장음표시 사용
91쪽
τo.DE INFINITIS PARABOLIS Erc.
dratocubum B F. Et sic in infinitum . . Quoniam enim ex proposit, ant. est CA, ad A nempe triangulum CBA, ad triangulum DB A, ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad similem potestatem B F. Ergo per conuersionem rationis, & conuertendo , erit triangulum C B D, ad triangulum C β A, ut excessus potestatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, ad potestatem BA. Et ducendo hos terminos in quadratum BA, erit C B D, ad C B A, ut factum sub excessu potestatis AB, uno gradu in serioris potestate trilinei,sepra similem potestatem B F, in quadratum BA, ad fictum, sub potestate BA, uno gradu inferiore potestate trilinei in quadratum B A 3 nempe ad potestatem B A, uno gradu superiorem potestate trilinei. At triangulum CBA, est ad excessum ipsius supra trilianeum, nempe ad spatium Contentum a recta, & curua C B, ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerum trilinei unitate minutum, ex schol io primo, proposit. prima ; nempe ut potestas AB, Uno gradu s i perior potestate trilinei, ad tales sit partes, quae se
habeant ad ipsam,'numerus trilinei unitate min tus, ad numerum trilinei unitate amaum. Ergo exaequali, erit triangulum CBD, ad spatium contentum a recta, & curua C B, ut factum sub excessu ρο- restatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei supra similem potestatem B F, in quadratum BA,ad tales partes potestatis ΘΒ, uno gradu superioris pol
92쪽
71 potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate auctum. Rursum spatium comprehensum a
recta, & curua C B, est ad spatium comprehensum a recta, & curua B E, ut potestas AB, uno gradu superior potestate trilinei, ad similem potestatem BR ex scholio primo, proposit. 3, nempe ut tales partes prae d ictae potestatis ΑΒ, quae se habeant ad ipsa ut numerus trilinei unitate minutus ad numerum tritunei unitate auctum, ad similes partes potestatis 3 F. Ergo per conuersionem rationis,erit spatium com- rehensum a recta, & curua CB, ad excessum ip- ius supra spatium comprehensum a recta, & curua E 3 , ut tales partes potestatis Ad , uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam potestatem Ad, ut numerus trilinei unitate minutus,adnumerum trilinei unitate auctum, ad excessum ipsa-Tum
93쪽
rum supra tales parteS potestatis BF, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam,
ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate auctum. Ergo rursum ex aequali, erit
triangulum CBD, ad spatium comprehensum a recti. C B, B E, & a curua C E , ut factum sub excessu potellatis AB, Uno gradu depraestioris po. te state trilinei , supra similem potestatem BF, in quadratum BA, ad excelsum talium partium potestatis AK, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habebat ad ipsi , ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate auctum,supra similes partes potestatis similis BF; nempe ad talem partem excessiis potellatis piaedictae AB, supra similem potestatem B F, quae se habeant ad ipsum
ex cu stum, ut numerus trilinei unitate minutus, adnumerum trilinei unitate auctum. Quod ostendere Oportebat.
Sed in trilineis quadratico, & cubico, licet comispendiosiorem rationem, ex dictis, deducere . In trilineo enim quadratico, p ssumus deducere, triangulum CBD se esse ad praedictum spatium, ut quadratum AB, ad recta lagulum ABF , cum tertia parte quadrati F A. Nam cum sit, ut factum sub A F. in quadratum BA, ad tertiam partem excepsus cubi AB.supra cubum BF ; nempe pd ter-
94쪽
i, LIBER PRIMUS. 73 etiam partem cubi AF, una iam tacto sub AF, in
quadratum. BF, cum facto sub A F, in rectangu. tum AE B. cuhus enim Ast, ut ostenditur a multis, sed praecipue a Caualerio 2. Gem. Ind. prop. 38.
aequatur cubis partium AF, PB, tribus factis sub A.F, in quadratum B F, & tribus factis sub BF. in quadratum .AF, nempe tribus factis sub AF, in rectangulum AFB,ὶ & cum in omnibus talibus solidis, sit communesatus A F. Erit triangulum CBD, ad praediimim spatium, ut quadratum A B, ad rectangulum AFB, cum quadrato BFt nempe ad rectangulum AB F cum tertia parte quadra
95쪽
DE INFINITIS PARABOLIS ETC.& in duo i ectangula BFo statibus enim planis,quadratum AB, excedit quadratum BFδ ad duo qua ta , nempe ad dimidium excessiis quadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F; nempe ad dimidium factorum sub quadratis BA, B F, in eadem Plana ; nempe ut quadratum B Λ, ad dimidium quadratorum AB, BFs nempe ad rectangulum ABF, cum dimidio quadrati AF. Ergo patet propositum . Forsitana etiam in alijs trilineis praedictae potestates poterunt aliqualiter deprimi, S hoc pro certo scimus. Moduni autem depraessi nis lector proprio Marte ad inueniat;nobis enim sufficit superiora indicasse. ' .'
