장음표시 사용
61쪽
midietur, & summa progressionis habebitur. Exeplum in serie pa- primus numerus additus ad postremum facit v. &quia sex Ioca seriei sunt: α per 6 multiplicemus,& surget 72. quae si dimidientur, fient 36.quae summa est progressionis Exemplum in
serie imparI,I.4. . Io. 13. extremi numeri simul additi facitit 34.&quia in serie sunt quinque loca is in I ducta, creat Io. quae si dimidientur,prodeut 3s. quae summa reperietur uniuerta progressionis.s I v I s experiri an recte summam collegeris, ab uniuersa sum ma per eompendium inuestigata singulos in serie numeros subtrahe.& si nihil erit reliquum, recte collegisti. Quod si quid reliqui
Alia speetes progressionis habetur quam Geometricam voeant, in qua numerorum Iongo ordine dispositoru interualla sunt inaequalia,quando inter numeros serie quadam connexos proportio aliqua reperitur,veluti dupla, tripla,quadrupla , aut ea maior.
de qua in proportionum libro postea dicturi sumus.
E QUADRATI &cubilateribus exquirendis dicturos D praefari primum pauca quaedam nos oportet quis numerus sit quadratus, quis cubus: quo magis de rebus notis praerepta daturi,cuncta intellectu faciliora reddamus. Numerus itaque quadratus est,qui ex unico numeri euiusuis in se ductu costituitur. cuiusmodi numerus est quaternatius, qui ex unico binarii numeri in se ductu procreatur . bina nanque semel in se ducta
producut quatuor. Similiter novenarius numerus quadratus est. nam terna semel in se ducta educunt novem . Itidem Is quadratus est numerus. quippe quaterna in se semel ducta progenerat sexdecim . Ad eundem modum reliqui numeri r I I Iomnes in se semel ducti, quadrati ideo dicu- I I I Itur,quod si divisim per unitates scribantur , I I I I formam quadratam reserant. V N D E qtiemadmodum in corpore continuo quadrati latus appellatur , sie in numeris latus quadrati numerus ille vocatur qui num d lateribus numeri quadrati perficit. quod Arithmetici quadrati radicem non inepte appellant. quod ex eius in se ductu numerus quadratus,velut ex radice quapiam arbor, surgat. Cunus numerus est qui ex numeri cuiusuis semel in se atque iterum in numerum productum multiplicatione componituricu-
62쪽
iusmodi numerus est octonarius. na bina in se semel ducta ereant
4. iterum bina In 4 ducta,creat 3. Similiter 27 numerus est cubus terna enim In se ducta creant s. Iterumque terna in nouem ducta faciunt 27. Itidem 64 numerus est cubus. quippe quaterna in se semel ducta educunt I6:iterumque quaterna in is ducta procreat M. Atque ad eundem modum reliqui numeri omnes semel in se atque iterum in numerum productum multiplicati ,eubi ideo dicuntur, quod si in corporum solidorum formam redigantur ad exemplum cubi, tres dimensiones aequales, nempe Iongitudin . latitudinem, & crassitudinem habere reperientur . Est autem eu-bus corpus solidum sex continens planities quadratas , atque ha-m latera duodecim, quoru quatuor inferna sunt,quatuor superna quatuor ab infernis ad superna pertedunt: angulosque habet octo' videlicet quatuor infernos, quatuor supernos, in quorum singulis terna latera coeunt. Latini tesseram Vocant. quanquam innumeris vocabulo ipso graeco latinitate iam donato magis utuntur, ut cubum Vocent. Cubi Veris latus numerus ille dicitur, qui unum d cubi lateribus inicit: & quadrati in eo contenti lateri aequale est. quod cubi radice satis apposite nuncupant, quemadmodum de quadrati latere iam admonuimus. Quocirca manifestum