장음표시 사용
111쪽
TIRER PY1MVS. ν duo rectangula CG , FB , & in duo rectangula G B di finiui adem duobus rectangulis F C G,& duobus recte illis BL CG, fiunt duo rectam gula BCGὶ. Miatis Ego hinc I de duobus rectangulis BCG, rigo uti γ' adlatae G C,
quae remanent si a quadiato C d, cum duobus quadratis CG, auferamut uo rectangula BCG erunt maiora duobus qanisulis G BF. Ergo maior erit proportiD quadratorum C G, Gn, ad duplum rectangulum AJ F, propctrtione dupli rectanguli GBF, ad idem Ossum rectangulum A B F; nempe proportione G B ' ad B A. Et ad consequentiun dimidia: Ergo quadrata CG GJ, ad rectangulum ABF, habibunt maiorem proporti nem proportione G d , ant. ut G B, ad ΒΚ, sic iradrata CG, GB,ad triangula CGH, AGB Ergo proporrio qua iratorum: CG, G B, ad rectangulum in B F, malis erit proportione eoru redem quaedratorum, ad cria signia iia linei triangula maiora erunt rectan ulo ABn
Ex quibus eIicitur, quod aliquo iubenta ducere A G H , ut duo triangula ad' verticcm, sint aequalia rectangulo ABF; oportebit B F, ablatam a CB, taliter relinquere C F, ut rect in lumi CB, EF,. a sit maim quarta parte quadrati CP. Imo, e
112쪽
progressu demonstrationis patet, quod si rectangm Ium C B, E F, sit aequale quartae parti quadrati C R& attamen punctum G, non sit bisecans C F, nihilominus duo triangula erunt maiora rectangula ABF. Nam etiam in hoc casu,rectangulum CGF, minus erit rectangilo CB, EP. Vnde sequendo vestigia antecedentis demonstrationis , idem probabitur .
113쪽
Si datis ii em, quae inanti vos rectanguism c B, EF, aquais sit quartae parti quadrati s F, ω CP, sis
secta bifariam in G, O agatur O . D a gula ad merticem, erunt aequabarectangulo A B RNAm, cum rectangulum CGF, aequetur reis ctangulo C B, E F; sequendo vestigia anta propos concludemus tandem,quadrata C G, G B, aequari duplo rectangulo GB F. Ergo haec ad duplum rectangulum ABF, erunt in eadem proporistione . At duo rectangula G B F, sunt ad duo rectangula ABF, Vt G B, ad BA. Ergo quadrata CG, G B, erunt ad duo rectangula ABF, ut G B, ad B A . Et ad consequentium dimidia, quadrata erunt ad rectangulum ABF, ut G B, ad Bh; nempe ex proposit. 33. Vt eadem quadrata , ad trianis gula . Ergo triangula eruiu aequalia rectangulo. Quod &c.
Datis duabus lineis o B, CD, cum CB, it supra. Ducere AGH, mi triangula CGH, AGIR, sint aequaba spatio dato. SPatio dato esto aequale quadratum rectar Q; &fiat ut A B, ad rusic Q, ad aIiam. Haec vel erit
114쪽
erit aequalis dimidiae BC, vel minor, vel maior . Si est arq rilis BG, dimidis BC, dueatur AGH. DLco triingula aequari quadrato Quod est luce
clarius. Nam cum rect ingulum ABG, duplum sit trianguli ABG. Ergo rectangulum ABG; nempe quadratum ruerit aequale triangulis,&c. .. Si vero illa tertia proportionalis sit minor dimidia B C, sit haec B F, minor B E, dimidia B C. Haec autem , vel est adeo minor B E , ut rectangulum C B, EF, maius sit quarta parte quadrati CF: dc tunc, Vt patet ex schol. proposit. 34. problema ninquit construi. Vel rectangulum C B, E R est aequale quartae parti quadrati C F. Et tunc , diuisa C F, bifariam in G, & ducta AGH ό patet ex prop. ant duo triangula aequalia esse rectaugu Io Α Β F; nempe quadrato Q. Velgandem illa tertia, est ad monor, ut rectangulum CB, EF, minus fit quarta partc quadrati C F. Et tunc, super diametro CF, facto semicirculo C M F, & inuenta medra proporrtionali inter CB, L F, erigatur ei a qualis FL, a puncto F, perpendicularis su per CB ; N per pumctum L, ducatur L M, parallela CB, occzτre . periphaeriae in M occurret enim, quia rectδΠgulum CB, EF, nempe quadratum FL, minus est quarta parte quadrati CF; nempe quadrato dimi. diae C FP & a puncto M, cadat M G, pcri et dicu- .laris super C B, ac ducatur AGH. Dico triangu Ia C G H, AGB, esse quaesi ta.
