De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

121쪽

quod factum est aequale rectangulo sub P Ε, in C B. Ergo rectangulum F G C, erit aequale tectangulo F E, C d. Duplumque erit aequale duplo. Et communi addito duplo rectangulo C B E. Ergo duplum rectangulum FG C, cum duplo rectangulo CBE, Crunt aequalia duobus rectangulis CB, F E,& du bus C B E, nempe erunt aequalia duobus rectangulis FB C. Et hinc inde abIatis duobus rectan Iis FB, C G. Ergo residuum duorum rectangulorum FG aeduorum rectangulorum CB E, seu q'adrati CB,

122쪽

ioA DE INFINITIS PARABOLIS ETC. aequalis praedictis duobus recrangulis CB E, ablatis ab his planis praedictis duobus rectangulos FB, CG,

erit aequale duobus rectangulis FBG, quae rem nent si a duobus rectanguli S FBC, aufi rantur praedicta duo rectangula FB, CG . Sed residuum duorum rectangulorum FG C, & quadrati CB, ab ipsis demptis duobus pria ictis rectangulis sunt qua, drata CG, G B. Nam qua diatum BC, aequatur duobus quadrat s BG, GC, S duobus rectangu IJS BUC, quaeda orec angula coniuncta cum duobuS

123쪽

reetangulis FG C, faciunt praedicta duo rectanguisla FB, CG, auferenda. Erm duo rectangula FBG, erunt aequalia quadratis CG, G B. Ergo haec ad

duo rectangula ABF, erunt in eadem ratione. In reliquis sequantur praecedentes demon strationes,& eodem modo concludemus triangula ad verticem aequari quadrato Quare in omnibus casibus constructa sunt triangula aequalia' quadrato Q. Quod erat faciendum. Quod vero assumptum est, nempe semicirculum semper secare C B, in G, se ii quod idem est, NO, minorem esse N B, patet: quia quadratum N O, seu quadrata NC, CO, seu quadratum N C,cum rcctangulo FE, C β, minora sunt quadrato Nd. Nam rectangulum FE, CG, diuiditur in rectangulum NE, Cη, & in rectangulum F M, Cη , deus, C 3. Patet autem quadratum N V, cum rectangulis N C N E, C η , minora esse quadrato N B.

SCHOLI V M L

. Ex dictis ergo licuit animaduertere, semper duo triangula ad verticem aequalia probata esse rectan-'gulo seb A B, in Bue quae B F, est tertia proporti natis ipsarum AB, & Q; quae cum augeatur ad. augmentum dati quadrati Q, . quod postea augeri potest in in finit in s patet etiam duo triangula ad vel ricem augeri posse in infinitum , adeo ut numinquam deueniatur ad maxima. Secus dicendum est de

124쪽

de minimis. Nam comvisum sit, quod si h F, si

adeo minor B E, dim dia Cy, ut rectangulum C , EF. maius sit quarta parte quadrati CV, prodiem' nequeat construi ; S tunc selum sit construibile, ouando ηF, est taliter minor RE, ' ut rectangulum Cy, BP, sit quarta pars quadrati CF, patet triangula sic inuenta esse omnium minima. ia quiS erg iubeat inuenire minima triangula, ei satinacleinus e Diuisa CR, bifariam in F, rursum talumἰ secetur in F, inter E, η, Vr rectangulum .', Eq, sit quarta pars quadrati CF, diuuaqvie ses

125쪽

LIBER FRIMVS. r 3 bifariam in G, ducatur AGH. Haec constituet triangula Hinima. 'Aduertatur autem, quod licet suppositum sit angulos c, B, rectos este, nihilominus si etiam sint utcumque obliqui, habebimus intentum, ducendo perpendicularem inter C D, AB, &citca ipsam operando, ut factum est supra; postea CB, obliquam secando proportionaliter in G, sicuti fuerit diuisa normalis in simile puncto . Duqendo enim eodem modo A G H, habebimus intentum.

