De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

161쪽

βη, ad GF, & ex rations basis BC, ad basim DEFG. Si DEFG , non est aequalis basi UC, concλpiamus illium augeri , minuive ut fiat aequalis η C , & sthaee H E F ; de si per illa qoncipia scylindricum eiusdem inclinationis cum P F, qai sit N F, cuius latus M P, aequetur A Cylindrici AC, N F, sunt quales ι cum enim bases, & 3hitudines ipsorum sint squales, nequeunt producere nisi iolida et qualia, vel ne est D Taequet lib. i. Cylind

Nannia. parte r. propositas.&probari po stoec Ia. . Elemen. Vndheylindrici AC, N F, ad cylindri- eum P F, habebunt eandem rationem. Verum ruetio cylindrici N F, ad cylindricum 9 P, componiatur ex rationibus cylindri eb NF, ias cylindricum

162쪽

L F; & huius ad cylindricum P F. Ergo & ratio cylindrici AC, es cylindricum PF, componeri rex ijsdem rationibὐ. At cylindricus N F, est ad cylindricum L F, 't basis HERTeueisqdasCB ad basim DEFG, & culindricus L F, est ad cylin

Si Isin cus rectus 'eximbi super qualibet figuria caaxim,secetur diagonabter plano transeunte per puncta extrema opposita axium planorum Ursitorum adeo me communes semones plani fec autιε , oppstarum basiumsint perpendiculares oppositis axibus. aemlibet trumeus huius sindrici rit ad sebiam rotuniam ortum ex eiushasirotata circa communem sectionem figurae, γ μ vi secantis, ut latus Ilindrici, ad circumferentiam cireuli, cuiussemidiameter axis figurae.

Figura circa axim, veI habet basim ut ABC, in prima figura, cuius axis BD, basis A C. Vel non habet basim, ut AFB, in secunda, cuius axis AB. Vel tandem habet duas bases oppositas, & parallelas, ut A BC D, in tertia, cuius axis E T, bases vero BC, A D. Primi generis possunt esse , vel quod-

163쪽

quodlibet ex infinitis trilineis duplica, tum I vel quodlibet his si mile ; vel quaelubet figura, cuius pe rimeter claudatur a linea recta AC, &a curua A B C ; seu a curvis AB, BC; cuius possunt esse species innumerae. Secundi generis posisunt este vel figurae,

quae clauduntur a linea Curva, ut sunt

curvis, v tint duae Hsimiles aequales 4------

portiones circulo- Η E. Brum, ellipsium, duae Parabolae Hyperbolae, cycloides, harum portiones, &c. Quarum communiS basis ΑΒ, consideratur ut axis. Tan- Idem tertis generis

possunt esse rectangulum ἱ quodlibet ex infinitis duplica-

164쪽

numerabilia segmenta clausa a duabus lineis rectis,& a duabus curuis &c. in omnibus istis propem inhinfinitis figuris propositio propinta verificatur est. dem demonstrarione,&eadem costrumone es parit m diuersa, ut consideranti patebit adeo et propo suiossit uniuersalissima . Qua mu is no confusoriis cultandae gratia simus adhibituri figuram basimvnticam habentem.

sto ergo figura ABC, cuius axis BD, basis AC, gsu per qua intelligatur cy. lindricus recti S, cuiuS plana opposita ABC, FEG, qui sectus plano transeun- Ie per AC, & per punctum E, diuidetur in duo segmenta , seu in duos tr .lncOS, ncmpe A ECGF quideinceps facilitatis gratia appellabitur truncus dexter) L

cabi rur truncus sinister j. Dico truncum sinistrum.