Paucis ab hinc diebus , cum illustrissimus, ac Reuerendissimus Dominus Gregorius Barbadicus Pa tritius Venetus, Bergomique Antistes, Venetias pe-lijsset ; accidit , rei benignitate huius praestantissimi praesulis, in quo propemodum impossibile videtur statui posse quid magis emicet, Sanguinis claritas, Eruditio, Pietasue actionum, fuerit permissum, oui suaui consuetudine , doctrinaque Perillustris Cosmae Galilai, celeberrimi Galilei nepotis. Ab hoc, interfamiliares discursus, excitati fuimus, incumbere solutioni cuiusdam problematis, cuius constructio, quanauis imposterum dicendis , videatur parum, aut nilis inseruire ἱ . ait en non videtur
96쪽
aliena infinitarum parabolarum a materia , quam prae manibus habemus. ει blema suo loco propo- .netur, interea conscribemiis p positiones, quas ad illius solutionem conducere arbitIamur. i . 'ι
tam rectam lineam taliter producere, mi rectangulum Db data, o sub producta, sit aequale quartae parti quadrati lineae datae, assumentis si
Esto data recta linea AB. Oportet ipsam tali- Τ iter producere in H,. ut ricctangulum A si H, sit aequale q uarix parti q iadrati AG diuisa B H, bifariam in G. Fiat CB, sextupla AB; & per ea fiat semicirculiis ; ac a puncto B, erigatur normalis BD, aequalis BAs & per D, ducatur DE, parallela CB, occurrens periphaeriae in E;k 1 di-
97쪽
τε DE INFINITIS ABois gre. dimis ue perpendiculari EF, fiat BG, aequalis
BF, cuius naidupla BH. Dico ΒΗ, esse qua 1 - tam . Nam rectangulum CFs, en aequale quadrato EF ; nempe quadrato D v 3 nempe quadrato AB. Quare addito communi quadrato FBε rectangulum CF B, cum quadrato PB; nempe rectangulum C BF; nempe rectangulum C BG; nempe sextuplum rectangulum Ab G, erit aequale quadratis o B, BG. Rursumque additis communibus duobus rectangulis ABG. Ergo ociu-plum rectangulum ABG, erit aequale quadratis HB, BG, & duobus rectangulis o BG; nempe quadrato A G. Quare, & illorum quartae partes, nempe duo rectangula G ; hoc est unicum rectangulum 'BH. erit quarta pars quadrati 'G. Producta est ergo,&c. Quod,&c.
98쪽
Ergo rectangulum sub extremis , nempe subdupla E F, & sub G C, erit aequale rectangulo sub medijs inempe sub DG, &sub CF. Ergo & triangula horum dimidia, erunt aequalia; nempe triangulum, cuius basis CG, altitudo dupla FL, erita quale triangdio , cuius basis DG , ahitudo C F.
99쪽
yn eodem si bemate, producta EB, in H, se, qui diu aBH, bigariam in K, rectangulum EB H, sit quarta pars quadrati E K. ympossibile ect inter L D, reperire punctum G, mi ams GFM, F D, triangulum
GF D, maius sit triangulo , basis CD, altitudo B H.
Fiat ergo si est possibile ; & sit hoc triangulum
GFD; &ipsi CF, fiat aequalis E L. Ergo reliqua LB, erit aequalis reliquae FE. Quoniam, ex hypothesi, triangulum GF D, cuius basis GI , altitudo C P, maius est triangulo, cuius basis C D, altitudo B H; & ex proposit. ant. triangulo , cuiuS basis DG, altitudo CF est aequale triangulum, cuius basis CG, altitudo dupla FE. Ergo triangulum, cuius basis CG, altitudo dupla FE, erit maius triangulo, cuius basis C D, altitudo B H. Ergo maior erit proportio duplae FE, ad B, , proportione DC, ad CG; nempe proportione AB, ad C Gue nempe propoitione BF, ad FC . Qgaredi componendo, maior emi proportio duplae FE, 1 sed duplar II Bὶ cum B H, ad B H, proportiono aBC, ad C F. Quare rectangulum sub extremis, maius erit rectangulo sub inedijs . Rectangulum , 'ergo sub CF, seu sub ei a quali, E L, & sub con posita ex dupla L B, cum B H, maius erit rectan-
100쪽
I. Hgulo C B Η, Quare & dimidiu natus eritdimidio. Ergo rectangulum ELΚ , maius erit rectangulo E B H. Quod est contra hypothesim . inia supponitur, rectangulum E B Η, aequale esse quartae parti quadrati EE; hoc est maximo rectangulorum ex partibus E L. Quare patet propositum.