장음표시 사용
71쪽
, so DE INFINITIS PARABOLIS ETCtam ,sic excessus primae supra secundam, ad sui subri
quialteram , cum tertia parte fecμndae.
C D E BSint quatuor magnitudines AB, BC, BD,
B E, continue proportionales. Dico ut A C, cum dupla CD, & cum D F, ad subsesquialteram AB, BC, cum tertia parte CE, sic AC, ad sui subsesquialteram, cum tertia parte CB. Quo niam enim ex proposit. 7. etiam tres AC, CD, D E , sunt continue proportionales , & in eadem proportione cum AB, BC, &c. Ergo& ut AC,
CD, DE, smul; nempe A E, ad mediam ipsarum CD, sic tres simul C B, D B, B E, ad D B;
nempe sic tertia pars CB, DB, BE, ad tertiam partem DB. Sed & ut A Ε, ad CD, sic duae tertiae partcs A E, ad duas tertias partes C D. Ergo ut A Ε, ad CD, sic sunt tam duae tertiae partes AE, ad duas tertias CD, quam tertia pars CB,BD, BE, adteitiam partem DB . Quare cum magnitudines sint continue proportionales, erit ut A li, ad C D, sic duo tertia A E, cum tertia parte CB, DB, BE, ad duo tertia CD, cum tertia parte Db. Et com Ponendo, erit ut A Ε, cum C D, ad C D, sic duo tertia A E, CD, cum tertia parte. CB, BE, &cum duobus tertijs D B, ad duo tertia CD, cum tertia parte DB. Et permutando, ut AE,cum CD,
72쪽
N: LIBER P RIMUS. scad duo tertia A E, cum duobus tertijs CD, DB; nempe cum duobus tertiis CB, &cu in tertia parte CB, B E, sic C D, ad suo tertia C D, cum ter- alia parte D B . lSed ut C D, ad duo tertia C D, cum tertia parte lD B sic AC, ad duo tergia AC, cum tertia partes CB. Ergo M ut AC, ba duo tertia AC, cum tertia parte CB, se AE. cum C D, ad duo tertia A E, C B, cum tertia parte CB, EB. At Α Ε, cum CD, est A C, cum dupla CD, & cum DE: pariter duo tertia 'E, CB, cum tertia parte CB, B ε, faciunt duo tertia AB, BC, cum tertia parte CE; nam tertia pars CB, B E, faciunt duo tertia 'E, cum tertia parte C Ε,& duo tertia A E, E B, faciunt duo tertia ΑΒ.
Si in quacumque parabola sit ducta parastela diametro . Erit parastelogrammum contentum sub ducta, oesubbasi maioris portionis, ad ipsam maiorem portionem, me excessus basis portionis sipra duas murmas minores proportiunales , si proportio basis semiparabolae, ad imtere tam inter diametrum, in parastelam, continuetur in tot terminos , mi numerus eorum excedat numerum parabolae binario, acceptus se , undum numerum p rabola mn:tute auctum, ad tot bastes pradicta portionis, quotus en numerus parabola, mna cum excessu intem C A cepta
73쪽
cepta inser Hamstrum, reparallida , sepra, Arimam minorem proportionalem.
IN parabola ABD, ducatur H h, diametro
EF, parallela ; & compleatur parallelogram-mum L Κ; ratioque AF, ad Fh, continuetur
in Iot terminos , ut numerus corum excedat numerum parabolae binario; sintque ultimi minimi teris mini M, in Dico LΚ, esse ad AEHk, ut e cessus AF, supra M, & FK, supra Q, accepti secundum numerum parabolae unitate auctum, ad Α k, acceptam secundum numerum parabolae, una cum excessu Fh, supra Quoniam enim, ex natura parabolae, est ri G, ad GH, sic pote stas DF, congruens parabolae, ad si-
74쪽
gIBER PRIMUS. s 3 ad similem potestatem Fh; nempe sic DF, seu AF, ad M. Evio per conuersionem Tationis,&conuertendo, erit kH, ad kG, ut excessus AF, sipra M, ad A P. Cum autem fit ut excessus Α F, supra M, ad A F, sic excessus F k, supra P, ad Fh. Ergo erit permutando, AF, ad Fh, ut excessus AF, supra M, ad excessum FK, supra Et conuertendo, & componendo, ut E A, ad A F, si excessius h Α, supra in & a xcessum AF, supra M. Et rursum permutando , ει conuertendo, Vt excetas AF, uipra M, ad AF, sic excessus A k, supra M, Ποῦ ad Ah. sed ut excessus A F, supra M, ad A F, sic probatum Est enh H, ad kG; nempe parallelogrammum L , ad
Bh. Ergo ut L K, ad Bh, sic excessu, A . supra M, ad AK; nempe sic talis excessus acceptus secundum numerum parabolae unitate auctum, ad tot numero Ak. Verum ex propos 3 3. BK, est ad portionem AEHk, ut A k, accepta secundum numerum parabolae unitate auctam,ad eandem acceptam secundum numerum parabolae' una Cum excessu Fλ, supra Q Ergo exaequali, erit L , ad portionem A E H K, ut excessus Ah, ispia M. Sacceptus secundum numerum parabolis Unitate ali ctum, ad A Κ, acceptam secundum numerum p rabolae, una cum excissa F sostra Q. Quod erat ostendendu M.