est,in omni numero cubo numera quadratum haberi: caetem non econuerso reperies in omni quadrato cubum. Unitatem aute Arithmetici & numerum quadratum,& cubum esse volunt. IN huiusmodi Iaterum exquisitione magnum enascetur studio-ias compendium ad Arithmeticam pernoscendam. per hanc enim Ptolemaeus astrorum longe peritissimus, corporum supracanestiu& sphaerarum magnitudines adinvenit, velocitatemque motuum in his deprehendit. Ad haec eius cognitio non modo Astroloetiae discendae, verumetiam Geometriae latopere conducit. t sine hac,
quae in his pulcherrima sunt, intelligi nequeant. TAMIN rerum ordo poscit ut de quadrati latere in. ando prius dicere aggrediamur. Et cum quadrati lateris ex-3 uatio nihil aliud sit, quam numeri alicuius inuentio , qui in seductus vel totum numerum propositum,si quadratus fuerit, pro ducit: vel maximu quadratu in eo contentum,si ipse non sit quadratus inumerum ipsum latus facientem sic inuestigabis. PRINCIPIO numerus quiuis, in quo quadrati radicem inue stigare cupis, punctis supra verticem signetur in locis imparibus:
videlicet primo, tertio , quinto, septimo, nono, & reliquis iti
63쪽
de. Et quia quadrati lateris inuestigatio nihil aliud est quam quae
da diuisionis species: sub numero punctis notato duae lineae parallelae ducendae sunt. inter quas latus ipsum exquirendum ponatur quemadmodum in diuisione praecepimus. quia quot adscripta pucta deprchendes,tot in numero sectionis numeros primarios habebis numeri propositi radicem ostendentes. Dcinde sub extrema ad sinistram nota, puncto loco impari signata,numerus aliquis primarius exquiratur,qui semel in se ductus totum respectu sui loci numerum supra se repositum subductus aboleat: vel saltem quam proxime fieri potest,si totum delere nequit.Huiusmodi autem nu 'merus primarius inuentus inter parallelas inserendus est,atque in se multiplicandus.&postquam numeri procreati facta erit subductio ,reliquum si quod erit,supra notas a quibus fit subtractio, delatas e vestigio, ne rationem conturbςnt, reponatur. Deinde numerus ipse primarius duplicandu ςst , & duplum sub proxima fia ura dexteriori ponendum. Quod si ex duplicatione numerua duabus notis scribedus prodeat:earum prima dextram versus sub proxima figura, quae inter pucto signatas media est,teponi debeti Altera suo ordine sequens ipsam sub ea nota reponatur, sub qua
primarius numerus inuetus est, Iterum deinde alius numerus pri. marius exquirendus est, qui in duplum ductus totum numerum,
qui supra duplum positus est, ita subtractus exhauriat, ut postea etiam in seipsum ductus totum numerum a dextraproximo pucto signatum cum reliquo,si quod crit, absorbeat. Sin totum auferre nequit,ab eo tollat quam plurimum potest. Quod cum peractum erit, totus inter parallelas numerus duplicandus est , duplumque sub proxima figura dextram Versus ita ponendum,Vt primi dupli nota sub ea figura , quae proxime inter puncto signatas media est,uelut ad perpendiculum reponatur,ali Eque post ipsam, suoque quaeque ordine,tendentes in sinistram. Rursus deinde exquirendus est numerus aliquis primarius, qui in duplum ductus totu numerum qui supra duplum situs est, sic lubductus auferat, ut postea etia in seipsum ductus numem a dextra proximo puncto notatum vel totum deleat cum reliquo si quod erit,uel quam prope id fieti potest. Atque ad hunc modum progrediendum est . ad primam usque notam. Quotiescunque auicin post numeri primari, duplicati multiplicationem & subductionem numerum ipsum primatium ducimus in seipsumt semper id sub aliquo puncto fieri debet,statimque e vestigio quicquid inter parallelas in nume-