ABCE, esse ad solidum

rotundum otium ex Ioza

tione figuret ABC, circa AC, ut E B, latus cylindrici, ad circumferentiam cticuli, cuius radius BD. Paritertruncum dext

165쪽

. LIBER SECUNDUS. 341tum A E C G F, esse ad solidum rotundum ortum ex rotatione figuret FGE, seu ABC, rotatς circa ductam per E, vel per B, GF, vel A C, parallelam,

ut Es, ad eandem circumferentiam. Ad euitandam do nfusionem, ostendemPs hoc in trunco sin: st o, & in solido rotundo ex figura ABC, circa AC. Nim eadem erit demonstratio in abotrunco, ut consi de anti patebit. Meliusque erit si hoc ostendatur in dimidio trunco ABDE, existente super dimidia figurat An D, comparando illum cum solido orto ex totatione AB D, circa A D. Quod enim de dimidij dleetur verificabitur etiam dedi, piis. Exponatur ergo psdictus truncus solitarie sumptus,& se A B D E; ductaque D E, crit triangulum Esn, erectum ad planum ABD, deerit sectio maxima totius trunci sinistri ,& imposte

rum vocabitur triangulum maximum omnium sibi pas allelorum in trunco ducibilium . Sumatur in

BD, xb libet p. nctum G, & agantur GF, paratula AP, & FH, parallela BD; &a puncto F, erigatur F Κ , pars lateris cylindrici. lariter per punctiam G , ducatur in triangulo maximo GL, pa allela EB Patet ditas FH, F Κ, esse parallelas duabuῆ GD, GL; FH, GD, ex con structione; FΚ, GL, vero, qu a ambi paralle lae Eβ; FK, quia latus cylindrici; G L, vero ex constructione. Ergo & plana transe ntia per H F, Fh, Nper D G, GL, erunt parallela. Verum cum haec secentura plano A ED, dc communes sectiones sinit

166쪽

1 g DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

HK, DL . Ergo etiam hae erunt parallelae. Quare cum tres HE, H F, Fh sint parallelae tribus D G, DL, GL. Ergo & triangula H Fh, DG L, eruntilmilia. At latus homologum FH, est aequale lateri homologo GD, quia ex constructione F D, est parallelogrammum . Ergo

Fh, erit aequalis GL Ve brum cum sit ut BE , ad GL, sic BD, ad DG; & ut B D, ad D G, sic circumferentia circuli, cuius radius BD,

ad circumferentiam circuli, cuius radius DG. Er

circumferentia circuli, cuiuS radius B D, ad circumferentiam circuli, cuius radius DG. Quare&permutando, ut EB, ad circumferentiam circuli, cuius radius BD, sic LG, seu ci aequalis FE, dcircum- serentiam circuli,cuius radius GD, seu FH sed ut EF, ad circumferantiam circuli cuius radius FH, sic ducta Κ l, parallela FG, Vtpote iungentes aequales parallelas Fk, GL parallelogrammum FL, ad superficiem cylindricam descriptam a parallelogrammo FD, reuolutu circa AD, ex scholio primo,

167쪽

LIBER S EcWNDVS. Is proposit. 8. huius ;&puncta G, F, sumpta sunt arbutrarie . Ergo & ut unum ad unum, ita omnia ad omnia. Ergo & ut EB, ad circumferentiam descriptam a radio BD, sic omnia parallelogramma trunci ABDE, ad omnes superficies cylindricas plani ABD, circa AD, rotati; nempe sic truncus Α Β D E, ad solidum rotundum ex eadem figura sic rotata, genitum. Quod &c.

Ut supra innuimus, eadem demon stratio currit in omnibus figuris, sed constructio est in quibusdam parum diuersa ab assignata. Quando enim Si gura prima in schemate initio propolitionis posito, rotatur circa EBG; & in secunda circa EAG, vel EBG, tunc FH, debet produci usque ad lineam circa quam fit rotatio. Idem dicendum esset si figura ABC, esset talis conditionis , ut AC, vel non esset maxima , vel non aequalis maximae parallelarum sibi ducibilium intra figuram interceptarum, nam tunc FH, esset producenda usque ad AC, hinc inde productam .

o stendi mus autem presentem propositionem perviam regalem indivisibilium , tumquia propositio elegantioi euadit , cum unica propositione,