75쪽
In parabola ergo quadratica, in qua proportionales AF, F, , M, & sunt tantum quatuor, erit L h, ad portionem, ut excessus triplus A , , suis pra M, & in ad duplam Ak, cum excessu F supra nempe subtriplando terminos , ut talis excessus una vice sumptus, ad subsesquialteram A K, cum tertia parte excessus F K, supra Vorum excessus A Κ, supra M, & Q, est excessus AF, supra FΚ, duplus excessus FS, supra M,&excessus M, supra Q; quia A F, excedit M, excessu A F, supra FK, & FK, supra Mό FK, vero excedit Q, excessu
76쪽
LIBAR CPRIMUS. 3 se excessu ipsius supra M, & M, supra Frgo erit L K, ad AE HK, ut excessus primae A F, supra secundam FK, cum duplo excessu secundae FK, supra tertiam M, una cum excessu tertiae M, supra quartam Q, ad subsesquialteram AKs nempe compositae ex prima,& secunda, Una cum tertia pariste excessu secundae FK, supra quartam Sed ex propositione antecedente, ostensum est esse in eadem ratione,excessum priae ae A F, seu F D, supra F K, secundam,nempe D, ad sui subsesquialteram, cum tertia parte F K, secundar ; nempe ad dimidiam D S , cum sexta parte A X: quia duae tertiae partes D K, nempe quatuor sextae partes D K , faciunt dumidiam D X, cum sexta parte eiusdem; & tertia pars F N , est idem, ac sexta pals duplae v K r sexta ergo pars duplae KF, cum sexta parte X D, faciunt sextam partem AK. Ergo LK, erit ad AF HK, ut D X , ad sui dimidiam, cum sexta parte A K . Verum cum in scholio propos as . ostensum sit,quod si portioni HKD, circumscribatur parallelograminum, hoc erit, ad portionem, ut AK, ad dimidiam A cum sexta parte KD . Ergo ex istis potest deduci haec regula generalis. Nimirum; Quod si parabola quadratica secetur linea diametro parallela, secante ipsam in duas portiones: erit parallelogrammum sub parallela ducta, & subbasi unius portionis, ad illam portionem, ut basis reliquae portionis, adsui idimidiam, una cum sexta parte basis portionis. PR
77쪽
' D quabbes semiparabola secetur duabus oneis diametro p rastelis ι ην segmento ιntermedio ab illis contento, circumscribatur parallelogrammum. Hoc erit ad dictum segmentum a se inclusum, it tot excessus basis semip rabolae , quotus est numerus ipsius clunitate auritus, supra mitimam minimam proportionalem ; quarum numerus excedat numerum parabola initate, r quo rum maXι- ma sit basis semiparabolae s secunda intercepta ιnter H metrum, , paratulam proximiorem, iaco eqAem p pos. 11; nem' ad excessum tot basium semiparabola, quatus en numerus i ias initare auctus, supra toen mero continue propartionalium, in ratione intercepta imter diametrum, θιν parallelam remotiorem, ad ιnterceptam inter diametrum, ς' parallelam proxιmorem,qua ruor maxima sit ultima minor proponionalium, in σι ηι basis si 'rabolae , ad lyterceptam inter diametrum νω paradelam remonorem ri , quarum numerus excedat
SEmi parabola ABD, secetur duabus lineia ON, EG, AB, diametro parallelis; & ὰν
mento OEGN, circum scri batur parallelogramnium N P; ratio autem D B, ad B N, continuetur in tot termino&, ut numerus eo ma excedat unitate numerum parabolae; sique ultimus minimus terminus R. Eodem modo continuetur ratio DB, ad BG; sitque
78쪽
li, ad Η; quae ratio continuetur in L,& caeteros tot terminos , Ut numerus eorum excedat numerum parabolae unitate. Dico NP, esse ad OEGN, ut tot excessus DB, supra R, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum tot D B, quotus est numerus parabolae unitate auctus , supra k , Η , & caeteras tot proportionales, quot sunt ipsa'.
Producantur NO, GP, vsique ad M, & F. Quoniam enim, ut NM, ad Mo, sic potestasCA, seu DB , eiusdem gradus cum parabola, H ad
79쪽
, 8 DE INFINITIS PARABOLIS Rr c. ad similem potestatem MA, seu BN; nempe ut
DB, ad R. Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo,ςrit ON, ad NMs nempe parallelogrammum Nn ad N F,ut excessus BD, supra R, ad BD; nempe ut tot tales excessus , quotus est numerus parabolae unitate ain tus, ad tot numero D B. At ex propos. I a. est ' N F, ad segnemum OEGN, ut tot DB, quotus est numerus para bolae unitate auctus , ad excessum ipsarum supra Κ, H, & cateras tot porportionales, quot sunt ipsae. Ergo ex aequali, erit OG, ad OEG N, ut tot excessus BD, supra R , quotus est numerus
80쪽
LIBER PRIMUS. sparabolae unitate auctus,ad excessum tot DB, quot sunt ipsi,supra Κ, H, & caeteras tot numero propo tionales. Quod erat ostendendum.
In parabola ergo quadratica , erit NP , ad OEG N, ut triplus excessiis DB, supra R, quae sit tertia minor proportionalis ipsarum DB, B ad excessum triplae D B; supra tres E, H, L.
S quaecumque semiparabola secetur tinea diametro paraLlela, per punnum lineae parabobca bι Iecatur , oris dinatim applieetur linea ad diametrum, adeo mi sese mentum ad diametrum , secetur in parallelogrammum, ην semiparabolam ad terticem . I rit parastelogram-mum ad semiparabolam ad everticem, it tot disseremtia inter diametros semiparaboiarum, quius e B num rus parabolae initate auctus , ad tot diametros femi-- parabolae ad merticem , quotus es numerus parabola a
SEmiparabola ABD, secetur ON, diametro
AB, parallela; & ordinatim applicetur OP. Erit parallelogrammum PN, ad semiparabolam P Ao, ut tot BP, quotus est numerus parabolae unitate auctra , ad tot AP, quotus est numerus iri a Para