Nauri um rectangulum C. GF, sit aequale qua . drato
115쪽
drato G M; nempe quadrato FL ; nempe rectangulo CB, EP. Ergo ad modum superiorum comcludemus , triangula esse aequalia rectangulo A B F ; nempe quadrato Si vero illa tertia proportionalis sit maior B E. Vel erit aequalis CB, vel minor, vel maior. Si sit aequalis ι inter B C, C E , sit media proportionalis& per G, agatur AGH. Dico triangula adverticem, aequalia esse rectangulo ABCi nempe quadrato Q. Nam, cum quadratum LG,sita qua-lo rectangulo BCE. Ergo etiam duo quadrata GG, erunt aequalia duplo rectangulo B CE 3 neu
116쪽
sε DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
pe quadrato CB. Additoque communi alio quadrato C B. Ergo duo quadrata B V, erunt aequalia quadrato BC, & duobus quadratis CG. Ablati Lque hinc inde duobus rectangulis B CG. Ergo duo rectangula V n G, erunt aequalia duobus quadratis CG, G B. Ergo concludemus ut prius, duo quadrata LG, G B, & duo rectangula si BG, ad duo rectangula Ansi, habere eandem sationem . Sed duo rectangula CBG, sunt ad duo rectangula
ABC, ut G B, ad BA. Ergo quadrata CG, G b, erunt ad duo rectangula A BC, ut G B, ad ΒΑ. Et ad consequentium dimidia: quadrata G, Gy, erunt ad rectangu lum ABC; nempe ad quadratum Q, ut G B, ad ΒΚ, nempe, ex supra dictis, Vt ea dem
117쪽
grava PRIMUS. . e Mdem quadrata, ad triangula. Quare triangula erunt aequvia quadruo si vero illa tertia proportionalis sit minor B C, sit haec BF, quae diuidatur bifariam in O ; erectisque a puncto B, normali BM, aequali mediae proportionali inter CB, medietatem C B, & FE, iunctaque OM, centro O, interuallo OM, describatur semicirculus secans CB, productam in L. Patet B L, minorem esse EB, dimidia totius CB. N Nam
118쪽
Nam cum B M, sit media proportionalis Inter CE, EF, erit minor ipsa CE. Q are ΒΓ, minor BM, erit multo minor C E, si ii EB. Fiat ergo ipsi BL, aequalis E G, S per A, G, agatur. A GH i Dico triangula AGB, C GH, csse quaesitari; i i. Quoniam phim rectangulum N B L, est aequale quadrato BM, &rectangulo N B L, est o ale rerictangulum F LB qui aram N F, B L, quam N F L, sunt aquales . Ergo rectangulum F L Bs nem
119쪽
, LIB E R P R I M VS. sype rectangulum FB L, cum quadrato B L, erit ae quale quadrato v.M. . Sed quadratum B M, ex con 'o ione, est aequale rectangulo C E F ; & rectangulum FB L, cum quadrato B L, est aequale rectaningulo sub Fb, in EG, simul cum quadrato EG
qqia:EG, d b, factae senit aequalec . Ergo rectangulum FZ, E G, cum quadrato EG; erit aequale sectangulo CEF. Omnibu' e quadruplicatis aquatuor rectangula Fn, EG, cum quatuor quadratis EG, erunt aqualia quatuor rectangulis
C l: F ; vcmpe duobus rectang lis sub CB, in E F.
Et communibus additis duobus rectangulis C B E. Ergo quatuor rectangula FB, EG, cum quatuor quadratis EG, & cum duobus rectangulis CB E, erunt aequalia duobus rectangulis CB, EF , Nduobus rectangulis CB E ; nempe erunt aequalia
duobus rectangulis CB F. Hinc inde vero ablatis duobus rectangulis sub FB, in C G. Ergo duo rectangula FBG residuum duorum rectangulorum CBF, erunt aequalia duobus rectangulis FB, EG, quatuor quadratis EG, 8c duobus rectangulis F C E , quae remanent de illis sex rectanguli s, cum quatuor quadratis &c. Nam duo rectangula CBE, seu BCE, diuiduntur in duo rectangula BF, CE, Nin duo rectangula FCL; coniungendo vero simul duo rectangula BF, CE , cum duobus rectangulis FB, EG, fiunt duo rectangula FB, CG. Verum quoniam supra probatum est , rectangulum FB, EG, cum quadiato GE, aequari rectangulo N 1 CEF.
120쪽
roo DE INFINITIS PARARMIS ETC. fCEF. Frgo duo rectangula pB, EG, cum duobus quadratis E G, erunt aequalia duobus rectanis gulis CE s. Ergo duo rectangula FBG, erunt aequalia duobus rectangulis FCE, duobus rectangulis FEC, s nempe duobus quadratis CE &duobus quadratis EG. Sed duo quadrata CE, cum duobus quadratis EG, ex proposit. s. secundi Et ment. aequalia sunt quadratis CG, G B. Ergo duo rc clangula FBG, ei unt aequalia quadratis CG, CB. Bigo haec ad duo reclangula ABF, erunt in eadem ratione. Sed duo rectangula FBG, sunt ad duo rectangula ABF, ut G B, ad A A. Ergo & qu drata CG, G B, erunt ad duo rectangula ABF, ut G B, ad BA. Et ad consequentium dimidia. Et go quadrata crunt ad rectangulum A B F, nempe ad quadratum Q, ut G Bod Bh; nempe ex supra
dictis, ut eademqυ adlata, ad triangula. Eigo tria
gula sent aqualia quadrato, an dem BF, sit maior 3 C; & FC, secetur bifariam in N ; & a puncto C, erigatur normalisCO, ipsi FB, quae sit media proportionalis inter B C, FE, S iungatur NO. Deinde centro N, im teruallo No, describatur semieirculus secans CB, in G s secabit enim semper, ut probabitur in serius in & ducatur AGH. Dico triangula AGB, C GH, eiic quaesita.
Quoniam enim L F, arquatur C G, ergo rectangulum LC G, aequatur rcctangulo FG C. Sedrmciangulum L CG, est etiam aequale quadrato o