장음표시 사용
191쪽
Infertur septimo. Quod quaecumque dicta sene in duobus superioribuscorollarijs de trilineis infiniistarum parabolarum , veri se timetiam de trilineis cycloidis primariae, & aliarum. Nempe si cyclois Α BC, disponatur quatuor modis , ut in schematae sunt dispositae parabolae. Sed ratio scylindrorum ad solida ex trilineis in primaria,erunt vi q. ad i. Ad selida vero ex figuris, ut 4. ad nempe in eadem ratione sicuti ad parabolam cubicam. In alijs vero taloidibus, ad solitaex illiIineis, Ut quadrupla AC, ad excelsum ipsius supra duplam AC, & supra ci cumferentiam circuli genitoris. Ad solida vero ex figuris, ut quadrupla AC, ad duplam AC, cum circumserentia cuculi spatioris.
Insertur octauo; quod si ABC, non sit parab Ia , sed figma quaedam constans exduabus portioni-husoanoribus aequalibus eiusdem parabolae, re sectis lineis BD, diametro parallelis, & sic dispositis, ut B D, coeant,& sint axis totius figurae; dabitur ratis cylindri ex E C, circa C F, ad annulum strictum ex illis portionibus circa CF. Ham autem dabitur tali ordine, ve in prima parabola sit ut dupla hasis se parabolae, cuius A B D,. D BC, sunt pom θ Y x tiones,
192쪽
a DE INFINITIS PARABOLIS ETC. tiones, ad eandem basim . In secunda, ut tripla basis semirhabolie, sum tripla d flarentia inter CD,& basim p aeficiani ad duplam basi in , cum unica dicta d sserentis . , In tertia, ut quadrupla basis, cum quadrupla praedicta differentia, & cum quadrupla harum terti minori proportionali continue, ad triplain basim semiparabolae, duplam dictam dissereniatiam, & unicam.tertiam proportionalem. Et sic in infinitum. Ex quibus per conuersionem rationis, facile patebunt proportiones cylindri ad soli Ja ex figuris. AEBF C, circa . CF. Rationes petantur ex proposit. i . primi lib. Imo, quaecumque dicta
sunt in corollariissuperioribus; patet faciliter posse applicari suo modo cylindris., & solidis ex portione A Bia, quatuor modis disposita ut dictum est.
stans ex duabus portionibus ABD, CBD, maioribus, & squalibiis eiusdem parabolae resectae lineis B D, diametro parallelis, cuI si licircum scriptum parallalogrammum EC; dabitur ratio cyalindri ex: EC, 'circa CF , ad solidum ex figurata, ABC, circa CF. Imo, etiam per conuersionem rationis, dabitur proportio quae re peritur inter praedictum cylindrum, & solidum ex figura A EI BZ FC, circa FV.l ordo a item proportionum , & asserti ratio, petantur ex proposit, i primi libi imo quae-
193쪽
LIHER SEcVNDVS. cumque dicta sunt in corollarijs superioribus de Gguris illis quatuor modis dispositis , patet posse etiam accomodari figurae ABD. . t 3 3
Insertur decimo so quod si quaelibet parab Ia secetur duabus lineis HM L, SBD, diametro I k, parallelis, adeo ut intercipiant segmentuni parabolae L MI BD, segmento sit circimast ptum
194쪽
pru. a parallelogrammum H , quod cum is mento inteli gatur duplicatuin maritor modis saepe dictis. Dabitur halio cylindri ad solida. U. g. ex parallelogrammo HV, circa TU, ad solidum ex segmento circi TU. Ratio, &ordo dependenda proposit. Iq. primi libri.
Infertur undeciminiquod si A BC I, sit giodlibet ex infinitis segmentis parabolae resectae B C. basi AD, parallela, cui sit circumscriptum parallel grammum DG qtiod cum inmerit vertetur citrisca H in non sesum dabitur ratio cylindri ex G D, ad annulum ex figura ARCD, cirea H D, s d tiam per conuersionem rationis , & reliqua ideo AB EF, quatuor modis disposita conclude itur, ut prius. Raeto autem, & ordst proportionis δ' lindrorum ad praedicta solida petantur ex secundae Parte proposit 3 primi lib.
Infestur duodecimo ς quod si lineodem schemate supponamus. ABCD, esse 'iodlibet ex infinitis duplicatis trapea tu, resectum BC, basi AD, p, rallelas desiipponantur reliqua ut inlchemate. Da-biore ratiocni si ex G ,. circa Ho, ad soli- eum ex traperis circa H D. Pateteriam, quod de
195쪽
solidis trapegii AB EF, quatuor modis dissipositi
Poterimus ratiocinari ad modum superiorum. o do Vero , & ratio petantur ex propositi s. Primi librio
IRsertur tertiodecimo;quod si AB EF, sit segmentum semiparabolae resectum linea BE, diam tro AF, parallela, quod segmentum intelligatur dispositum quatuor modis vlispe dictum est, & Vt in schemate. Dabuntur rationes cylindrorum ad Q
196쪽
Iida orta ex rotationibus illarum figurarum ad modum superiorum. Et ratio, ordoque proportionum continentur in propos. I o. primi lib.