64쪽
xima inter puncta figura ad dextra reponenda est,caeterieque post eam, suo ordine in sinistram progredientes, quemadmodum iam diximus. Illud quoque diligenter obseruandum est, Quandocunque in quavis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueniri nequit, primu in duplum einde in se ducendus:quin productus maior erit numero supra se locato, ut ab illo subduci non possit: tunc circulus ad numerum inter parallelas ascribendus est, omnibusque notis numeri cuius radice quaerimus, intactis dimissis,deletis tamen sub parallelis dupli notis, progressus in dextram fiet, si nondum peractum est opus. totusque inter parallelas numerus ita duplicetur, ut prima dupli nota circularis sub proxima ad dextra figura, quae inter puncto signatas media est,reponatur: ca teraque post eam suo ordine in sinistram tendentes, ut ante dictu est. Poeacta demum radicis inuestigatione , si nihil reliquum Oit, palam est numerum propositu cuius latus scrutati sumus, quadratum esse. Quod siquid reliquu mansit,non erit quadratus,sed nu. merus inter parallelas radix esse competiσur maximi numeri quadrati in eo contenti. Et quoniam obscura sine exemplis non facile intelligi queunt, exempla nunc adiungamus quae cuncta magis illustrent.
Reliquum Radix Ex quinquagies septies millenis millibus octingentis triginta-
sex millibus,& viginti nouem,radice citiamus. Postquam numeris suo ordine perscriptis ductae erunt parallelae, locaque imparia punctis annotata zsub postremo ad sinistram numero puncto notato numerum aliquem primariu quaeramus, qui in se ductus vel totum numerum supra se notatum, qui est Π, vel quam proxime fieri potest,subductus deleat. is autem erit septenarius . nam 7 in suducta, creant.quae si subducantur a s7,supersunt 8. itaque 7 inter parallelas inserenda sunt . ac post multiplicationem &'subductionem factam deletis notis , 8 supra postremum punctum ma nebunt reliqua'.quae supra verticem notentur. Deinde I inter P
65쪽
rallelas posita duplicemus,& fient i4. quorum 4 sub proxima ad
dextram nota octonaria reponantur, & Vnitas denarium numerudesignans a sinistra sub numero octonario ex priori subductione relicto. Tum iterum inueniendus est numerus aliquis primarius, qui in quatuordecim quae dupla sunt ductus, numerum supra illa positum sic auserat, ut postea in se ductus proximum a dextra numerum puncto notatum cum reliquo, siquod erit, subductus tollat, vel saltem quam prope accedi potest. is autem erit senarius inter parallelas sub proximo puncto inserendus: per quem multiplicata I ,faciat M. quae ab 88 supra se positis subducta relinquiit 4. Deinde sex in se ducta creant 36. quae a 43 supra se notatis exempta,reliqua faciunt 7 supra Verticem numeri ternarii puncto proxime signati notada. Iterii deinde duplicare oportet quicquid in ter parallelas inuenitur. quocirca Is duplicata faciunt Isa. quoruprima nota 2, sub proxima inter puncta figura senaria poneda estu dextra aexteraeque post eam suo ordine a sinistra. Deinde numerus aliquis primarius rursus est quaerendus,qui in totum duplum ductus,numerum supra se positum auserat. Sed quoniam is inue niti nequit, quod numerus duplus Ist maior sit numero supra se Iocato Is, circulus inter parallelas sub proximo ad dextram