장음표시 사용
141쪽
Sed supponamus ABC, ADC, esse conicos eiusdem generis, quorum diametri BE, ED. Eodem inodo patebit, conicum As C, esse ad coni cum ADC, ut BE , ad ED. Unde patebit e
Si reno es parabolicum quodcumque secetur ptivo basiparat Ho sinsuper eadem basi, in circa diametrum frusticonoidulis, sit aliud conoides ei demeteneris. Erit fru- m , ad conrides quo si includit, o tot continuὸ pr portionales in proportione semiclametri maioris basis semAti, a Femidiametrum basis minoris, incipiendo a prima
inclusiue, quotus ect numerus conoidis auctus binario, ad easdem proportionales, iis ιό duabus minoribus exceptis .
ESto conoides parabolicum quodcumque ABC, quod sit sectum plano HDΚ, basi parallelo;
&intelligatur aliud conoides ADC; ratio autem A B, ad H D, continuetur in tot terminos, ut numerus eorum excedat numerum conoidis ternario, sitque M, vltimus minimus terminus, L, vero sit terminus superans numerum conoidis unitate. Dico frustum ΑΗ Κ C, esse ad conoides ADC, ut A E, & caeterae tot proportionales, quotus est
142쪽
numerus conoidis binario auctus nempe, ut omnes proportionalas,Vltima M, excepta,ad easdessi,dua-Dus ivltam is minimis exceptis V. g. in primo cinnoide, ut A E, Η D, cum tertia proportionali, ad AE. In quadratico, vi A E, F D, cum duabus
ijs, ad A E, H D. In cubim, ut Α Ε, Η D, cum tribus , ad Α Ε, Η D, cum tertia ; & sic in infinitum. G Quoniam enim ex propos t. a. huius, conoides A B C, est sad conoides H B Κ, ut potestas A E, duplici gradu altior potestate conoidis, ad similem potestatem H D; nempe ut ΑΕ, ad M; ergo&pςr conuersionem rationis,& conuertendo, erit
143쪽
niam eonoides ABC, est ad conoides ADC, ut BE, ad ED; &q uiam arguendo per conue fionem rationis, in ut B E, ad Eo, sic potestasA E , eiusdem madus cum conoide, ad excenim linsius si prasimilam potes tem H sh nempe sic AP,
ad exeessum psius suprae L. Ergo ex aequali , erit frustum AH Κ ad conoides AD C, qt excessus A Eis supra M, ad excessum A E, supri L. Uerum quoniam ex scholio. proposit. 7. pri. excessusA E, lupra M, aequatur ornnibus excessibusomnium proportionali uim s excessui autem A E., L pra H, aequatyr omnibus excesssus , duoris vltini exceptis; & cum omnes proportionales excedant numerum conoidis ternario, omnes excessus superabunt
eundem numerum binario ; & cum proportionales, usque ad L, inclusiue, excedant numerum conoidis unitate, excessus AB, supra L, aequabitur tot excessibus quotus est numerus conoidis Ergo AHIC, erit in ADC, ut tot excessus proportionalium, quotus est numerus conoidis binario ausus, adtollexcessus, quotus est numerus conoidis. Uerum ex proposit p. primi, cum excessuS magnitudinum .
continuὸ proportionalium, sint proportionales, &in eadem proportione cum totis magnitudinibus svnde est ut tot excessu, ad tot excessus , sic tot pro .
portionales homologae anteeedentibus excessibus, ad tot proporei ales homologas consequentibiis excessibus. Ergo frustum AH Κ C, erit ad cono, α λ des
144쪽
des A D C, It AE, H D, & caeterm tot proporti nates , quarum numeruS excedat numerum mno dis binario , ad illis easdem proportionales , dum hus ultimis exceptis ; nempo ad tot proportiod les , quarum numerus aequetur numero conoid Quod, &c.
145쪽
Inserius suo loco etiam assignabirur ratio frusti, ad cylindrum G C, sibi circumscriptum.
Ex dictis remanet probata propositio, quam habent Lucas valerius lib. 1. de centro grau. proposita I o. & Ricardus Albius in suo hemisphaerio disse prop. I 6. & forsitan abj, quorum non meminimus. Nimirum , frustum conicum A HEC, esse ad conum ADC, ut AE, H D, cum tertia proportionali L, ad A E. Pariter ex hac probari potest ea, quam habet idem Lucra Valerius lib. 3. proposit. I o. Nimirum frustum conicum, esse ad conum, ut rectangulum AE, H D, cum tertra parte quadrati A O si AO, sit excessus A E, supra H λὶ ad tertiam partem quadrati Α E. Cum enim probatum sit, frustum conicum, esse ad conum, ux A B, H D, M tertia proportionalis L, ad A Eue ergo & ducendo omnia in A E, erit frustum ad conum, ut quadratum A F, rectangulum 'E, H D, & rectangulam A E, L nempe quadratum H D ad quadratum AE; nempe quadrata A E, E O, & rectangulum A E
ad quadratum A E. Ergo & frustum,erit ad conum, v t tertia pars antecedentis d tertiam partem cons quentis. Sed tertia pars quadratorum AE,E & r
146쪽
pars quadrati A e snam cum quadratum AE, sit aequale rectangulis A E O, A OE, & quadrato A O; re cum rectangulum A O E, cum quadrato O E, fa- . ciat rectan gulum A E o. Ergo,quiunita A E, EO, & rectangulum A E O, aequabuntur tribus rectangulis A E Ο, & quadrato A o: quorum tertia pare, erit rectangulum A EO,& tertia pars quadrati A O. ErFo si ustum, erit ad eonum , ut rectangulum AIO, seu AE, H D, cum tertia parre quadrati λην, adsertiam partem quadrati A E .
metrum frusti intesigatur alius emicus eiu emgeneris . Erithis tum adcomcum, quemincludit, ut rot proportionales eontinue in ratione diametri coniti , ad Ham trum conici ad meraisem, quamum maxima sit diameter sonici, Crat earum uomerus excedat duplum numerum conisi initate, ad diametrum conici.
