.
si obiectum fuerit vicinius Lenti, quam ut ejus radii paralleli censean- ltur, basis distinctionis longius recedet a Lente, fietque malor, quia & angulu qui fit in vertice Lentis fit maior, de ei oppositus ad verticem ex alia parte Lentis illi aequalis maior erit; Imago igitur longius recedens vi sub majoriangulo comprehensa major erit.
60쪽
Si objectum Herit ante secum principalem seu basin distinebonis ordinariam, cum radii post Lentem Convergant de concurrant ; haberi po- strii, vi terit imago & quidem diversimode ante duplam distantiam soci, minor ob- nam itilago jecto ac magis ad ipsam Lentem accedens a si objedium fuerit in dupla di ωρος stantia soci a Lente, imago etiam erit in dupla distantia a Lente ipsique objecto aequalis : Si objectum magis accedat, imago recedit fitquc semper ma- or , donec obicctum sit in soco, tunc nullam exprimet imaginciri , cum radii ab eadem oriecti parte prodeuntes suturi sint axi paralleli. Quo vero
objechim vicinius erit Lenti, cum punctum a quo radiat objectum, magis accedat ad I entem a radii etiam magis post Lentem divergent, nec species ullam valebunt imaginem exprimere : Sique obiectum fuerit vicinius Lenti, qua in eius iocus, radii Musdem divergent, minus tamen, quain sinulla intercederet restareo , ideo lite ita procedent,ac si ex loco remotiore Venirent Il oc est, ac si ob e bim estet remotius,&per lineas rectas radiaret.
Ex his sequitur vicis lim,quod si radii ad eandem partem objecti pertinentes Convergant quasi ad formandam aliquam imaginem de iii Lentem incidant , sint tormaturi aliquam imaginem , in minori tamen distantia , quam habuistent, si in Lenten non incidissent; nam per Lentis rcfractionem con
Corolyarium V I. Cum obiectum ponitur loco baseos distinctionis , radiabit & colliget
imaginem a se tra)ectam in loco, quo prius positum fit erat Objectum I cum .a iohum fractio fiat reciproce per casdem lineas, dc per eosdem radios. di
Cum radii post ordinatam communem basin distini bonis ulterius prolabi uitur, iterum digrediuntur ac divergunt, de confunduntur species, nec ordinatam amplius imaginem praesentare poterunt.
Coro arium V I I LSi Luminosum objectum radians per Lentem convexam debitὸ opposi- Lumin tam fuerit divisibile S: simile per totum, ac constitutum in ipso soco Lentis, radios omnes a quibuslibet ob)edii punctis diductos non remittet parallelos quomodo inter se. Quia licet quodlibet punctum obiecti divisibilis radios quidem a ta in se dimissos post Lentem remittat axi ab eodem hoc puncto producto parat telos; non tamen erunt hi radii paralleli alteri axi ab alio purusto divisibilis obiecti producto, ut patet in figura.