168쪽

1 8 DE INFINITIS PARABOLIS ETc. unicaque demonstratione comprehendantur fere infinitae figurae, casusque innumeri; tum quia P. Tacquet Opere supra citato lib. I. & 1. demonstrat eam in quibusdam casibus,demonstrationibus peculiaribus modo Archimedeo; & in casibus, in quibus eam non ostendit, ipse non dubitabit, nec aliquis alius potest rationabiliter dubitare, posse ostendi eo. idem modo, quo ipse ibidem ostendit adhibitis tamen congruenti praeparatione,& argumentatione; Vnde qui plura desiderat, ad deat ipsum Tacquet. Verum ut omnibus aliqualiter satis faciamus, trad mus & nos unicam demonstrationem modo Archia me deo;quae cum comprehendat omnes figuras prae-dustas in alteram partem deficientes,& parum ei d erit ut sit uniuersalissima , & poterit lectori pro exemplo inseruire. Demonstratio autem conueniens cum ipsis Tacquet, sit sequens.

ALITER.

BD, diameter diuidatur in quotcumque partes B F, F G, G C, C D, & per puncta F, G,

&c. ducantur F H, GK, CI, &c. A D, parallela: Sa punctis Η, h, i, erigantur H M, E L , IZ, latera cylindrici ; & per puncta F, G. C, ducantur in triangulo maximo E D B, F O, G N, C R, parali lae L B. Eodem modo, quo patuit supra, patebit Ι O, M H; GN, kL; CR, IZ, aequales esse, ac parallelas; ac proinde , si ducamur MO, LN, ZR, patebit

169쪽

LIBER SECUNDVS. 16stebit MF, LG, ZC, esse parallelogramma. Paritera punctis H, h, I, ducantur H PS, hQ1IY, parallelae D B; ac in plano L G, ducatur P V, parallela GN, vel Lk; & pariter in plano ZC, ducatur TX, parallela C R. Ergo in trunco habemus inscripta prismata ZD, LC, MG ; quorum Z D, habet plana opposita triangula ZQL DR C; reliqua vero habent plana opposita , quae sunt trapeZia, ut patet in schemate. Quod vero de istis dicitur, intelligendum veniret etiam de aliis, quae inscriberentur, si B D, diuisa sui siet in plura, pluraque puncta, N per puncta

170쪽

iso DE INFIMTIS PARABOLIS ETC. puncta diuisionum constructa essent prismata Put factum est in praedictis: semper enim prismatis Z D, essent plana opposita triangula ; reliquorum vero trapeZia. Intelligamus figuram A B D,cum sibi inscriptis parallelogrammis HG, kC, & II i. tatari

circa A D. Aparallelogrammo ergo ID, constituetur cylindrus; a parallelogrammis vero h C, HG, tubi cylindrici,quorum crassities erunt ΚT,PH. Facile probabitur, ut factum est supra,esse ut En, ad circumferentiam circuli, cuius radius BD, sic FO, seu M H, ad circumferentiam, cuius radius F D, seu HS: &pariter sic GN, seu Lk, ad circumferentiam, cuius radius GD, seu hQ: necnon sic CR, seu l Z, ad circumferentiam, cuius radius CD, scii lY. Tunc . Quoniam: habemuS duos cylindricos, nempe prisma ED, & cylindrum ex l D, circa A D , quorum est eadem aItitudol C. Ergo prisma, erit ad cylindrum , ut basis ad

basi tu, ex proposit. s. huius ἱ nempe ut triangulum R CD, ad circulum, cuius radius DC. At triangulum, est ad circulum,ex scholio proposit. 6. huius, Ut RC, ad circumferentiam, cuius radius DC, ne mee sic EB, ad circumferentiam, cuius radius BD. Quare & prisma, erit ad cylindrum ;vt EB,

ad circumferentiam, cuius radius BD. Pariter qumniam habemus duos cylindricos, nempe prisma LC, Stubus ex kC, c rca AD, quorum cadem altitudo Gk. Ergo, ex dictis, ptisma erit ad tubum, Vt basis ad basim it nempe ut trapeaeium C R N G, ad

armillam