puncto, ipsi inter parallelas numero addatur,noiaque dupli sub parallelis deleantur. Caeterum notae numeri cuius radicem quaerimus. maneant intactae. Progrediamurque in dextra: & rursus duplicemus totum inter parallelas numerum 76o. ex ea duplicatione sur gent Isao, quorum nota circularis sub proxima ad dextram figura binaria,ponenda est inter pucho signatas media:carteiaque post eam suo qua que ordine. Ac tum numerus aliquis primarius per quiratur:qui in totum duplum ductus numerum supra id locatu, subductus deleatiposteaque in se ductus proximum a dextra numeriim puncto signatum cum reliquo, siquod erit, auferat, vel saltem quam proxime fieri potest: Is autem erit quinarius. s igitur inter parallelas reponentur. per eaque singulae numeri dupli notae seorsum multiplicentur:numerique ex multiplicatione prouenietes subducantur a figuris supra se locatis: quae statim deleantur. Et demum in se ductus numerus ille quinarius subtrahatur a nouenario numero puncto notato:& 4 erunt relicta. Unde satis liquet. quoniam toto opere absoluto adhuc aliquid superest , numerum
primo propositum no fuisse quadratum . nam si quadratus fuisset, nihil mansisset reliquu. Hoc exemplo studiosis quadrati lateris
66쪽
tnuelligandi viari aperuisse suffecerite Alterum plurium notarum oculis spectandum atque animo con*derandu adiungamus, quod facile sine praeeunte quiuis explicabit,
si' u is experiri v sit an vera radix quadrati numeri sit inuenta, radicem ipsam in se multiplicet, & siquid reliqui mansit, numero ex multiplicatione producto addat. quo fiet,ut nisi perpera facta sit inuestigatio,numerus primo propositus redeat. Quod
si alius numerus prodit,opus repetendum est,Vt error corrigatur. Ipsum autem reIiquum aequare aliquando potest quadrati latetis inuenti duplum superare nunqua potest. V uta,si numerus propositus esset 8, radix maximi numeri quadrati in eo contenti erit a. quae in se ducta creant 4.& 4 erunt relicta,quae duplum radicis continent. Nam si s reliqua essent,iam fieret ',quae aliam radicem habent videlicet 3. Itidem si propositus numerus esset Is,quadra ta radix eius esset 3:quae in se ducta faciunt ',& ό reliqua, quae duplicatam radicem capiunt. At si relicta essent 7, prodirent is, quae aliam radicem,nempe 4,ostentant. Similiter si numerus proposi tus esse ν, radix maximi numeri quadrati in eo contenti erit 4; quae in se multiplicata faciunt Is,& 8 relinquuntur quae duplum radicis continent. nam si reliqua essent st,iam fierent as, & surge rei alia radix videlicet s. Atque ad eundem modum deinceps caeteri numeri se habet. quamobrem si in reliquo plus reperias,quam quadrati lateris inuenti duplum, errorem calculi palam est inter uenisse.
67쪽
AM ANTE admonuimus, cubum numerum eum esse' a qui ex numeri cuiusuis scimi in se, atque iterum in numeri m producti.m multiplicatione componitur . cuius latus inuestigaturi: millenariolu loca, punctis supra verticem ad-
scriptis signemus. Ductis deinde sub eo numero parallelis, quem. admodum de quadrato numero fieri praecepimus, sub extremo ad sinistiam millenario numerus aliquis primarius exquiratur,qui semel in se atque iterum in numerum productum multiplicatus ,totum respectu sui loci numerum supra se repositum subductus aboleat, vel saltem quam plurimum potest, si totum auferre nequit. Huiusmodi autem numerus primarius inuentus inter parallelas inseratur, semelque in se atque iterum in numerum productum multiplicetur.& postquam numeri procreati facta erit subductio: reliquum siquod restabit. supra notas a quibus fit subtractio deletas e vestigio,ne rationem conturbent,reponatur. Quantum autem quiuis numerus primarius prius in se & deinde in numerum procreatum multiplicatus producat, nequis diu haesitet, quae sequuntur, ante oculos posita declarabunt. Semel Vnum Semel I