Insertur quartodecimo;quod si A F, non sit diameter semiparaholae, sed utraque BE, AF, sint diametro parallelae, adeo ut A B E F, sit segmentum semiparabolae intermedium, & reliqua disponantur ad modum superiorum. Nihilominus gabitur ratio cylindri ex GD, circa H D, ad annulum strictum ex figura ABCD, circa H D. R tio vero, ordoque deducentur ex propositor A. primi libri. In omnibus ergo figuris,& magnitudinibus superiorum corollariorum patuit verum esse, rationem quatuor cylindrorum ali s da ex suis figuris lotindem esse; nempe eam, quam habent quatuor paralplelogramma, quae sunt aequalia, ad figuras quatuor
modis dispositas , quae sic dispositae semper sunt
aequaleS. Patuit ergo ex supradictis faecunditas antecedentis propositionis, & quot solidorum ex ea habeamus mensuram. Sed etiam eius faecuuditas ex insta
dicendis magis, magisque patebit,
197쪽
Si super qualibet figura circa axim in alteram partem de Fcientem, quae resecta per lineas basiparallelas,semper pa-Zastelogramma circumsiripta figuris ad merticem reti-
Neatit ad eas eandem rationem , concriptatur c lindricu
rectus quicumque solus diagonaliter per merticem figurae , cs' per basim figurae oppo tae. zxit truncus de GAr inferior, ad traneum frunirum superiorem, mi parasielogrammum cirAmscriptum figurae . ad ipsam fm
Si quaelibet figura C AB, cuius vertex A, axis A B, adeo ut figura C AB, nobis reprisentet dimidiam figuratu quod enim dicetur de dimidia intelligetidum patebit de tota P super qua intelligamus cylindricti octiim G C, cuius plana opposita ABC, GIL, qui sectus diagonaliter plano I AL, transeunte per Ι L, & per Α , dirimatur in duos truncos. Dico truncum dexterum At L CB, elleὶ ad .truncum sinistium GIL Α--ve parallel grammum DB, circumscriptum figurae ABC, ad ipsam figuram. Axis A B, secetur bifariam in F, & rursum partes bifariam in S, & Κ,& sic usque libuerit, per qu. ducantur ΚN , FE , S Z 'parallelae BC, per quas in trunco dextero I & inferiori transeant planax Q, F O, ST, paralleIa plano: B L. Pariter per Z DT,
198쪽
et a DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
'T, MO, P Q, commvncs sectiones horum planorum, Splani IAI., diagonaliter ducti,ducantur
plana P IX, M HO, PR QU, parallela plano ABCi seu G l L. Facile patebit IAZ ME, PN, esse par/llelogramma similia parallelogrammo IC; N pariter figuras X T, HMO, R P in esse sis
199쪽
ABC ς & probatur a Caualerio lib. r. Geometri laediu. proposit. Is ubi ostendit. Si conicus quis eamque plano secetur basi aequidistante,concepta in eo figurae it similis basi.&similiter posita. Quare etiam PS, MF, Ph, erunt paraIlelae IR Sparia ter X , HM, RP, erunt parallelae G l; & R. M O, PR, erunt parallelae t L. Ergo cum in trian
gulo AIB, sit ut AB, ad BS, sic Al, ad lyr;& in triangulo AI G, ut AI, ad I , sic AG, ach GX, Erit & ut AB, ad BS , sic AG, ad GA. Et permutando ut AB, ad AG, sic BS, ad
G X. Eodem modo ostenderetur ut AB, ad AG,
se esse BF, ad GH, Bh, ad GR; & conseriquenter faciliter ostendetur GX, XH, HR, RA, aequales esse, sicuti BS, S F, Fh, kA, aequales supponuntur .i Quod nocetur. 1 IQuoniam autem parallelogrammum I C, ad parallelogrammum P Z, habet rationem compositam ex ratione I B, ad ' S; nempe ex ratione in , ad Apis hoc est ex ratione I G ad XPs & ex ratione IL, ad 'T; duae vero rationes lG, ad Xye,&IL, ad 'T, componunt rationem parallelogram. micircumscript1 figurae Gl L, seu AB C, hoc est parallelog airmi D B, ad parallelogrammum cireumscriptum figurae X T, seu AST;&per sep- postrionem , ut parallelogrammum D. B, ad figu- λm ABC. lic parallelogrammum circumscriptum
ligurae A S Z, ad ipsam; unde S permutando, ut T a paral-
200쪽
rgo i DE INFINITIS PARABOLIS ATQparallelogrammum ad parallelogrammum, sic figura ad figuram. Ergo & ut parallelogrammum l C, ad parallelogrammum S T , sic figura A BC, seu GIL, ad figuram ASE, seu XνZ. Quare &permutando, parallelogrammum IC, erit ad fg ram Gl L, ut parallelogrammum sT, ad figuram X RT. Eodem modo ostendetur ut parali Iogrammum I C, ad figuranx GIL, sic FO, ad FIMO, &PN, ad RPQ; idemque ostenderetur de alijs si adestent. Quod pariter notetur. iTunc si se per parallelogrammis ST, FO, ΚQ, concipiantur parallelepipeda, quorum altitudines KF, FS, SB, de quorum tantum unum B T, ad
euitandam consusonem,delinea uimuS; erit in trumco dextero inferiori inscriptum quodam solidum ex parallelepipedis sibi super impositis constans. Pariter si super XRT, ΗMo, R PQ, intelligan tur cylindrici, quorum altitudines G X, XH, HR,S quorum tantum T G, delinea uimuS; erit in trunco superiori sinistro inscriptum quodam solidum ex talibus prismatibus sibi superimpositis con
., monia autem parallelepipedum B T, admisin a .TG, habet, ex propos s. huius,rationem compositam ex latione parallelogrammi ST, ad fg ram X RT , i quae supra probata est esse eadem cum ratione IC, ad G i L & ex ratione S B, ad G X; nempe ex supra dictis , ex ratione ΑΒ, ad A G. Ergo tale parallelepipedum ad tale prisma habebit .