De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

81쪽

εo DE INFINITIS PARABOLIS ETC. parabolae. Quoniam enim parallelogrammum. PN, est ad parallelogrammum PM, ut BP, ad

PA; nempe ut tot BP, quotus est numerus p rabolae unitate auctus, ad tot numero A P. Pinautem , eXProposit. I. Aest ad PAO,

nitate ause p

Parabolae via in tutate auctus, ad AP, acceptam secundum numerum par bolae . Ergo ex aequali, erit P N , ad A P O, vi tot B P, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot AP, quotus est numerus parabolae. Quod

Sed & aliam rationem PN, ad A PO, licet facile colligere ue nempe quod sit, ut tot disserentiae, quotus est numerus parabolae unitate auctuS , in

82쪽

MBER TR MVS- - . Og ter DB, & vltimam minorum proportionalem continue, quarum prima it DB, secunda BN, α Farum numerus excedat munerum parabol e vestate, ad tot tales vltimas proportionales , acceptas secundum numerum parabiliae. V. g. io parabola quadratica,erit Pre ad PA O, vel ut tres BP, ad duas P A. Vel ut tres excessus DB, supra Κ, te tiam minorem proportionalem ipsarum DB, B ad duas K.

PROPOSITIO XX.

Si quaecumque femiparaboti, secetur linea diametro paral- leti. Eritflamentum ad diametrum,'ad reliquam pomtionem , qui rectangulum sub tot basibus semiparabola , quotus est numerus ipsius, S sub tutercepta inter da- metrum, in parallelam, una cum rectangulosub hac in tercepta, in sub excessu basisse parabolae supra Miatia

mam minorem proportionalem in ratione basis semiparabola, ad hanc interceptam, quarum numerus excedat numerum parabolae initate, ad rectangulum sub reliqua

parte basis semiparabati, ω sub excessu, i ut basiam se

SEmiparabola BAD, cum sibi circumscripto

pai allelogrammo, secetur MON, diametro AB, parallela; ratioque BD, ad BN, continuetur

in tot terminos, Ut numerus eorum excedat num rum

83쪽

σι DE INFINIns PARABOLIS ATQ

rum parabolae unitate; sitque ultimus terminus h. Dico segmentum AON B, esse ad portionem . ODN, ut rectangulum contentum sub BN, &sub BD, accepta secundum numerum parabolae, una cum rectangulo sub eadem BN, & sub excessu DB, supra x, ad rectangulum contentum sub N D, & sub excessu tot D B, quotus est numerus parabolae unitate auctus, supra tot DB, BN, &alias proportionales praedictas. Nam ratio segme

ti AON B, ad portionem O D N, componitur ex ratione segmenti, ad Bin huius ad MD;& h ius, ad portionem ODN. Ratio ΑON B, ad

conuerten

do , eadem cum ratione excessus tot DDB, quotus est numerus parabolae V nitate auctus, supra k, ad tot B D, D qu Ctus est D

numelus parabolae Vn itate auctus; nempe ut tot BD, quotus est numerus parabolae, cum unico excessu DB, supra k, ad idem consequens. Ratio BM, ad M D, est

84쪽

i LIBER 'PRIMUS. eadem cum ratione B N, ad N D. Et ratio NC, ad portionem , est eadem cum ratione tot BD, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum, supra DB, BN, & alias pro. portionales , quot sunt ipsae,ex secunda parte proinpositi s. per conuersionem rationis . Ergo ratio AON B, ad ODN, componetur ex ijsdem rationibus : nempe ex ratione tot DB, quotus est numeruS parabolae, vn acum excessir DB, supra k, ast tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auiactus ; harum, ad excessum ipsarum, supra DB, BN,& caeteras tot proportionales, quot sunt ipsae ; &B N, ad N D. Sed rationes tot D B, quotus est numerus parabolae, cum excessir DB, supra k, ad tot

DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus;& harum ad excessum ipsa tum supra D B, B Ncaeteras tot proportionales, quot sunt ipsae , componunt rationem tot DB, quotuS est numerus parabolae, una cum excessu DB, supra k, ad excessum tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus,supra DB, BN, & caeteras tot proportionales, quot sunt ipsae. Ergo ratio AON B, ad ODN, componetur ex antedicta ratione,&ex ratione B N, ad N D. Sed ex istis rationibus, componitur quinque ratio rectanguli sub BN, in D η, acceptam secundum numerum parabolae, & rectanguli sub eadem B N, in excessum DB, supra k, ad rectangulum sub DN, in excessum tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus,supra D B, B N, &caeteras

85쪽

ε DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

Meteras praedictas proportionales . Quare padet pro-

, εἴ

Ex quibus licet inferre; quod in parabola quadratica, erit segmentum AON B, ad portionemo DN, ut duplum rectangulum DBN, cum rectangulo sub BN, in excessum D B, supra k, quae sit tertia proportionalis ipsarum DB, BN, ad quadratum N D, una cum rectangulo sub N D, & sub excessu DB, supra k; nimirum, ad duplum quadratum N D, cum rectangulo sub N D, in excessum MN, supra E.

PROPOSITIO XXI.

Si is qualibet parabola, applicentur ordinatim ad diametrum duae liuae aeque remota , 'Una a mertice, aba . A. Harum potessates erunt aquales

potestati basis.