SEd in schemate propositionis antecedentis, in
telligamus ABC, ADC, esse conicos citcadiametros BE, ED. Dico frustum A HEC, esse ad conicum ADC, ut EB, BD, dccaetera tot continue proportionales, ut earum numeruS excidat duplum numerum conici unitate , ad E R. Vin pri-
147쪽
tinuetur in tot terminos , ut eorum numerus excedat
duplum numerum conici binario ; sitque ultimus minimusterminus M. Quoniam enim ex propositia. huius,eonicus 6 BC, eli Misop cum ΗΒk, ut potestas EB, cuius numerus excedat duplum nu- merum conici unit e ad simi qui po testatem B D; nempe ut BE , i ad M. Ergo fer conuersionem rationis, & conuertendo, erit frustum A H Κ C, ad conicum ABC, ut exsessus BE, supra M, ad BE. Sed conicus ABC, est ad conicum ADC, ex s. huius. ut BE , ad ED. Ergo ex aequali, erit frustum Α HEC, ad conicum ADC, ut excessusE B, supra M, ad E D. At excessus E Bi supra M,
ex saepe dictis, aequatur omnibus excessibus omnium proportiodalium I qui, cum numerus proportionalium;exced/t numerum duplum tranici binario,excedent duplum numerum conici unitat: ED, vero est excessus primae EB,supra secundam BD;& cum ex T. pri. st ut tot excessus, ad primum excessiim, sic E B, di caeterae tot proportionales, quar I .numerus excedat duplum numerum conici unitate, ad E B. EN
148쪽
., Ergo diuidendo, erit excessus frusti supra conbcum, ad ipsum, Ut meterae proportionales absque prima, ad primam. C.
Etiam frusti ad efindrum GC, sibi circumscriptum,inserius suo loco assignabitur ratio.
Pariter etiam ex dictis in hac propositione, remanent probatae propositiones Lucet valerii,& Albii, de quibus loquuti sumus scholio a. proposit. ant. NanI ex dictis,cum frustum conicum,sit ad conum ADC, Vt EB, BD, eum tertia proportionali , ad EB; & cum in cono, sit ut EB, BD, sic ΑΕ, ad H D. Ergo frustum erit ad conum, ut A E, H D, cum harum temtia proponionali, ad AE. h
circulus ad quial bet tria uiam rectangulum, babet rari
vem composita ex ratum idiametri,iamnum laterirum circa rectum,ω ex ratione cireumferentia, ad aliud latus circa remm .
149쪽
E Sto circulus, cuius semidiameter AB, M trianis
gulum rectangulum, cuius angulus rectus, qui ad C. Dico circulum , ad triangulum, habere rationem compositam ex ratione A B, ad alteram ipsarum DC, CE , puta CE, & ex ratione circumferentiae, ad D C.
Si non, vel circuIus ad triangulum est in maiori, vel in minori ratione quam sit ea composita . Sit primo in maiori. Ergo aliquid circulo minus, erit ad triangulum in aequali ratione ei compositae. Sit hoc spatium F, & in circulo inscribatur figura aequalium laterum, minu s deficiens a circulo quam ab ipso deficiat spatium F. Quomodo autem hoc fiat, geometris est nimis familiare. Sit ergo haec figura inscripta, lac entia multiplicemus, ipsum quadra-
sum G H Κ L, S A B, semidiameter diuidat GH, bifariam, di ad angulos rectos in M. Quoniam
150쪽
rao DE INFINITIS PARABOLU ET . quadratum H L, maius est F, ergo ad triangulum DEC, erit in maiori ratione quam F, ad idem
triangulum; nempe, ex hypothesi, in maiori rati nequam sit composita ex BA, ad EC, & ex ci cumferentia , ad D C, Sed ratio quadrati, ad triangulum & sic cuiuscumque figurae inscriptae cui denter in circulo) componitur ex ratione MA, ad CE,& ex ratione perimetri quadrati, ad DC, ut facile patet. Ergo ratio composita ex MA, ad CE,&cxperimetro quadrati, ad DC, erit maior composita ex BA, ad CE, & ex circumferentia ad DC. At latio MA, ad CE, minor est ratione BA, ad eandem CE. Ergo ratio perimetri quadrati, ad DC, erit multo maior ratione circumferentia circuli, ad D C. Quod nimis implicat. Non et go circulus, est ad triangulum in maiori ratione quam sit ea composita. Sed nec in minori. Quia sic aliquid circulo maius, esset ad triangulum in eadem ratione cum ea composita. Sit rursum hoc spatium F. Et circulo .circumscribatur, more solito, figura ex aequalibus lateribus constans numero paribus , minori spatio excedenS circulum quam ipsum excedat F. Sit baec quadratum No. Ergo N O, erit ad triangulum in minori adhuc ratione, quam sit ea composita. Ergo ratio composita ex GA, ad CE, & ex perimetro quadrati NO, ad DC, minor erit composita ex AG, ad CE, & ex circumferentia, ad