De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

101쪽

non solum multo minus reperibile esse triangulum, triangulo praedicto mam,sed nec etiam aequale.

Notetur tamen quod quamuis in supra dictis, &in infra dicendis , suppositum videatur, angulos B,& C, rectos esse, nihilominus hoc haud est necesse. Nam possunt etiam esse qpomodocumque obliqui. At quando non sunt recis , nequaquam debemus considerare C F ; duplam F E, & B H, tamquam altitudines talium trium t angulorum e sed tamquam latera super basibus in eodem angulo incli

nata ε .

PROPOSITIO XXVIII.

yn eo em sic bemate, si CF , supponatur aequalis dimidia. o. Triangulum G F D, aequabitur triangula, ins. basis c D, disitudo B H.

ETenim quoniam rectangulum EB H, est aequale roctangulo E L h quia tunc. E L, L k, eo sinis aequales . Ergo & duplum rectangulum EB H, nempe rectangulum CB H, erit a quale duplo reactangulo E LΚ; nempe rectangulo sub EL, indu-pl am L B , S rcctangulo sub eadem E L, in B H; nempe rectangulo sub C F, in compositam ex du-

102쪽

νla FE, &erta H. Ergo ut BC, ad CF, sic dupla F Ε, cum ΒΗ, ad RH. Et diuidendo, ut BF, ad FC; nempe ΑΘ, sed DC, ad CG, sic dupla FB, ad B H . Ergo triangulum, cuius basis C D, altitudo ΒΗ, erit aequale triangulo,cuius basis CG, altitudo dupla FE; nempe, ex propos 26. triangulo, cuius hasis DG, altitudo CF; nempe triangu

103쪽

LIBER FRIMUS. 8s .ctum praescripta lege in C ED, aequale. Si ergo

dato triangulo GF D, non maximo, quis iubeat construere aliud squale;ei satisfiet,siciendo Vt DC, ad CG,sic duplam FE,ad BH, ponendam in directu ipsi EB; deinde diuidendo BH, bifariam in Κ,& s ciendo E L, aequalem CF. Nam patet in primis, triangulum GF D, aequari triangulo, cuius basis C D, altitudo B H. Cum enim factum sit Vt D C, ad C G, sic dupla F E, ad B H. Ergo triangulum, cuius bass CD, altitudo B H, erit aequale trian-L a gulo

104쪽

8 DE INFIMTIS PARABOLII ETC. gulo euius basis C G, altitudo dupla F E; nempe, ex dictis-GF D. Patet deinde rectangulum Educ, aequari rectangulo EB H. Etenim rursum, cum factum si ut DC, ad C G; seu ut AB, ad C G; seu ut B F, ad F C, sic dupla F E, seu LB,

ad B H. Ergo componendo, ut BC. ad CF, sed ad E L, sic dupla L B, cum B H, ad B H. Ergo rectangulum CB H, erit aequale rectangulo sub EL, in duplam LB, cum B H. Erg,& dimidium, aequale dimidio; nempe rectangulum EBH, erit aequale rectangulo ELE. .vel ergo EL, est maior LM vel minor ; & secundum, quod est maior, vel minor, diuidatur etiam in alio puncto L, ut rectangula EL Κ, sint aequalia, & EL, Di a qualis C F, adeo Vt habeamus duo puncta F, unum magis, alia3 munus distans a C, & fiat prior constructila,& habebumus t iangulum aequale dato triangulo .e s E

PROPOSITIO XXIX

'oniam enim A E, ED, sunt aequalis. Ergo

triangula A F E, F Ε D, erun2 aequalia is uuare trapetium FD, maius erittriangulo FΑBAdditisque communibus triangulis AEB, C FG. Ergo dub triangula CFG, AEB, cum prapezio

105쪽

PROPOSITIO XXX.

QVoniam enim ED, maior est E A. Ergo

FD, triangulum FED, maius erit triangulo AF E. Ergo trapeadum F D, erit multo maius triangulo p A E. Additis ergo ut prius, triangulis CFG, A EB. Triangula. CED, AER erunt m iura triangulis CFG, Α F B. Quod Sci

Patet ergo ex dictis, quod si data AB, cui CD, sit parallela, & quibus occurrat CB, aliquis iubeat ducere A FG, ut duo triangula C FG, AFB, sine omnium minima, hoc haud praestari a linea cadentesii, A ED, secante C B, bifariami quia haec eo stituit semper triangula maiora triangulis C E D, A EB. Hoc ergo non adimplebitur nisia linea cadente supra A E D . Haec autom nequit esse nisi AF G, ducta tali lege . ut triangulum GF D, sit

106쪽

8s DE INFINITIS PARABOLIS ETC. omnium maximum ducibilium intra triangulum CED, sic, ut latus GF, pertingat ad Α . Ratio autem huius asserti est , quia cum duo triangula CED, A E B, excedant duo triangula CFG, AFReriangulo F G D ; quando excessus erit maximus, nempe ii iangulum GF D, relinquentur triangula CFG, A FB, minima. Sit ergo.