ESto q'aelibet parabola B A C, in qua ordinatim

applicentur duae E Κ, G L, adeo ut A k, D L, sint aequales. Dico potestates FK, GL, eiusdem gradus cum parabola, aequari simili potestati B D. Quoniam en im , ut DA, ad Ak, sic potestas DB, eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatem Eh: N pariter, ut eadem DA, ad AL, sic eadem

86쪽

LIBER P RIMUS.'eadem potestas DB, ad smilem potestatem GL. Ergo ut o Α, ad AM A L, simul, sic potestas DB, ad potestates EΚ, .GL, . simul. At AE, AL, ni aequales γ ipsi Dsmu,' , t erunt quales potestati

Ex hac propositione elicitur illud, quod particulariter probauimus in nostro libello, cuius titulus. SexagintaProblemata Geometrica, propositione posita pagina Ii q. nimirum in parabola quadratica, quadrata E k, GL, aequari quadrato BD.

PROPOSITIO XXII.

Lineae ducta in qualibet parabola diametra parasteia, sunt inter se, mi excessus patenatis basis flem araseia eiusdem gradus cum parabola, supra pote Hates eiusdemo sis interceptarum inter ibas, m diametrum.

87쪽

M DE INFINITII PARABOLIS ETC. Exo quaelibet parabola ABC, cuius diameter BD, cui sint ductae parallelae FE, H G. Dico FE, ad HG, esse ut excessu potestaris AD, congruentis parabolae,supra similem potest,eem ED, adi ... Lexcessum eius-' ra dem potestatis AD, seu DR supra similem

potestatere DG. Ducam

tur F k, L Η, AC, parallelae. Quoniam Δ ἀvt D B , , ad Bh,sic potestasA D, eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatem FK, seu ED. Ergo per conuersionem rationis, & cpuaertendo , erit ut DE seu EF, ad DB, sic excestasi potestatis A D, supra fimilem potestatem B D, ad similem potestatem A Paruter per conuersionem rationis, DB, est ad D L, seu ad GH, ut potestas A D, scis DC, ad excelsum illius, supra potestatem similem DG. Ergo exaequali, erit F E, ad HG, ut primus exuae , secundum excessum . Quod &c.

88쪽

In parabola ergo quadratica erit F E, ad ΗG, ut rectangulum AEC, ad rectangulum AG C.

PROPOSITIO XXIII.

Si a mertice euiuscumque trilinei a primo, ducatur lineam basim, secans cumam parabolicam: o' per punctum ubi secat curuam, sicutur que ad diametrum parallela basi. Erit basis tri ei ad sui partem intem. ceptam inter ductam, Hametrum, mi pote ras divi metrι tritaei ino gradu inferior potesate rei ei, ad similem potestatem diametri trilinei ad /verticem.

SIt quodlibet trilineum a primo, CBA, cuius

vertex B, diameter BA, S a vertice B, ducatur B D , in basim, secans cuiuam in E; & per E , ducatur E F, parallela C A. Dico CA, esse ad AD, ut potestas AB, uno gradu in serior p testate trilinei, ad similem potestatem B F. V. g. in vilineo quadratico, erit C Α, ad AD, ut AB, ad BF. In cubico , ut quadratum AB, ad quadratum B F . In quadratoquadratico , ut cubus AB, ad cubum B F; & sic in infinitum . Quoniam enim proportio C A, ad AD, componitur ex proportione CA, ad EF, & huius ad DA;

89쪽

68 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. ex genesi autem parabolarum, est ut C Α, ad E F, sic potestas A B, eiusdem gradus cum trilineo, ad similem potestatem BF: &vt EF, ad DA, si e BF , ad B A. Ergo ratio C A, ad AD, componetur ex rationibus poteritis AB, eiusdem gradus cum trilineo, ad sim item potestatem BF, &ex ratione BF, ad BA. Sed existis duabus rationibus componitur ratio potestatis AB, vso gradu inferioris potestate trilinei , ad simi l em potest item B F. Ergo patet propositum.

PROPOSITIO XXIV.

Si cuilbet trilineo a primo, secto mi in propositione ani cedenti , sit circumscriptum triangulum. Erit triaugulum pars totius, cuius latus non est Hameter trilinei,

ad portionem excessus ipsius supra portionem trilineia se com prehensam, it factum sub excessu potestatis

diametri trilineι ino Via inferioris pote Hate tri nei, supra si dem potestatem diametri triliniri ad memticem, in quadratum diametri trilinei , ad tales part excessus potentatis davntri trilineι ino gradu altioris' potestate trilines prasimilem potentatem trilinei ad me , licem, quae ad talem excessum se fabeant, it numer Strilinet initate minusus, ad numerum trilinei initate

auctum.

Ducatur in schemate proposit. ant. CB. Dico triangulum C BD, csse ad spatium C BEC,

90쪽

LIBER PRIMUS

eomprehensum a rectis AB, BE, curua CE, Vt factum sub excessu potestatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei supra similem potestatem ηF, in quadrarum BA, ad tales partes excessu Spo testatis A B, uno gradu superioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, quae se habeant ad talem excessum, ut numerus trilinei unitate minutus ad numerum trilinei unitate auctum. V. g. in trilianeo quadratico, erit ut factum sub FA, inqii ad ratum B A, ad tertiam partem excessus cubi B A, supra cubum B F. In cubico, ut factum sub excessu quadrati BA, supra quadratum B F, in quadratum BA, ad duas quartas partes excessus quadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F. In quadrat quadratico , ut factum sub excessu cubi AB, supra cubum B F, in quadratum BA, ad tresquintas partes excessus quadratoc ubi ΑΒ , supra qua

drato