Octona octies. αNomes Novena Nouies Decies Dena Deciex
DEINDE numerus ipse primarius triplicandus est, & eius quod triplum erit prima nota sub proxima figura praeter unam a dextra reponenda est,caeterὰque post ea ,suo quaeque ordine a sinistra. Postea exquiredus est numerus aliquis primarius, qui una cunumero primario prius inuento, nuc pro denario copulando ductus in totu triplum , deinde solus in numem ex multiplicatione procreatum ductus,totum sui loci respectu numerum supra se r
positu cum reliquo, siquod eri subductus deleat.posteaque etiam
68쪽
solus in seipsum cubice, hoc est, prius in se, deinde in productu
multiplicatus,totu numerii a dextra proximo pucho signatu, cum praecedenti reliquo,si quod fuerit,exhauriat.aut si totu auferre nequit,tollat ab eo quam plurimu potest. Quod cu peractum erit,iterum triplicandum est quicquid in numero sectionis inter parallelas continetur:& eius quod ex huiusmodi triplicatione natu erit, prima nota sub proxima praeter V nam figura a dextra reponatur caeterae autem post eam suo quaeque Ordine. Rursusque in uestigandus est numerus aliquis primaritis,qui Vna cum omnibus numeris primariis prius inter parallelas insertis ductus in totum triplu, posteaque sine illis solus in numeru ex multiplicatione natu ductus,quicquid supra triplu numcru repositum est, vel totum ab sorbeat,vel ex eo quam plurimu potest de stat. Dcinde itidem cubice solus in seipsum ductus, totum numem a dextra proximo pu .
cto suppositum cum reliquo, si quod erit modo fieri possit) auserat . atroqui ab eo quam plurimum potest eximat. Post haec denuo . triplicandum est quicquid inter parallelas reperitur, & numerus alius primarius exquirendus , caeteraque usque, in finem operis ad eundcm modum peragenda, quemadmodum iam dictum est. Quod si nihil reliqui minimumcrus,cuius radicem vestigauimus,
cubus erat. At si quid est relictu . numerus no erat cubus. Caeterueruta radix latus est maximi numeri cubici in eo numero cotenti. v BIcvN v E autem in quavis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueniri nequit qui una cu aliis numeris primariis prius inter parallelas insertis in totum triplum ducatur: posteaque solus in numerum procreatum multiplicetur quin numerus productus maior erit numero supra se locato ut ab illo subduci non possio tunc circulus inter parallelas in numerum partitionis inseratur. omnibusque notis numeri, cuius radicem quaerimus intactis dimissis,deletisque sub parallelis tripli notis,si nondum finitum est opus progressus in dextram Ultra proximum numerum puncto signatu fiat. totusque inter parallelas numerus ita triplicetur ut primi tripli nota circularis sub proxima figura praeter unam ultra numeru proximo puncto signatum a dextra reponatur,caeteraeque post ea,suo quaeque ordine tendentes in sinistra. 'Ex EMPLA nunc asseramus quae singula manifestent: atque ex ducenties quinquagies millies millenis millibus , quingenties vicies ter millenis millibus,quingetis octoginta duobus millibus, quadringentis sexaginta quatuor,radicem cubicam eruamus.