PROPOSITIO XXXI.

Data AB, magnitudine, ον ci ei parallela, quibus occurrat c B. Ducere AFG, mi duo triangula CFG, AF B, sint omnium minima.

Duidatur CB, bifariam in F, & EB, produc tur in H, ut diuisa B H , bifariam in k, rectangulum E B H, sit aequale quartae parti quadrati E K; secetur E h, bifariam in L, & ipsi E I , fiat aequalis C F; & ducatur ΑFG. Dico trianguisla CFG, A F B , esse quaesita . Demonstratio patet ex dictis.

Ut supra innuimus, constructio huius problem tis, non eli totaliter aliena a materia infinitarum parabolarum. Nam cum triangulis CFG, AFB, possimus intelligere circumscribi semiparabolas c iustumque gradus, quarum diametri sint CF, FB, semi-

107쪽

semibases vero CG, AB, quae utique relatae ad alias parabolas eiusdem gradus, erunt ut triangula, ad alia triangula , patet quod semiparabolae circumscriptae minimis triangulis, erunt etiam ipsae minimae. Unde ex dictis patet solui posse hoc Problema, nempe. Datis , quae supra, ducere A FG, ut semiparabolae cuiuscumque gradus, quarum diametri CF, FB, semibases vero CG, AB, sint omnium minimae. Sed Problema de inueniendis dum bus minimis triangulis libet uniuersaliter proponere , nimirum. Inuenire duo triangula spatio dato aequalia, seu, quod idem est , ad spatium datum, proportionem datam habentia. Ex cuius resolutionis progressu , patebunt etiam minima triangula. Pro solutione ergo problematis , procedatur per sequentes propositiones.

PROPOSITIO XXXII.

- Datam rectam ineam sectam bifariam, rusum secaren bifaria rectangulumseus tota, o sub intercepta inter pectiones, fit aequale quarta parti qμ . drati maioris segmenti totius linea. - - --l

A C D E BSe data recta linea AB, secta bifariam in C. Oportet ipsam taliter secare in D, ut rectangulum

108쪽

gg DE INFINITIS PARABOLM ETC. gulum AB, C D, sit aequale quartae parti quadrati A D. Haec propositio est fere eadem cum proposit. 13. Nam si AC, producatur in E, ut diuisa CE hilariam in D, tectangulum ACE, sit aequale mariae parti quadrati A D. Patet etiam re og Ium ΑΒ, CD, aequale rectangulo ACE, esse quartam partem eiusdem quadrati A D.

PROPOSITIO XXXIII.

μ duo quadrata CG, GR adim

109쪽

LIRE R FRIM VS. 3 8 Nampropter similitudinem triangulorum,ut G C, ad CHLMmpe ut quadratum GC, ad rectangulum GCH, sic GB, ad B A; nempe sic quadratum G B, ad rectangulum G B A. Et permutando, &componendo, ut quadrata CG, G B, ad quadratum G B, sic rectangula H CG, GBA, ad rectam gulum G ΒΑ. Et rursum permutando, ut quadra ta C G, G B, ad rectangula H CG, GBA, sic quadratum G B, ad rectangulum GB A; nempe sic GB, ad BA. Et ad consequentium dimidia, ut quadrata CG, G B, ad triangula CGH, AGB, diamidia illorum rectangulorum, sic GB, ad Bh. Quod &c.

PROPOSITIO XXXIV.

; A B, sit data, CD, sit ei parastela, quibus occurrat normaliter c B, quae sit secta bifariam in E, Irre non biseriam i, p, R 'Di res angulum C B, EF, maius sit quarta p/ise quadrati F. Si in EF, Fumatur arbi- itrarie uis Tum G, per quod ducatur AGH, semper

duo triangula ad merticem, erunt maiora rectangulo

OVoniam enim, per hypothesim, rectangulum

CB, EF, maius est quarta parte quadrati CFι Ergo maius erit rectangulo CGF. Ergo &duplum,erit maius duplo ; nempe duplum rectangulum sub CB, in EF, erit maius duplo rectangu-

110쪽

Io CGF. Addito ergo communi duplo rectangulo CBF: duo rectangula CBE, erunt maiora duobus rectangulis. CGF, & duobus rectangulis C B F . Et denuo additis communibus duobus quadratis CG; ergo duo rectangula. si v nempe quadratum CB, cum duobus quadratis C .arunt maiora duobus rectangulis CGF, duobus rectangulis CBF, & duobus quadratis CG; ne aerunt maiora duobus rectangulis BC G, S duobus nectangulis G sp nam duo rectangula CGF, cum duobus quadratis CG, faciunt duo rectangula FCG: duo vero rectangula CBF, diuiduntur in duo