Ut visum est in scholio antecedenti, duo mangula ad verticem possunt quidem augeri in infinitum, sed non in infinitum minui, quia tandem deinuenitur ad triangula minima. Licet tamen notare

accidens quodam non spernendum , quod in talibus triangulis reperitur. Et est, quod si CB, sitisscta bifariam in E, & sit ducta AED, utique triangula CED, A E B, slint minora triangulorum

Omnium, quae constituerentur a linea secante EB,& sunt maiora omnium constitutorum a linea seis cante CE. At non eodem modo sunt maiora, &minora: nam quo magis linea secans EB, appropinquatur puncto B, eo magis triangula CED, A EB, sunt illis triangulis minora et non vero eo fiunt maiora triangulis superioribus , quo magis

linea secans CE, appropinquatur puncto C; sedo dum

126쪽

ιos DE INFINITIS PARABOLIS ET C.

dum linea secans CE, discedit ab AED, semper duo triangula decrescunt, usquedum deueniatur ad duo minima CGH, AGB, s supponend. ipsa minima esse) progrediendo autem Versus C, rurium triangula crescunt utque dum perueniatus ad punctum C, ubi triangula degenerant in tri Ugulum ACB, quod utique est aequale triangtilis AEB, CED; quia cum triangula CEL , ME, Propter aequalitatem ipsa tum A E, ED, sinz a qualia, ergo totum triangulum ACB, orit sequale triangulis CED , A E B . Patet ergo, quod spCE, intelligatur scdiuisa in F, ut transiriuue lunea per A, F, conitituantur triangula omnium minimma,&diuidatur linea AGH, secante FB, iquod

etiam

127쪽

LIBER PRIMITS. .ao etiam potest diuidi linea A Κ L, secante CF, viduo triangula Ch L, AkB, sint aequalia triangulis CGH, AGB. Quod utique fiet, si ducta Go,

cum triangulum H GD, non sit omnium maximum ex schol. proposit. 28. inueniatur triang i-lum LUD, ei aequale. Nam triangula CKL, AkB, erunt aequalia triangulis CGH, AGB. Ratio est, quia duo triangula C F , AER, D-perant duo triangula CGH, AGB, quantitate trianguli H GD: & pariter supera ne reiangula CKL, ΑΚΒ, quantitate litanguli Lkρος cum ergo excessus, ex constructione, nempe triangula LΚD, H GD, sint aequales. Ergo etiam reliqua

triangula erunt aequalia. -

Explicauimus diligentest saperior., quia ex ipsis dependet solutio Problematis non spernendi. Pr hiema autem tale est. Datis omnibus, quae supra ,& ducta AGH; ducere A k L , ut trapezium kGH L, si aequale triangulo ΚAG. Etenim Disctis omnibus, quae supra, cum triangula C GH, AGB, sint aequalia triangulis CkL, AEB; ablatis communibus triangulis CkL, AGB. ENgo reliquum trapezium k, G H L, erit aequale triangulo AEG.

SCHOLIUM III

sed tandem ut huic probIemati finem impon mus, & simul cum ipso, etiam primo libro infinita- , O a. Γum

128쪽

ro8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. rum parabolarum, applicentur etiam praedicta nostro instituto. Nempe datis ut supra, ducere AGH, ut quaecumque semiparabolae , quarum diametri CG, G B, bases CH, AB, sint dato spatio aequaqles. Nam si fiat ut numerus parabolae, ad dimidium numeri parabolae cum dimidia unitate, hic spatium datum, ad aliud: si huic inueniantur triangula a qualia modo praedicto, quibus intelligantur circumscriptae semiparabolae ; hae erunt aequales spatio dato . Si vero triangula non sint reperibilia, nec etiam erunt reperibiles semiparabolla. V ;

Explicit Liber Primus.

129쪽

DE INFINITIS

PARABOLIS, ETCLIBER SECUNDUS.

cuti libro se periori explicatae suere infinitae parabolae, ac infinita trilinea, infinitaque horum segmenta; sic in praesenti explicanda veniunt infinita solida, quae ex varijs rotationibus pnedictarum figurarum ortum ducunt. Concipiamus ergo in schemate posito initio superioris libri, infinitas semiparab Ias BAC, B AH C, BAIC, BAL C, &c. rotari circa diametrum BA, donec redeant ad

initium motus.

DEFINITIO PRIMA

Talia solida ex tali rotatione genita,vocentur infinita Conoidea parabolica . D D

130쪽

r ro DE INFINITIS PARABOLIS ETC. R A

DEFINITIO SECUNDA.

Sed si tales infinitae semiparabolae duplicatae ad partes BA, concipiantur rotari circa basim BC, duplicatam. Talia solida vocentur infiniti Fufi p rabolici.

DEFINITIO TERTIA

Si vero concipiamus tales Infinitas parabolas rintari circa DA, ipsas in veri Ice tangentem. Solida genita vocentur infiniti Ani inst isti parabolici s cundum rectitudi nem basis. DE