69쪽
sTATIM VE postquam numeri suo ordine perscripti, du- ωdque subtus parallelae,& millenariorum sedes punctis erunt signatarisub postremo ad sinistram millenario pucto notato numerus aliquis primarius exquiratur,qui semel in se, & iterum in numerum productum multiplicatus , Vel totum numerum respectu sui loci supra se repositu qui est aso, subductus deleat , vel saltem ex eo qu1m plurimum potest auferat. Is numerus est senarius . nasexies sena sexics , his accumulant. quae si subducas a rso, super insunt M. itaque Γ inter parallelas inserenda sunt. ae post multiplicationem &subductionem deletis notis, 34 pro reliquo sic notanda sunt,ut supra postremum punctum notentur, & 3 ab eorum sinistra . Deinde s inter parallelas posita triplicemus, & su gent i8. quoru 8 sub proxima nota praeter Vna a dextra reponan tur,a sinistra r. Tu investigandus est numerus aliquis primarius. qui una cum numero primario prius inuento pro denario computando ductus in totu triplu,deinde solus in numeru procreatu ductus, totu eius loci respectu numeru supra repositu subtractus sietollat,ut postea etia solus cubice in se ductus vel totu numeru adextra proximo puncto signatum,& reliquii, siquod praecedit, exhauriat,vel salte ex eo quam plurimu potest deleat. Is vero erit 3 quonia nota ternaria locata a dextra senaris,quae ante reposita est, profert 63. quae ducta in i8,ereant Ii . deinde 3 sola ducta in ipsa II ,producunt 3 oz.quae sic subnotanda sunt, ut prima nota subprima tripli figura reponatur, caeterae suo ordine sequentes postea. quam a supra se positis iacta subductione,supersunt so . deinde 3 sola in se cubice ducta faciut 17, quorum I sub numero ternario proximo pucto signato,& 2 ab eoru sinistra statuenda sunt. Horatuc subtractione a supra se locatis notis facta, 76 supersunt. Deinde 63 quae sunt inter parallelas,triplicetur: & surget I89. quoru 9 sub octonaria nota, quae proxima figura praeter una est, reponanes
70쪽
tur,exterae post ea statuantur a sinistra. Rursus inquiredus est nu merus aliquis primarius,qui una cu numeris primariis ante inue tis prius in totu triplu,& postea solus in numeru productu multiplicatus, numeru supra repositum Vel totu subductus auferat, vel quam plurimum ex eo potest. Id autem hoc loco fieri nequaquam potest . na etia si minimus numerus petimarius, hoc est ipsa unitas assumeretur ad 63,ut essent 6 r, eaque in triplu,Videlicet i89 duceretur,& postea sola Vnitas in productu multiplicaretur, surgerent Dyrsy,quae longe transcenderet numerum supra se repositu γόs8. Ita quonia subductio fieri nullo modo potest,circulus inter paralis telas ad numerum sectionis apponatur. Sic omnibus notis numeri cuius radicem quaerimus,intactis dimissis ,deletisque sub parallelis tripli notis . facto ultra proximu punctu in dextra progressu,quicquid inter parallelas est,hoc est 'o,denuo triplicem',& fiet i8sto.
quorum circulii quae prima tripli est nota, sub figura senaria quae
proxima praeter Vna est, ultra proximu numeru puncto notatum signemus:caeterasque post eam suo quanque ordine. Rursus deinde exquiramus numeru aliquem primariu,qui una cum Mo in numerum triplum Iaso ductus,posteaque solus in numerum productum multiplicatus , numeru supra se repositu subductus sic aboleat, ut postea etiam cubice ductus in seipsum, vel totum numerum a dextra proximo puncto signatum cum reliquo,siquod erit, vel quantum ex eo potest,deleat. Is autem est 4.nam 63o4 in triplum numerum,uidelicet 189o ducta,producunt IisI4s . Deinde 4 in ipsum numeru productum multiplicata creant ψyM8 o. quae sunt supra se positis notis praeter postremam omnino aequa-Ies,atque eas subductae delent. Postea 4 in se eubice ducta faciunt M. quae totum quod superest, sic auferunt, ut nihil penitus supersit. Numerum itaque propositum liquet fuisse cubum. E T quoniam in cubi lateris inuestigatione post triplieationem alicuius primarii numeri factam , statim alius numerus primarius quaeredus est,qui Vna cu primario numero prius inuento in totutriplum ducatur, deinde solus in productu, atque iterum solus in se cubice multiplicetur quia numerus ille primatius tam Varie cosyderandus est, primu quid producit,quando pars est maioris numeri .iterum quid solus prosere multiplicatus in productum, rursus quid cubice in se ductus procreare valet paria exercitatos moratur haec cogitatio quisna numerus primarius tot ossicia praestare possit. Quamobre,ut in caeteris omnibus, ita in hac re plurimu